Analytische Geoemtrie

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
Höhere Mathematik I.1
26. Mai 2013
Aufgabenkomplex 4: Analytische Geometrie
Allgemeine Hinweise:
• Bitte Arbeiten deutlich mit „Höhere Mathematik I.1, Aufgabenkomplex 4“ kennzeichnen!
• Abgabe in Briefkasten bei Zimmer Rh.Str 41/615.
• Bei sämtlichen Aufgaben ist der Rechenweg anzudeuten.
• Elektronische Hilfsmittel dürfen nur für die zahlenmäßige Ermittlung von Winkeln benutzt
werden.
1. Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A(1, −1, −2), B(5, 7, 6) und C(3, 1, 4). Berechnen
Sie:
a) den Umfang,
b) den Schwerpunkt sowie
c) den Flächeninhalt des Dreiecks.












x
0
4
x
1
1

 




 



2. Gegeben seien die Geraden g1 :  y  =  0  +t  2  , g2 :  y  =  −1  +s  2 
z
−1
2
z
1
−1
wobei t, s ∈ R sind. Untersuchen Sie die Lage der Geraden zueinander. Berechnen Sie den
Schnittpunkt und den Schnittwinkel für den Fall, dass sich die Geraden schneiden. Falls diese
parallel oder windschief sind, geben Sie den Abstand zwischen den beiden Geraden an.
3. Die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide hat die Eckpunkte A(2, 0, 0), B(0, 3, 0) und C(0, 0, 6).
Diese liegen in der Ebene G. Der Punkt D(2, 3, 8) sei die Spitze der Pyramide. Berechnen Sie:
a) den Inhalt der Grundfläche,
b) den Normalenvektor und die Ebenengleichung von G in parameterfreier Form,
c) den Fußpunkt des Lotes von D auf G,
d) die Höhe der Pyramide (also den Abstand von D zur Ebene G) sowie
e) das Volumen der Pyramide (bereits berechnete Werte nutzen!).
4. Berechnen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen
E1 : y + 2z − 4 = 0 und E2 : 2x − 2y − 8z + 18 = 0.
5. Gegeben
sind
folgenden
Ebenen:

 
 3




 





x
6
4
−2
x
4
3
1

 






 





E1 :  y  =  2  + s  −2  + t  0  , E2 :  y  =  2  + u  −1  + v  0 
z
10
0
6
z
0
0
1
wobei s, t, u, v ∈ R
sowie E3 : x + 3y − z = 15.
a) Liegen die Punkte A(14, 0, −2) und B(0, 4, 4) in E1 ?
b) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der drei Ebenen und berechnen Sie eventuelle
Schnittgeraden zweier Ebenen, falls sich die Ebenen schneiden bzw. den Abstand zwischen
zwei Ebenen, falls diese parallel sind.
c) Haben diese drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt?
Ausgabe: 30.05.2013
Letzter Abgabetermin: 13.06.2013
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