Klassen WI09abct HeSe 09/10 ungr MLAN1 Geometrie Serie 7

Klassen WI09abct
HeSe 09/10
ungr
MLAN1 Geometrie
Serie 7
Aufgabe 1
3
Gegeben: A(−4, −2, 16
3 ) und B(3, 2 , −4).
Gesucht:
a) Durchstosspunkte von g = g(A, B) mit Grund -, Auf - und Seitenriss.
b) Koordinatengleichung einer Ebene E3 orthogonal zum Seitenriss durch g.
c) Parameterdarstellung einer Ebene E2 orthogonal zum Aufriss durch g.
Aufgabe 2
Gegeben: Eine Ebene E: x − 5y + z = 9 im R3 .
Gesucht: Eine Parameterdarstellung von E.
Aufgabe 3




2
−3
Welche Punkte auf der Geraden g: ⃗r =  1  + µ  0  haben
8
4
a) von der Grundriss-Ebene den Abstand 5 ?
b) vom Punkt S1 = g ∩ Grundriss die Entfernung 5 ?
Aufgabe 4
Gegeben: A(1, −1, 2), B(−2, 0, 3) und C(3, 1, −2).
Gesucht: Koordinatengleichung der Ebene E = E(A, B, C).
Aufgabe 5
Stellen Sie die Koordinatengleichungen der drei Ebenen orthogonal zu Grund -, Auf - und Seitenriss durch die
Gerade




1
−4
h: ⃗r =  −2  + ν  5  auf.
3
−6
Aufgabe 6
Gegeben: Px (a, 0, 0), Py (0, b, 0) und Pz (0, 0, c), d.h. die Achsenabschnitte a, b und c.
Gesucht: Koordinatengleichnug von E = E(Px , Py , Pz ).
Aufgabe 7
(
Bestimmen Sie die Achsenabschnitte a und b der Geraden g : ⃗r =
−6
6
)
(
+λ
3
2
)
im R2 .
Stellen Sie anschliessend die Abschnittsgleichung für g auf.
Aufgabe 8
√
Gegeben: Drei parallele Geraden g : x − 3 · y − 2 = 0, h durch (0, 0) und l durch den Punkt (−8, 0).
Wie lang ist die Seite eines gleichseitigen Dreiecks von dem je eine Ecke auf einer dieser Geraden liegt?
(Wie konstruieren Sie dieses Dreieck?)
1
serie7_MLAN1_geom.tex
MLAN1 Geometrie
Lösungen Serie 7
Lösung 1
a) S1 = S2 = S3 = (0, 0, 0), d.h. g ist eine sog. Ursprungsgerade.
b) E3 :
4
3
x+z =0


 
42
1
c) E2 : ⃗r = µ  21  + ν  0 
−56
0
Lösung 2
Gauss – Algorithmus:
x
1
⃝
∞− viele Lösungen mit

 
9
E : ⃗r =  0  + µ 
0
y
-5
z
1
1
9
zwei freien Parametern: x = 9 + 5µ − ν, y = µ und z = ν, also



−1
5
1 +ν 0 
1
0
Lösung 3
47
a) P1 ( 17
4 , 1, 5) und P2 ( 4 , 1, −5)
b) Q1 (5, 1, 4) und Q2 (11, 1, −4)
Lösung 4
E : 3x + 5y + 4z − 6 = 0
Lösung 5
E1 :
E2 :
E3 :
5x + 4y + 3 = 0,
6y + 5z − 3 = 0,
−3x + 2z − 3 = 0,
E1 ∥ z−
E2 ∥ x−
E3 ∥ y−
Achse, orthogonal zum Grundriss
Achse, orthogonal zum Aufriss
Achse, orthogonal zum Seitenriss
Lösung 6
E:
x
a
+
y
b
+
z
c
=1
Lösung 7
a = −15, b = 10, somit: Abschnittsgleichung von g :
x
a
+
y
b
=
x
−15
+
y
10
=1
Lösung 8
√
h : x −√ 3 · y = 0
l : x − 3 · y + 8√= 0,
Seitenlänge s = 2 7
Konstruktion: o.B.d.A.: eine Ecke des Dreiecks im Ursprung (A in O)
Rotation von g um π3 ergibt g
g ∩ l = C, Vervollständigung, somit A ∈ h, B ∈ g und C ∈ l
2
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