(Diskrete/stetige Zufallsgrößen (”ZG”)) WS 2016/17 P. Gummelt ¨UA 1

Übung 3 (Diskrete/stetige Zufallsgrößen (”ZG”))
WS 2016/17 P. Gummelt
ÜA 1: Wir fassen die zufällige Auswahl einer reellen Zahl aus dem Intervall [−10, +10]
als Zufallsexperiment auf. Entscheiden Sie für die folgenden Beispiele von Zufallsgrößen
jeweils, ob sie diskret oder stetig sind und geben Sie die zugehörigen Wertebereiche an.
X1 : Betrag der Zahl,
X2 : Ganzzahlig abgerundete Zahl,
X3 : Quadrat der Zahl.
ÜA 2: In einer Urne befindet sich eine Kugel mit der aufgedruckten Ziffer 1, eine weitere
Kugel mit der Ziffer 2 sowie eine dritte Kugel mit dem Aufdruck 3. Als Zufallsexperiment wird zweimal mit Zurücklegen aus dieser Urne gezogen. Wir betrachten für dieses
Zufallsexperiment die folgenden drei Zufallsgrößen X, Y und Z:
• X: 1 bei Pasch; 0 sonst.
• Y : Anzahl der Primzahlen unter beiden gezogenen Ziffern.
• Z: Summe der beiden gezogenen Ziffern.
a) Geben Sie die Ergebnismenge Ω derart an, dass die Laplace-Eigenschaften gelten.
b) In welche disjunkten Ereignisse Ai wird Ω durch die Zufallsvariable X zerlegt? Welche
Wahrscheinlichkeiten P (X = 0) und P (X = 1) ergeben sich mit der Laplace-Formel?
c) Geben Sie für Y und Z jeweils an, welche Werte yi (bzw. zj ) diese Zufallsvariablen annehmen können, welche Teilmengen von Ω dazu gehören und welche Wahrscheinlichkeiten
P (Y = yi ) bzw. P (Z = zj ) sich dafür mittels Laplace-Formel ergeben.
ÜA 3: Wie in Aufgabe 2) wird für ein Glückspiel zweimal mit Zurücklegen aus einer
Urne mit dem Inhalt 1, 2, 3 gezogen. Ist das Produkt der beiden gezogenen Ziffern gerade,
wird dieses Produkt in Euro an den Spieler ausgezahlt. Ist das Produkt ungerade, muss
der Spieler diesen Betrag an den Spielleiter zahlen. Die Zufallsgröße X beschreibt, welche
Euro-Beträge xi als Spielausgang aus Sicht des Spielers möglich sind.
a) Geben Sie in einer Tabelle die Werte xi dieser Zufallsvariable X mit den jeweiligen
zugehörigen Mengen Ai = {ω ∈ Ω|X(ω) = xi } an.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X ≤ 0), P (X = 0) und P (X > 0). Nutzen
Sie dabei zur Berechnung die Laplace-Formel.
ÜA 4:
Bei folgendem Glückspiel nennt der Spieler eine Zahl k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} und
wirft dann drei sechsseitige faire Würfel. Pro Würfel, der seine genannte Zahl k zeigt,
erhält er 1 Euro. Erscheint die Zahl k auf keinem der Würfel, muss er 1 Euro einzahlen.
a) Geben Sie die Werte yi der Zufallsgröße Y : Euro-Betrag aus Sicht des Spielers an.
b) Berechnen Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P (Y = yi ) mittels Laplace-Formel.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler Gewinn macht?