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Grundlagen IV - SS 09 Übungsblatt II
(FS,KS,AN,MM)
Aufgabe 1: Parabelmethode (2 Punkte)
Ein Strahl positiver Ionen durchsetzt auf einer Länge 1 = 4 cm ein elektrisches Feld E
= 5000 V/cm und ein dazu paralleles magnetisches Feld B = 0,01 Tesla senkrecht zu den
Feldrichtungen. Er trit nach dem Durchlaufen eines feldfreien Raumes l' = 18 cm auf einen
ebenen Leuchtschirm. Parabeln mit welchen Parametern erhält man auf dem Schirm, wenn
der Strahl im wesentlichen aus einfach geladenen Wasserstoonen und Wasserstomolekülen besteht, deren Geschwindigkeit einer durchlaufenen Spannung U zwischen 1000 V und
4000 V entspricht?
a) Wie sieht das Schirmbild aus, wenn positiv geladene Teilchen eingeschossen werden?
b) Wie sieht das Schirmbild aus, wenn negativ geladene Teilchen eingeschossen werden?
Aufgabe 2: Bestimmung
der Avogadro-Konstante
(2+2=4 Punkte)
a) Kolloidteilchen werden in einer Flüssigkeit dispergiert. Zeigen Sie, dass im Gleichgewicht die Zahl der Teilchen je cm3 durch eine Boltzmann-Verteilung beschrieben
wird:
NA
0
n(h) = n0 exp −
V (ρ − ρ )gh
RT
Benutzen Sie zur Herleitung von n(h) einen Ansatz analog zur barometrischen Höhenformel. Einen Zusammenhang zwischen dem Druck p und der Teichendichte n
liefert die ideale Gasgleichung. Warum taucht in dem Ausdruck die Dierenz der
Dichten auf?
b) Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Beziehung die Avogadro-Konstante NA , falls folgende
experimentelle Daten vorliegen:
n0 = 134 cm−3 , h1 = 3·10−5 m, n(h1 ) = 67 cm−3 , ρ = 1, 23 g/cm3 , ρ0 = 1, 00 g/cm3 ,
T = 293 K, Durchmesser der Teilchen D = 4, 24 · 10−5 cm
Aufgabe 3: Time-of-Flight
Massenspekrometer, SIMS
(2+2+2=6 Punkte)
Zur Oberächenanalyse werde eine Probe mit einem Atomstrahl beschossen, wodurch
Oberächenatome herausgelöst werden. Ein Teil dieser Atome wird Ionisiert sein. Diese
Ionen möglicherweise verschiedener Elemente sollen nach ihrer Masse getrennt und detektiert werden. Dies kann zum Beispiel mit dem hier vorgestellten Flugzeitmassenspektrometer geschehen. Zwischen Oberäche und einer Beschleunigungselektrode wird (gepulst)
eine Spannung U1 angelegt. Die Flugzeit bis zum Detektor hängt von der Masse der Ionen
ab.
1. Quellen konstanter Energie oder konstanten Impulses
Zunächst gehen wir von an der Oberäche ruhenden Ionen der Ladung q aus (s0 = 0,
v0 = 0). Es sind zwei Betriebsmodi vorstellbar:
konstante Energie: Die Spannung wird schlagartig aufgebaut und liegt eine lange
Zeit an. Alle Ionen erhalten die gleiche Energie E , mit der sie dann zum Detektor
driften.
1
E = q · U1 = mv 2 = const.
(1)
2
Die Spannung wird schlagartig aufgebaut und liegt nur kurz
an (t Flugzeit t1 ). Die Ionen bekommen unabhängig von ihrer Masse den gleichen
Impuls:
q · U1
· t = mv = const.
(2)
p=
konstanter Impuls:
s1
Machen Sie sich die Gleichungen (1) und (2) klar, indem Sie diese aus bekannten
Zusammenhängen aus Mechanik und Elektrodynamik herleiten! Denken Sie dabei
beispielsweise an den Plattenkondensator!
2. Massenauösung
Welche Massen m1 = m und m2 = m + ∆m noch getrennt werden können ist durch
die Zeitauösung ∆t des Detektors begrenzt (diese liegt bei modernen Geräten bei
etwa 10ns).
Zeigen Sie: Für konstante Energie gilt (bis auf Terme der Ordnung (∆t/t)2 ))
Für konstanten Impuls gilt
∆m
∆t
=2 .
m
t
(3)
∆m
∆t
=
.
m
t
(4)
Hinweis: Vernachlässigen Sie in Ihrer Rechung die Beschleunigungszeit/-strecke gegenüber der Driftzeit/-strecke zum Detektor, da letztere in typischen Experimenten
viel gröÿer sind.
Die Auösung der zweiten Methode ist also um den Faktor 2 besser, allerdings können nur etwa 1% der Strecke s1 für dieBeschleunigung genutzt werden, weswegen die
erreichte Auösung deutlich geringer ist und E =const. bevorzugt wird.
3. Beschleunigungszeit
Wir betrachten nun eine Quelle konstanter Energie im allgemeinen Fall, dass die
Ionen sich zum Zeitpunkt t = 0 am Ort s0 benden und die Geschwindigkeit v0
(kinetische Energie W0 ) haben.
Bestimmen Sie die Beschleunigungszeit der Ionen und bringen Sie Ihr Ergebnis auf
0
eine Form in der die relative Energieunschärfe = W
W1 und die relative Ortsunschärfe
s0
δ = s1 vorkommen! (Lösen Sie die Bewegungsgleichung)!
In der Realität verwendet man mehr als eine Beschleunigungsstufe oder Umlenkspektrometer um diese Unschärfen etwas zu kompensieren, die Rechnungen werden
dadurch nicht schwieriger, nur etwas umfangreicher.
Aufgabe 4: Matrixmethode (4 Punkte)
Zeigen Sie mithilfe der Matrixmethode, dass sich die Brechkräfte unmittelbar hintereinander stehender, dünner Linsen der Brennweiten f1 und f2 addieren.