Dijkstra-Algorithmus Gliederung Dijkstra
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23.11.2008 Dijkstra-Algorithmus Gliederung • • • • • • Hintergrund des Dijkstra-Algorithmus Begriffserklärungen Verfahren am Beispiel vorstellen Anwendungsbereich Unterrichtsmaterialien Konkrete Umsetzung inkl. Erfahrungsbericht und seine Anwendung in der Schule Céline Liedmann Dijkstra-Algorithmus • Erfinder Edsger W. Dijkstra • dient der Berechnung eines kürzesten Pfades zwischen einem Startknoten und einem beliebigen Knoten in einem (pos.) kantengewichteten Graphen. • Alltagsbezug – Routenplaner Begriffe Kanten: verbinden stets zwei Knoten (die nicht unbedingt verschieden sein müssen) Zwei Knoten, die durch eine Kante verbunden sind werden als benachbarte Knoten bezeichnet. Begriffe Beispiel Kürzester Weg von Dortmund nach Karlsruhe temporäre oder permanente Distanzen Dortmund 0 Frankfurt 237 231 Siegen 101 103 aktive Knoten Darmstadt Hagen 26 Bonn 118 Koblenz 204 Mannheim 304 Karlsruhe Mainz 270 1 23.11.2008 Anwendungsbereich Anwendungsbereich • Stufe: Klasse 6 • Voraussetzungen: Addition von natürlichen Zahlen im Tausenderraum (Grundschule Klasse 3), Vergleichen von Größen • Ziele: (un-)gewichtete Graphen kennenlernen und mit ihnen umgehen können, mathematische Begriffe (Graphen, Knoten, Gewichte, etc.) kennenlernen und anwenden können, Algorithmus benennen, erklären und anwenden können, den Alltagsbezug kennenlernen • Anwendungsfelder: im Unterricht, in der Projektwoche, als Projektwochenende(wie z.B. Schülerakademie Mathematik) Unterrichtsmaterialien Umgang mit dem Material • • • • • • • Weg zum See Isla di Pisa Ungewichteter und gewichteter Graph Algorithmus suchen Mit Dijkstra-Verfahren vergleichen Dijkstra-Algorithmus anwenden Stadtplan Vorschläge für weitere Umsetzungen Studentenlösung • U-Bahnplan und Stadtplan • Verfahren suchen, um den kürzesten oder schnellsten Weg zu berechnen • Eigene Graphen zeichnen • Figuren auf dem Graph bewegen • Großer Graph auf dem Boden zeichnen oder kleben und die Schüler nachlaufen lassen 2 23.11.2008 Kontakt [email protected] Bildungsstandards Klasse 6 • 5. LEITIDEE „RAUM UND FORM“ grundlegende geometrische Objekte fachgerecht benennen und vollständig beschreiben geometrische Objekte mithilfe von Geodreieck und Zirkel sorgfältig darstellen Inhalte: keine Übereinstimmung Bildungsstandards Klasse 6 • 8. LEITIDEE „VERNETZUNG“ Situationen und Fragestellungen durch konkrete, verbale, grafische und numerische Modelle oder Darstellungen beschreiben; Probleme aus der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler mithilfe verschiedener mathematischer Konzepte lösen; Bildungsstandards Klasse 6 • 1. LEITIDEE „ZAHL“ Zahlen vergleichen und anordnen Inhalte: ganze Zahlen • 2. LEITIDEE „ALGORITHMUS“ Grundrechenarten bei rationalen Zahlen im Kopf,[…] Inhalte: Addieren Bildungsstandards Klasse 6 • 4. LEITIDEE „MESSEN“ die Struktur und den Gebrauch von Maßsystemen verstehen; geeignete Maßgrößen und Einheiten nutzen, um Situationen zu beschreiben und zu untersuchen Inhalte: Längen, Zeitspannen Bildungsstandards Klasse 6 mathematische Kenntnisse auf neue Fragestellungen anwenden; Lösungsansätze beschreiben und begründen. Inhalte: Übersetzung von Darstellungsformen: - Skizzen - verbale Vorschriften 3 23.11.2008 Bildungsstandards Klasse 6 Verfahren • 9. LEITIDEE „MODELLIEREN“ mithilfe geometrischer Modelle Situationen darstellen und Probleme lösen; • Zahlen und Zahlverknüpfungen zur adäquaten Beschreibung und Untersuchung von Aufgaben in Mathematik und Umwelt einsetzen; • Inhalte: Keine Übereinstimmungen 1. Zu Beginn bekommen alle Knoten die Distanz unendlich. 2. Wähle einen Startknoten. Der Startknoten bekommt die permanente Distanz 0. Er ist nun der aktive Knoten. 3. Berechne die temporären Distanzen aller (noch nicht mit permanenten Distanzen versehenen) Nachbarknoten des aktiven Knotens. Verfahren Verfahren 4. >>Update<<: Ist diese neu berechnete Distanz für einen Knoten kleiner als die bereits vorhandene, so wird die vorherige Distanz gelöscht, die kleinere Distanz notiert, und der aktive Knoten wird als Vorgänger dieses Knotens gespeichert. Ein vorher gespeicherter Vorgänger dieses Knotens wird gelöscht. Ist die neu berechnete Distanz größer als oder gleich wie die bereits vorhandene, ändert sich nichts an Distanz und Vorgänger. 5. Wähle einen Knoten mit minimaler temporärer Distanz. Dieser Knoten wird nun zum aktiven Knoten. Seine Distanz wird unveränderlich festgeschrieben (permanente Distanz). 6. Wiederhole 3.-6. so lange, bis es keinen Knoten mit permanenter Distanz mehr gibt, dessen Nachbarn noch temporäre Distanzen haben. Begriffe Beispiel Ein Graph ist ein Gebilde aus Knoten und Kanten gewichteter Graph Frankfurt 228 Siegen 101 Dortmund 0 Marburg 205 177 Mainz 270 Darmstadt 268 Karlsruhe 457 147 ungewichteter Graph Kürzester Weg von Dortmund nach Karlsruhe Wuppertal 51 Mannheim 392 101 Attendorn 152 4
