Übungsblatt 08

Prof.Dr. W.Koepf

Ubungen
zur Vorlesung
Dipl.-Math. T.Sprenger

Ubungsblatt
08
GESCHICHTE DER ANALYSIS
06.12.2007
Aufgabe 1 (Tangentenbestimmung nach Barrow)
(a) Bestimmen Sie mit der Methode von Barrow die Tangentensteigung der
Zissoide
y 2 ( x ) x 3 = 0;
wobei
2 R+ gilt.
(b) Zeichnen Sie die Zissoide fur
Stelle 4.
= 5 und bestimmen Sie die Tangentensteigungen an der
(4 Punkte)
Aufgabe 2 (Logarithmen)
(a) Seien
a; b 2 R+ mit a b. Zeigen Sie die Gleichung
L(ab) = L(a) + L(b)
fur
L(a) =
mittels Integralrechnung.
Z
a
0
1
x
Z a
1
1
dx
=
dt
+1
1 t
(b) Die Tonhohe eines Tons wird durch seine Frequenz angegeben, welche in Schwingungen pro
Sekunde (Hz) gemessen wird. Hierbei entsprechen wahrgenommene Tonhohenunterschiede
(Intervalle) festen Frequenzverhaltnissen. Das Frequenzverhaltnis 21 wird als Oktave wahrgenommen. Der Kammerton A hat 440 Hz und das nachst hohere A hat also die Frequenz
880 Hz. Hierzulande ublich ist eine Tonleiter aus 12 T
onen. Seit Johann Sebastian Bach
stimmt man Tasteninstrumente wohltemperiert\, das heisst, das Frequenzverhaltnis c
"
zweierpaufeinanderfolgender Halbtone ist immer gleich. Fur c gilt also c 12 = 2 und folglich
c = 12 2.
Verwenden
Sie lediglich die Kenntnis, dass log10 2 = 0:3010299957 (ohne Berechnung von
p
12
2) und die umseitige Logarithmentafel zur Basis 10, um die wohltemperierten Frequenzen
der Zwischentone zu bestimmen.
Ton:
Hz:
A
440
B
H
C
Cis
D
Dis
E
F
Fis
G
Gis
A
880
(6 Punkte)
Abgabetermin:

Donnerstag, 13.12.2007, 14.15 Uhr in der Ubung.
Beispiel:
Um mit Hilfe der Logarithmentafel das
x
zu bestimmen, welches die Gleichung
log10 x = 0:1055
erf
ullt, betrachten Sie zun
achst die erste Spalte hinter der mit N gekennzeichneten Spalte. Es treten Zahlen von 00 bis
30 auf. Aus dieser Spalte suchen Sie die Zahl 10 (die beiden ersten Nachkommastellen). Danach suchen Sie die Zahl
innerhalb des Bereiches von 10, welche der Zahl 55 (der dritten und vierten Nachkommastelle) am n
achsten kommt. In
diesem Fall existiert ein Eintrag mit 55. Nun h
angen Sie die dem ausgew
ahlten Eintrag (55) entsprechende Zahl der ersten
Zeile (5) an die Zahl der ersten Spalte (127) an und erhalten so die L
osung
x
1 275
: