Ubung zur Experimentalphysik II (SoSe 13)

Übung zur Experimentalphysik II (SoSe 13)
02
Prof. Dr. von Freymann, Neb
22.04.2013
Abgabe: bis 29.04.2013, 10:00 Uhr in den Briefkästen im Dekanatsflur!
Aufgabe 5 :
(Elektrostatik)
An den Punkten (a, 0, 0) und (−a, 0, 0) befinde sich jeweils eine Punktladung mit Ladung Q.
Berechnen Sie, an welchen Punkten der y-z-Ebene die betragsmäßig größte Kraft auf eine
Probeladung (Ladung q) wirkt.
(10 Punkte)
Aufgabe 6 :
(Plattenkondensator)
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß das elektrische Feld, das zwei parallele unendlich
ausgedehnte und infinitesimal dünne, mit Flächenladungsdichte σ bzw. −σ belegte Ebenen
erzeugen. Der Abstand der Ebenen sei d.
(10 Punkte)
Aufgabe 7 :
(Energie von Dipol und Quadrupol)
a) Berechnen Sie die Bindungsenergie eines elektrischen Dipols, d.h. einer
Ladungskonfiguration, bei der eine positive Ladung Q und eine negative
Ladung −Q im Abstand d voneinander positioniert sind.
b) Ein Quadrupol besteht aus zwei Dipolen, deren Abstand ebenfalls d beträgt (siehe Bild). Bestimmen Sie die Bindungsenergie dieser Ladungskonfiguration.
c) Skizzieren Sie die Feldlinien und Äquipotentialflächen von Dipol und
Quadrupol (qualitativ genügt).
(10 Punkte)
Fachbereich Physik
TU Kaiserslautern
FiPS II - Blatt 02
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Aufgabe 8 :
(Multipol-Entwicklung)
Das Coulomb-Potential einer Ladungsdichteverteilung ρ ist gegeben durch:
Z
1
ρ(~r − ~r ′ ) 3 ′
Φ(~r) =
dr
4πε0
|~r − ~r ′ |
In aller Regel ist die Integration aufgrund des Terms 1/ |~r − ~r ′ | nur numerisch und unter hohem
Rechenaufwand durchführbar, selbst wenn die Ladungsverteilung einfach strukturiert ist. Zur
Vereinfachung dieses Problems entwickelt man daher 1/ |~r − ~r ′ | in eine Taylorreihe und erhält
daraus ein Polynom, das rechentechnisch viel einfacher zu behandeln ist. Diese Entwicklung
wird Multipol-Entwicklung genannt.
Entwickeln Sie die Funktion
1
1
=p
′
|~r − ~r |
(x − x′ )2 + (y − y ′ )2 + (z − z ′ )2
nach kleinen Werten von ~r ′ bis zur ersten Ordnung. Zeigen Sie, dass dies
1
1 ~r · ~r ′
≈
+ 3
|~r − ~r ′ |
r
r
(1)
liefert, und geben Sie mit Hilfe dieser Näherung Φ(~r) für eine homogen geladene Kugel vom
Radius R an.
Hinweis: Die dreidimensionale Taylor-Formel für die Entwicklung der Funktion f (x, y, z) um
~a = (ax , ay , az ) lautet:
f (~x) =
X
k
k
X
j1 ,j2 ,j3
∂k f
1
· (x − ax )j1 (y − ay )j2 (z − az )j3
j1 ∂y j2 ∂z j3 j
!j
!j
!
∂x
~a
=0 1 2 3
(2)
Dabei wird die zweite Summe unter der Randbedingung j1 + j2 + j3 = k ausgewertet. Sie müssen
nur bis k = 1 summieren.
(10 Punkte)
Fachbereich Physik
TU Kaiserslautern
FiPS II - Blatt 02
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