Ubung 13 - moodle2 fhwn

Übung 13
1) In der Vorlesung haben Sie eine Formel für die Ableitungen von Umkehrfunktionen
kennengelernt. Zeigen Sie unter Zuhilfenahme dieser Formel, dass
a) die Ableitung des natürlichen Logarithmus x = ln(y) (Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = ex ) die Ableitung y1 besitzt,
√
b) die Ableitung der Wurzelfunktion x = y (Umkehrfunktion von y = x2 ) die
1
Ableitung 2√
y besitzt.
2) Von einem quadratischen Stück Blech mit der Seitenlänge 12cm werden an den Ecken
kongruente Quadrate ausgeschnitten. Aus dem Rest wird eine quaderförmige Schachtel gebildet. Welche Seitenlänge müssen die auszuschneidenden Quadrate haben, damit das Volumen dieser Schachtel maximal wird? Überprüfen Sie unter Zuhilfenahme
der zweiten Ableitung, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt. Wie lautet das maximale Volumen?
3) Ein Körper bewegt sich in der Halbebene ε : y > 0 gleichförmig mit der Geschwindigkeit c1 = 25 m
s , in der Halbebene ε2 : y < 0 gleichförmig mit der Geschwindigkeit
c2 = 17 m
.
Welche
Bahn muss der Körper einschlagen, damit er möglichst rasch von
s
A = (−9m; 8m) nach B = (9m; −4m) gelangt?
4) Abbildung 1 zeigt einen bis zur Höhe H mit Wasser gefüllten Zylinder. In der Tiefe
h (von der als unveränderlich angenommenen Wasseroberfläche h = 0 aus gerechnet)
befindet sich eine seitliche √
Öffnung, aus der das Wasser in waagrechter Richtung mit
der nach der Formel v0 = 2gh berechneten Geschwindigkeit austritt.
An welcher Stelle A des Gefäßes muss man diese Öffnung anbringen, damit der seitlich
austretende Wasserstrahl den Boden an einer möglichst weit entfernten Stelle B (in
horizontaler Richtung gemessen) trifft?
5) Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = 4x3 −60x2 +900x+100. Zeigen Sie, dass K(x)
streng monoton wachsend ist und bestimmen Sie die Kostenkehre (Wendepunkt).
Für welche x-Werte ist die Funktion progressiv (K 0 > 0 und K 00 > 0) bzw. degressiv
(K 0 > 0 und K 00 < 0)? Zeichnen Sie die Funktion und interpretieren Sie den Graphen.
6) Betrachten Sie die Funktion f (x) = −1 + 2x + 4x2 − 3x3 . Plotten Sie die Funktion
im Intervall [−1; 2]. Wie viele Nullstellen hat diese Funktion? Wählen Sie geeignete
Startwerte x0 (nahe an der tatsächlichen Nullstelle) und verwenden Sie das Newtonverfahren
xn = xn−1 −
f (xn−1 )
,
f 0 (xn−1 )
1
n = 1; 2; 3; . . . ,
Abbildung 1: Wasserstrahl.
um alle Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Führen Sie mindestens drei Iterationen je Nullstelle durch. Sie können ein Computerprogramm wie z.B. Matlab oder
Mupad verwenden.
7) Berechnen Sie die Grenzwerte
sin(x2 )
2x ,
x→0
a) lim
sin(x2 )
.
2
x→0 2x
b) lim
Sollte einmaliges Anwenden der Regel von de L’Hospital nicht zum gewünschten
Erfolg führen, probieren Sie die Regel erneut anzuwenden.
8) Berechnen Sie die Grenzwerte
a) lim xx ,
x→∞
sin(x)+2x
.
x→∞ cos(x)+2x
b) lim
Beide Beispiele werden im Skriptum diskutiert.
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