Tutorium: Übungsblatt 1

Grundzüge der Statistik A
WS 2012/13
Prof. Dr. Lorens Imhof / Oualid Bada
Tutorium: Übungsblatt 1
Aufgabe 1
Die abkürzende Schreibweise für die Summe von n Zahlen x1 , x2 , · · · , xn lautet:
n
X
xi := x1 + x2 + · · · + xn .
i=1
Gegeben seien die Werte:
i:
1
2
3
4
5
xi :
2
−4
−1
5
3
zi :
0, 2
0, 2
0, 4
0, 1
0, 1
1. Berechnen Sie Ak für k = 1, 2, · · · , 12:
A1 =
A5 =
A9 =
5
P
1
i=1
5
P
5
P
; A2 =
zj
; A6 =
j=1
2
P
j
x2i
j=1
5
P
i=1
5
P
i=1
i=1
(xi zi ) ; A10 =
5
P
; A3 =
; A7 =
(−1)i
i=1
3
P
z2j−1
j=1
5
P
(A5 xi ) ; A11 =
(
i=1
5
P
5
P
; A4 =
; A8 =
!
zj )xi
xi
i=1
5
P
(xi z1 )
i=1
5
P
5
P
i=1
j=1
; A12 =
j=1
!
zj x i
2. Stellen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe des Summenzeichens dar: (a) „ Die Summe
der ersten 100 natürlichen Zahlen “; (b) „ Die Summe der ersten 50 ungeraden Zahlen “; (c) „
Die Summe der ersten 50 geraden Zahlen “; (d) „ Die Summe der ersten 20 Quadratzahlen“.
Aufgabe 2
Für Summen gilt die folgende Rechenregel:
n
X
n
X
i=1
i=1
(αxi + βzi ) = α
xi + β
n
X
zi .
i=1
1. Berechnen Sie mit dieser Regel und den Ergebnissen aus Aufgabe 1.1 die Werte von Bk für
k = 1, 2, . . . , 6:
B1 =
B4 =
5
P
(2xi − 3)
; B2 =
5
P
(2xi + 3zi )
i=1
5
P
i=1
5
P
5
P
i=1
i=1
j=1
(3xi zi + 2xi z1 ) ; B5 =
(2xi − 3
1
; B3 =
zj ) ; B6 =
5
P
(3xi zi + 5i)
i=1
9
P
(
5
P
l=1 i=1
xi −
5
P
j=1
zj )
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2. Berechnen und vergleichen Sie:
5
P
C1 =
x2i
C3 =
i=1
5
P
i=1
1
xi
und D1 =
2
5
P
;
xi
C2 =
i=1
1
und D3 = P
5
;
C4 =
5
P
(xi + i)2 und D2 =
i=1
5
P
xi z i
und D4 =
i=1
xi
5
5
P
P
x2i +
i2
i=1
5
P
i=1
i=1
xi
5
P
zj
j=1
i=1
Aufgabe 3
1. Überprüfen Sie, ob für beliebige reelle Zahlen x1 , x2 , x3 und x4 die folgenden drei Gleichungen richtig sind:
4
X
(xi − x̄) = 0
1
4
i=1
4
X
(xi − x̄)2 =
i=1
4
1X
(xi − x̄)(zi − z̄) =
4 i=1
wobei x̄ =
1
4
4
P
xi und z̄ =
i=1
1
4
4
P
(1)
4
1X
(x2 ) − x̄2
4 i=1 i
(2)
4
1X
(xi zi ) − x̄z̄
4 i=1
(3)
zi .
i=1
2. Gelten diese Gleichungen auch noch, wenn „4“ durch eine beliebige natürliche Zahl n ersetzt
wird ?
Aufgabe 4
Gegeben sind die Mengen
M1 = {2, 4, 6, 8, 10},
M2 = {1, 3, 5, 7, 9},
M3 = {0} und
M4 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
1. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
(a): M4 ⊂ M1 ,
(b): M2 ⊂ M4
und
(c): M3 ∈ M4 .
2. Bestimmen Sie die Differenzmengen M5 und M6 von M4 ohne M1 und ohne M2 :
M5 = M4 \ M1
und
2
M6 = M4 \ M2 .
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3. Bestimmen Sie die Schnittmengen:
M7 = M1 ∩ M2 ,
M8 = M1 ∩ M4
und
M9 = M3 ∩ M4 .
4. Bestimmen Sie die Vereinigungsmengen:
M10 = M1 ∪ M2 ,
M11 = M3 ∪ M1
und
5. Zeigen Sie, dass
M4 =
3
[
i=1
3
Mi .
M12 = (M1 ∩ M4 ) ∪ (M2 ∩ M4 ).