ML 5 - D-MATH

D-MATH & D-PHYS
PD Dr. L. Halbeisen
Geometrie
HS 15
Musterlösung Serie 5
17.
a) I1 Sei ga,b,c eine Gerade, die durch die (verschiedenen) Punkte P und Q geht.
Einsetzen der Koordinaten der beiden Punkte in die Geradengleichung
gibt jeweils eine Gleichung in a, b und c. Zuerst analysieren wir die
Differenz der beiden Gleichungen: a(x1 − x2 ) + b(y1 − y2 ) = 0. Falls
x1 6= x2 wählen wir b = 1 und lösen nach a auf. Andernfalls müssen die
y-Koordinaten der Punkte verschieden sein, wir setzen a = 1 und lösen
nach b auf. Anschliessend können wir die so erhaltenen Werte für a und
b in eine der ersten beiden Gleichungen einsetzen und erhalten c. Diese
Herleitung beweist, dass es eine solche Gerade gibt (da wir in jedem Fall
Zahlen a, b und c berechnen können und max(a, b) ≥ 1, insbesondere
eines davon ist 6= 0) und dass die Gerade eindeutig ist (multiplizieren
der Geradengleichung ändert die Gerade nicht: Falls k 6= 0 gilt ga,b,c =
gka,kb,kc))I2 Im allgemeinen liegen die Punkte (0, − bc ) sowie (− ac , 0) auf ga,b,c . Ist a =
0, ersetzt man den zweiten Punkt durch (1, − cb ), falls b = 0 den ersten
durch (− ac , 1). Die beiden Punkte sind jeweils offensichtlich verschieden.
I3 Wir betrachen die Punkte P = (0, 0), Q = (0, 1) sowie R = (1, 0) und
behaupten, dass es keine Gerade gibt, die alle drei enthält. Falls doch,
sei ga,b,c diese Gerade. Durch Einsetzen von P erhält man sofort c = 0,
dann durch Q ∈ ga,b,c folgt b = 0, und dank R a = 0. insbesondere sind
dann a = 0 und b = 0, und ga,b,c somit keine Gerade.
b) Eine zu ga,b,c parallele Gerade muss von der Form ga,b,c1 (= gka,kb,kc1 ) sein.
Einsetzen von P bestimmt den Parameter c1 eindeutig und somit auch die
Parallele durch P .
18. Als Einstieg überlegen wir uns folgendes: Die Relation hat sehr viel Ähnlichkeit
mit der Parameterdarstellung (x, y) = (x0 , y0 ) + s(x2 − x0 , y2 − y0 ) der Geraden
gy2 −y0 ,x0 −x2 ,y0 x2 −x0 y2 .
B0 Falls B(P, Q, R) folgt sofort, dass P, Q, R auf obiger Gerade liegen, mit
s = 0, s = t bzw s = 1.
B1 Umparametrisieren ergibt die andere Relation (r = 1 − s, tneu = 1 − t).
B2 s = 2 ergibt einen weiteren Punkt, Umparametrisieren mit r = 2s die
gewünschte Relation.
B3 Der t-Wert der Punkte P, Q, R ordnet die Punkte in einer eindeutigen Reihenfolge. Sind alle drei verschieden, muss einer der drei t-Werte zwischen
den andern liegen und der dazugehörige Punkt liegt auf der Geraden durch
die andern beiden Punkte.
19. Die Streckung um den Faktor k 6= 0 bildet Punkte (x, y) auf (kx, ky) ab. Die
Geradengleichung muss man gerade umgekehrt verändern und bekommt g a , b ,c =
k k
ga,b,kc . Für k 6= 1 sind ga,b,c und ga,b,kc disjunkt und somit parallel.
20.
a) In der Standardbasis lautet die Gleichung k : (x − 3)2 + (y + 2)2 − 9 = 0.
Ein Vektor (x̃, ỹ) in der neuen Basis entspricht dem Vektor (3x̃ + 3ỹ, x̃ −
5ỹ). Entsprechend hat die Kreisgleichung dann die Form (3x̃ + 3ỹ − 3)2 +
(x̃ − 5ỹ + 2)2 − 9 = 0. Man beachte, dass die beiden neuen Basisvektoren
beide auf dem Kreis liegen (Abstand vom Mittelpunkt = 3). In der neuen
Basis haben diese die Koordinaten (1, 0) bzw. (0, 1). Ausmultiplizieren ergibt
2(5x̃2 + 4x̃ỹ + 17ỹ 2 − 7x̃ − 19ỹ + 2) = 0.
b) Zuerst bemerken wir, dass die Gleichung x̃2 + ỹ 2 − 4 = 0 und die Gleichung
(4x̃)2 + (4ỹ)2 − 64 = 0 dieselbe Punktmenge beschreiben.
Durch Anstarren / Ausprobieren sieht man, dass 5x2 − 6xy + 5y 2 = (x +
y)2 + (2x − 2y)2. Wir bezeichnen mit x̃, ỹ die Koordinaten der neuen Basis
und fordern für diese 4x̃ = x+y und 4ỹ = 2x−2y. Diese beiden Gleichungen
können wir nach x, y auflösen, erhalten x = 2x̃ + ỹ bzw. y = 2x̃ − ỹ und
definieren als Basis ẽ1 = (2, 2), ẽ2 = (1, −1). (Durch Einsetzen kann man
überprüfen, dass die beiden Punktmengen identisch sind.).
21.
a) DV (ABXY ) =
b)
5
7
·
4
6
=
DV (ABXY ) =
c) Sei v = k(3, −2)k =
10
21
7
+ 73
4
3
+ 17
7
2
√
·
17
− 13
2
3
13
7
−
4
3
=
61
61 2 · 7 25 4 · 3
·
·
·
=−
4 · 7 125 6 −31
155
13. Dann folgt: DV (ABXY ) =
2v
3v
·
6v
7v
= 47 .