Tutorium zu Mathematik 1 für WFB1 Vektorrechnung

Tutorium zu Mathematik 1 für WFB1
Vektorrechnung
Aufgabe 1



Gegeben sind die Vektoren a  ( 2 ; 3 ; 0 ) , b  ( 3 ; 4 ; 0 ) , c  ( 3 ;  1 ; 0 ) .
(1) Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch
a)
 
a c
b)
 
c a
c)
  
b a c
d)
1  
(a  c )
3
(2) Bestimmen Sie die Beträge aller Vektorenö.
Aufgabe 1
  1
   
a) a  c   4 
0
 
  2
    
c) b  a  c   2 
 0 
 
 1 
   
b) c  a    4 
 0 
 
5
1  
1 
d) (a  c )   2 
3
3 
0
Aufgabe 2


Gegeben sind die Vektoren a  (  2 ; 3 ; 1 ) und b  ( 2 ;  3 ;  1 ) .




a) Berechnen Sie den Vektor c so, dass gilt: 2a  3c  4b .


b) Bestimmen Sie die Einsvektoren in Richtung von a und b .
Aufgabe 2

a) c = ( -4 ; 6 ; 2 )
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
b) a norm=
1
14

b norm=
(-2 ; 3 ; 1 )
1
( 2 ;  3 ; 1 )
14
Aufgabe 3


Ein Vektor r mit r  7 und dem Anfangspunkt A( 2 / 1 /  1 ) hat die Koordinaten
rx  2 und ry  3 . Bestimmen Sie die fehlende Koordinate rz des Vektors und die
Koordinaten seines Endpunkts.
Aufgabe 3
1) rz = 6
2) rz = -6
Endpunkt: B1 ( 4 / -2 / 5 ) oder B2 ( 4 / -2 / -7 )
Aufgabe 4


Zum Vektor a soll ein Vielfaches des Vektors b addiert werden, so dass die Summe



von a und  b senkrecht auf c steht. Wie muss man  wählen?
Geben Sie zunächst die allgemeine Lösung an, und berechnen Sie  anschließend für
die speziellen Vektoren
6
  
a  1
1
 
,
0
  
b  3 
  1
 
,
  2
  
c  3 
 5 
 
Aufgabe 4
Allgemeine Lösung:  = 
Spezielle Lösung:
a1c1  a 2 c 2  a3 c3
b1c1  b2 c 2  b3 c3
=1
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Aufgabe 5
Gegeben sind die Vektoren


a  ( 2 ;  3 ;  1 ) , b  ( 3 ; 5 ; 2 ) ,

c  (1; 2 ; 0 ) ,

d  ( 2 ; 1; 0 ) .
Berechnen Sie die (Parallel-) Komponenten




a b , ba , c d , d c .
Aufgabe 5
  3

23 

ab = 
5 
38 

2 
2 


23 
ba = 
  3
14 

1 
0
 

cd =  0 
0
 
0

 
dc =  0 
0
 
Aufgabe 6 (Skalarprodukt und Vektorprodukt)




a) Geben sind im  3 die beiden Vektoren a und b mit a  3 und b  4 . Der
Winkel zwischen den beiden Vektoren betrage 60°. Bestimmen Sie aus diesen


Angaben 3a  2b .
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1
 3
 1
 
   
  
b) Es sei a   2  , b  k   1  , k   , und c  1 . Wie muss k gewählt werden,
 2
 4
 1
 
 
 

 

damit der Vektor u  a  b senkrecht auf c steht.



c) Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren x , die zu a und b orthogonal sind.
1
 3 
  2
7
     
     
c1) a   1  , b    4 
c2) a   1  , b   0 
0
 5 
 1 
 3
 
 
 
 






d) Es sei a  3 und b  5 , ferner gelte 2a  4b  7 a  3b . Welchen Winkel


schließen die Vektoren a und b ein? (Verwenden Sie zur Berechnung des
Winkels in diesem Aufgabenteil den Taschenrechner)

 

Aufgabe 6 (Skalarprodukt und Vektorprodukt)
a)
3a  2b   9a 

2
2

2
 
 4 b  12a  b  9  3 2  4  4 2  12  3  4  cos 60  73

 3a  2b  73 .
 1 
 3  1
   
5
 
b) Es muss gelten 0   2   k   1   1  5  8k  0  k   .
8
 4  1
 2 
   

c) Die Menge der Vektoren x besteht aus

  5 

  3 

  

  
c1) k    5  | k  
c2) k   13  | k  

  7

  7

  

  


e) Die Vektoren a und b schließen eine Winkel von 58,18° mit einander ein.
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Aufgabe 7 (Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit)
 2t 2 
 5t 
 1 
  


 
 
2
a) Gegeben sind die Vektoren a   t  , b    4t  und c    6t  . Bestimmen
 t3 
 3t 
 1 






   
Sie t so, dass 2a  b  c  0 ist.
  2
 5 
  

  
b) Geben sind die Vektoren a   5  und b    2  . Berechnen Sie x aus
 1 
 1
 
 
T T T T
a b  x b .
c) Gegeben sind die Punkte A p | 0 | 1 , B2 | 1 | 1 , C 0 | 2 | 0  und D 0 | 1 | q  .
Welcher Zusammenhang muss zwischen p und q gelten, damit die vier Punkte
in einer Ebene liegen?
Aufgabe 7 (Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit)
a) Für t  1 ist die Gleichung erfüllt.
  12 

 
b) x   9 
 3 


 p 
2
 0 
  
  
 

c) Bezeichnet man mit a  CA    2  , b  CB    1 , c  CD    3  , dann
 1
  1
 q 
 
 
 



müssen die drei Vektoren a , b und c in einer Ebene liegen, also linear abhängig
4q  6
.
voneinander sein. Dies ist nur dann möglich, wenn p 
q3
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