Mathematik 1, ¨Ubungen Joachim Schneider 5. Oktober 2006 1

Mathematik 1, Übungen
Joachim Schneider
5. Oktober 2006
1. Weisen Sie nach, daß in jedem Körper K folgende Aussagen gelten (aus [1]):
(a) Das additiv inverse Element −a ist eindeutig durch a bestimmt.
(b) Das multiplikativ inverse Element a−1 zu a (a 6= 0) ist eindeutig bestimmt.
(c) −(−a) = a.
(d) (a−1 )−1 = a, (a 6= 0).
(e) a + b = a + c ⇒ b = c.
(f) ab = ac ⇒ b = c, falls a 6= 0.
(g) a · 0 = 0 und (−1)a = −a.
(h) Die Gleichung a + x = b besitzt genau eine Lösung in K, nämlich x := b − a.
(i) Falls a 6= 0 ist, besitzt die Gleichung ax = b genau eine Lösung, nämlich x := b/a.
2. Beweisen Sie unter Verwendung der Ergebnisse zur Frage 1, daß in jedem Körper K
(a) die Vorzeichenregeln
(−a)b = a(−b) = −(ab),
(−a)(−b) = ab,
(b) und die Annulierungsregel
ab = 0 ⇔ a = 0 oder b = 0
gelten (aus [1]).
3. Beweisen Sie unter Verwendung der Ergebnisse zur Frage 1, das in jedem Körper K die
Regeln der Bruchrechnung gelten (aus [1]):
a c
ad ± bc
± =
,
b d
bd
a c
ac
· = ,
b d
bd
a
b
c
d
=
ad
,
bc
falls b 6= 0 und d 6= 0,
falls b 6= 0 und d 6= 0,
falls b 6= 0 und c 6= 0 und d 6= 0.
4. Beweisen Sie folgende Aussagenlogische Gesetze zur Konjunktion und Disjunktion (aus
[15]):
(a) Kommutatives Gesetz
i. A ∧ B ⇔ B ∧ A
Mathematik 1, Übungen
Seite 2 von 4
5. Oktober 2006
ii. A ∨ B ⇔ B ∨ A
(b) Assoziatives Gesetz
i. A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C
ii. A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C
(c) Distributives Gesetz
i. A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
ii. A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
(d) Gesetz von de Morgan
i. ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
ii. ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
(e) Gesetz der Idempotenz
i. A ∧ A ⇔ A
ii. A ∨ A ⇔ A
(f) Absorptionsgesetz
i. A ∧ (A ∨ B) ⇔ A
ii. A ∨ (A ∧ B) ⇔ A
(g) Gesetz vom Widerspruch
A ∧ ¬A ⇔ F
(h) Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten
A ∨ ¬A ⇔ W
(i) Verknüpfung mit Konstanten
i. A ∧ F ⇔ F
ii. A ∨ W ⇔ W
iii. A ∧ W ⇔ A
iv. A ∨ F ⇔ A
5. Beweisen Sie folgende Aussagenlogische Gesetze zur Subjunktion und Bijunktion (aus
[15]):
(a) Kontrapositionsgesetz: A → B ⇔ ¬B → ¬A
(b) 1. Bijunktionsersetzung: A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A)
(c) Subjunktionsersetzung: A → B ⇔ ¬A ∨ B
(d) 2. Bijunktionsersetzung: A ↔ B ⇔ (A ∧ B) ∨ ¬(A ∨ B)
(e) Transitivität: (A → B) ∧ (B → C) ⇒ A → C
6. Es sei in der folgenden Aufgabe R die Menge der reellen Zahlen, also die Punkte auf der
Zahlengerade; darauf wird später noch genauer eingegangen.
Es seien
Mathematik 1, Übungen
Seite 3 von 4
5. Oktober 2006
A = {x ∈ R|x ≤ 0}, B = {x ∈ R|x > 1}
und
C = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}.
Bestimmen Sie A ∩ B, A ∪ B ∪ C, A \ C und B \ C (aus [7]).
7. Es seien A und B Mengen. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke (aus [7]):
(a) A ∩ A;
(b) A ∪ ∅;
(c) A ∩ (A ∪ B);
(d) A ∩ (B \ A);
8. Veranschaulichen Sie das Distributivgesetz
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
durch ein Venn-Diagramm (aus [7]).
9. Veranschaulichen Sie die Formel
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
durch ein Venn-Diagramm (aus [7]).
10. Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion die folgenden Gleichungen (aus [7]):
(a)
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
für alle n ∈ N.
(b)
1
13 + 23 + 33 + · · · + n3 = n2 (n + 1)2
4
für alle n ∈ N.
11. Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion daß 2n > n für alle n ∈ N gilt (aus [7]).
Mathematik 1, Übungen
Seite 4 von 4
5. Oktober 2006
12. Unter einer Permutation von n Elementen (n ∈ N) versteht man eine bijektive Abbildung
einer Menge {a1 , a2 , . . . , an } auf sich; man gibt sie durch ein Schema
µ
a1 , . . . , an
ai1 , . . . , ain
¶
µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶
1, 2, 3
1, 2, 3
1, 2, 3
1, 2, 3
1, 2, 3
an. Beispiel:
,
,
,
,
,
1,
2,
3
1,
3,
2
2,
1,
3
2,
3,
1
3,
1,
2
µ
¶
1, 2, 3
sind alle Permutationen der Zahlen 1, 2 und 3.
3, 2, 1
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, daß die Anzahl der Permutationen einer nelementigen Menge durch
n! := n · (n − 1) · · · 2 · 1
gegeben ist.
13. Der Binomialkoeffizient ist für α ∈ K und k ∈ N definiert durch
µ ¶
α
α(α − 1) · · · (α − (k − 1))
=
k
1 · 2···k
(a) Beweisen Sie, daß für n ∈ N, k ∈ N gilt:
µ ¶
n
n!
=
k
k!(n − k)!
(b) Beweisen Sie durch vollständige Induktion,¡ daß
¢ die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge durch nk gegeben ist.