Mathematik für Gymnasien Grundwissen

Mathematik für Gymnasien
Grundwissen - Jahrgangsstufe 6
I.
Brüche
1. Allgemeines
2. Erweitern und Kürzen
3. Dezimalbrüche
4. Vergleichen von Brüchen
5. Addition und Subtraktion …
i. … von Brüchen
ii. … von gemischten Zahlen
iii. … von Dezimalbrüchen
6. Multiplikation und Division …
i. … von Brüchen
ii. … von gemischten Zahlen
iii. … von Dezimalbrüchen
7. Rationale Zahlen
II. Relative Häufigkeit
III. Geometrie
1. Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken
2. Oberflächeninhalt von Körpern
3. Volumen und Volumenmessung
IV. Prozentrechnung und Diagramme
P-Seminar Mathe „Schüler helfen Schülern“, Johanna Obermaier
1
I. Brüche
1. Allgemeines

Mit Hilfe von Bruchzahlen lässt sich ein Bruchteil vom Ganzen darstellen.
Bsp.:
𝟏
=
𝟑
z

Brüche haben die Form mit z ∈ IN0 und n ∈ IN;

z heißt Zähler, n heißt Nenner des Bruches.
Ein Anteil von einer Größe kann durch einen Bruchteil angegeben werden.
n
Bsp.:
3
4
1
von 32 kg = (4 von 32 kg) ∙ 3 = (32 kg : 4) ∙ 3 = 8 kg ∙ 3 = 24 kg
z

Es gilt:

verschiedene Arten der Brüche:
n
=z:n
Bsp.: 3 von 5 = 3 ∶ 5 =
3
5
 Stammbrüche: z = 1
Bsp.:
1
8
 echte Brüche: z < n
Bsp.:
5
9
 unechte Brüche: z > n
Bsp.:
8
3
 Scheinbrüche: z = 0 oder z ist ein Vielfaches von n
Bsp.:

24
6
=4
Unechte Brüche lassen sich in gemischte Zahlen verwandeln.
Bsp.:
8
3
=2
2
3
2
2. Erweitern und Kürzen
Jeder Bruch hat einen Platz auf der Zahlengerade. Brüche mit dem gleichen Platz haben den gleichen
Wert. Sie sind Namen für eine Bruchzahl. z.B.
3
7
=
6
14
Durch Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert
eines Bruchs nicht!
Abb.1
 Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl (≠ 0)
multipliziert.
(feinere Unterteilung des Ganzen)
Bsp.:
3
8
=
3∙4
8∙4
=
12
(hier wurde mit 4 erweitert)
32
 Kürzen: Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl (≠ 0)
dividiert.
(gröbere Unterteilung des Ganzen)
Bsp.:
12
32
=
12 ∶ 4
32 ∶ 4
=
3
8
Abb.2
(hier wurde mit 4 gekürzt)
 Einen Bruch, den man nicht mehr kürzen kann, nennt man vollständig gekürzt (Grundform).
3. Dezimalbrüche
 Zahlen wie z.B. 5,841 werden Dezimalzahlen genannt. Dabei heißt die 1. (2. , 3. ,...) Stelle hinter
dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel, ...). Alle Ziffern hinter dem Komma heißen
Dezimalen.
Bsp.: 0,07 =
7
100
3,857 = 3
857
1000
8
5
7
= 3 + 10 + 100 + 1000
3
 Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche:
Die Division
o
z
n
= z : n ergibt
einen endlichen Dezimalbruch, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruches
nur die Primfaktoren 2 oder 5 (oder beide) enthält.
Bsp.:
o
17
34
= = 0,5 (da der Nenner der Primfaktor 2 ist)
1
2
7
25
= 0,28
6
20
=
(da man den Nenner in den Primfaktor 5 zerlegen kann: 25 = 5 ∙ 5 = 52 )
30
= 0,30
100
(Primfaktoren des Nenners sind 2 und 5: 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 22 ∙ 5 )
sonst einen unendlichen periodischen Dezimalbruch.
5
1
Bsp.:
= = 1 : 6 = 0,16666666… = 0,16̅
(da der Nenner neben der 2 noch weitere
30
6
Primfaktoren enthält: 6 = 2 ∙ 3 )
 Runden von Dezimalbrüchen:
Vor dem Runden muss man die Anzahl der Nachkommastellen kennen, die die gerundete Zahl
haben soll.
Ist die erste wegzulassende Stelle 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.
Ist die erste wegzulassende Stelle 5, 6, 7, 8, oder 9, so wird aufgerundet
Bsp.: Runde auf drei Nachkommastellen (also auf Tausendstel)!
6,5324 ≈ 6,532
8,3958 ≈ 8,396
4. Vergleichen von Brüchen
Bruchzahlen:
Um Bruchzahlen vergleichen zu können, gibt es zwei Möglichkeiten.
Entweder man bringt die Brüche durch Erweitern oder Kürzen auf den gleichen Nenner (also macht
sie gleichnamig). Dann gilt: Der Bruch mit dem größeren Zähler ist somit auch die größere Bruchzahl.
Bsp.:
3
4
<
5
4
Oder man bringt die Brüche auf den gleichen Zähler. Dann gilt: Der Bruch mit dem kleineren Nenner
ist die größere Bruchzahl.
Bsp.:
6
17
>
6
23
Dezimalbrüche:
Haben zwei Dezimalbrüche unterschiedliche Vorzeichen, so ist stets die Zahl mit dem positiven
Vorzeichen (+) größer, als die mit dem negativen (-).
Bsp.: −7,1 < 2,34
Wenn beide Zahlen negativ sind, ist die Zahl größer, deren Betrag kleiner ist.
Bsp.: −1,3 < −0,5
da: |−0,5| = 0,5 < |−1,3| = 1,3
4
Wenn beide Zahlen positiv sind, fängt man an der Stelle ganz links an, die Ziffern mit gleichem
Stellenwert zu vergleichen. Die Zahl, bei der zuerst eine größere Ziffer auftritt, ist die Größere.
Bsp.: 1,34𝟓 > 1,34𝟐
5. Addition und Subtraktion
i. Addition und Subtraktion von Brüchen
 Gleichnamige Brüche (Brüche mit gleichem Nenner) werden addiert (bzw. subtrahiert), indem
man Zähler plus (bzw. minus) Zähler rechnet und den Nenner beibehält.
Bsp.:
2
7
3
2+3
7
7
+ =
=
5
7
3
;
4
1
3−1
4
4
− =
2
1
4
2
= =
 Ungleichnamige Brüche (Brüche mit verschiedenen Nennern) werden addiert (bzw.
subtrahiert), indem man vor dem Addieren (bzw. Subtrahieren) auf den Hauptnenner
(=kleinstes gemeinsames Vielfach) erweitert  Man macht die Brüche gleichnamig. Dann
rechnet man wieder Zähler plus (bzw. minus) Zähler und behält den Nenner bei.
Bsp.:
1
6
1
2
4
12
+ =
+
3
12
=
2+3
12
=
5
12
ii. Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen
Zuerst müssen die Brüche gleichnamig gemacht werden. Dann addiert (bzw. subtrahiert) man die
Ganzen und die Brüche getrennt voneinander und fasst am Ende zusammen.
3
1
3
Bsp.: 2 4 + 5 2 = (2 + 5) + ( 4 +
1
2
3
) = (2 + 5) + ( 4 +
2
4
5
1
) = 74 = 84
Eine andere Möglichkeit wäre es, die gemischten Zahlen in unechte Brüche zu verwandeln, um
dann addieren (bzw. subtrahieren) zu können.
iii. Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen
Dezimalbrüche müssen stellenwertgerecht addiert (bzw. subtrahiert) werden. Beim
Untereinanderschreiben, um schriftlich addieren (bzw. subtrahieren) zu können, muss also
Komma unter Komma stehen.
Bsp.:
56,89
− 3,41
53,48
5
6. Multiplikation und Division
i. Multiplikation und Division von Brüchen
 Merke: Produkte im Zähler und Nenner müssen vor dem Ausmultiplizieren stets vollständig
gekürzt werden.
 Multiplizieren: Man rechnet Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
2 4
2∙4
8
∙ = 3 ∙ 5 = 15
Bsp.:
⏞ 10
18
∙
;
3 5
60 24
⏟
3
= 60
∙
⏟
⏞
10
4
⏞
3
= ⏟6 ∙
1
4
1∙1
1
= 2∙4 = 8
 Dividieren: Es gilt Bruch : Bruch = Bruch ∙ Kehrbruch
a
b
1
Bsp.:
4
5
1 7
7
: 7 = 4 ∙ 5 = 20
c
a
d
d
b
c
: = ∙
;
3
8
∶ 5=
3
8
∶
5
1
=
3
8
∙
1
5
=
3
40
! Achtung: Durch Null dividieren ist verboten!
ii. Multiplikation und Division von gemischten Zahlen
Um gemischte Zahlen multiplizieren (bzw. dividieren) zu können, wandelt man sie zuerst in
unechte Brüche um. Anschließend geht man so vor, wie bei echten Brüchen (siehe
i. Multiplikation und Division von Brüchen).
Bsp.:
5 17
3
26 :
=
17 3
∙
6 17
1∙3
= 6∙1 =
1∙1
2∙1
=
1
2
iii. Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen
 Multiplizieren: Man multipliziert zuerst beide Dezimalbrüche ohne das Komma zu
berücksichtigen. Am Ende setzt man das Komma so, dass das Ergebnis gleich viele
Nachkommastellen besitzt wie beide Faktoren zusammen.
1 Stelle
Bsp.:
2 Stellen
1,8 ∙ 0,64
72
101 80
1,152
3 Stellen
6
 Dividieren:
Bei einer Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl geht man vor wie bei der
Division natürlicher Zahlen und setzt beim Überschreiten des Kommas im Dividenden das
Komma im Ergebnis.
⏞ ,5 : 15 = 1,5
Bsp.: 22
- 15
75
- 75
0
Bei einer Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch verschiebt man das Komma
so weit nach rechts, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Dann kann man so vorgehen wie
oben erklärt.
Bsp.: 0,48 : 0,6 = 4,8 : 6 = 0,8
! Das Ergebnis einer Division ist dann ein periodischer Dezimalbruch, wenn sich beim
Divisionsverfahren ein bestimmter Rest immer wieder wiederholt.
⏞ : 11 = 3,90
̅̅̅̅
Bsp.: 0,43 : 0,11 = 43
- 33
100
- 99
10
- 0
100
…
7. Rationale Zahlen
 Die Menge der positiven und negativen Bruchzahlen, sowie die positiven und negativen
Dezimalzahlen bilden zusammen mit der Zahl 0 die Menge der rationalen Zahlen ℚ.
 Die Rechengesetze und –regeln der ganzen Zahlen ℤ gelten auch für die rationalen Zahlen ℚ.
zur Erinnerung: Rechengesetze

Kommutativgesetz (KG)
a+b=b+a
und
a∙b=b∙a

Assoziativgesetz (AG)

Distributivgesetz (DG)
(a + b) + c = a + (b + c) und (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c
Abb.3

Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich
Merkwort: KLA P P S
7
II. Relative Häufigkeit
a) Zufallsexperimente
 Experimente, deren Ergebnisse nicht vorhersagbar (also zufällig) sind und unter gleichen
Bedingungen beliebig oft wiederholt werden, nennt man Zufallsexperimente.
Bsp.: Werfen eines Spielwürfels/ einer Münze; Drehen eines Glückrades
 Relative Häufigkeit =
absolute Häufigkeit
Gesamtzahl
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis auftritt.
Die relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit des bestimmten
Ergebnisses an der Gesamtzahl der Durchführung des Zufallsexperiments ist.
Bsp.: Ein Würfel wird insgesamt zwanzigmal geworfen. Fünfmal wird eine 2 gewürfelt.
Das Ergebnis „Augenzahl = 2“ tritt also fünfmal auf ( absolute Häufigkeit = 5).
Um nun auf die relative Häufigkeit zu kommen, muss man die Formel verwenden:
absolute Häufigkeit
5
1
=
=
Gesamtzahl
20
4
b) Empirisches Gesetz der Großen Zahlen
 Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die relative Häufigkeit bei
einem festen Zahlenwert ein.
Bsp.: Beim Werfen eines Spielwürfels ist dieser Wert
1
6
.
 Diese Bruchzahl ist ein guter Schätzwert für die tatsächliche Wahrscheinlichkeit des
Ergebnisses.
c) Vierfeldertafel
Um Daten eines Zufallsexperiments oder einer Befragung übersichtlich auswerten zu können, ist
eine Vierfeldertafel ein praktisches Hilfsmittel zur Berechnung von absoluten und relativen
Häufigkeiten.
8
Bsp.:
Die Klasse 6a, die aus 24 Personen besteht, hat eine Umfrage zum Thema Skifahren in der eigenen
Klasse durchgeführt. 18 der Schülerinnen und Schüler haben die Frage, ob sie gerne Skifahren gehen,
mit „Ja“ beantwortet.
15 Personen der Klasse sind Mädchen. 5 Personen der Klasse sind Mädchen, die nicht gerne Ski
fahren.
Erstelle eine passende Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten für diese Situation.
Wie groß ist der Anteil ( relative Häufigkeit) der Jungen, die Skifahren mögen?
1. Schritt: Vierfeldertafel erstellen
2. Schritt: alle bekannten Zahlen (hier: dick gedruckt) eintragen
3. Schritt: aus den bekannten Zahlen die übrigen berechnen
(Immer jedes Kästchen einer Zeile muss addiert werden, sodass im letzten Kästchen der
Zeile das Ergebnis steht.
z.B. bei der ersten Zeile: ? + 5 = 15  Umkehraufgabe: 15 – 5 = 10
Das gleiche Prinzip gilt bei den Spalten. Jedes Kästchen einer Spalte wird addiert, sodass im
letzten Kästchen der Spalte das Ergebnis steht.
z.B. bei der letzten Spalte: 15 + ? = 24  Umkehraufgabe: 24 – 15 = 9 )
Mag gerne
Skifahren
10
8
18
Mädchen
„Nicht Mädchen“ (also Junge)
Mag nicht gerne
Skifahren
5
1
6
15
9
24
4. Schritt: die absolute Häufigkeit der Jungen, die Skifahren mögen, ablesen
8
5. Schritt: mit Hilfe der Formel die relative Häufigkeit berechnen
8
24
=
𝟏
𝟑
 Antwort:
1
3
der Klasse 6a sind Jungs, die gerne Skifahren gehen.
9
III. Geometrie
1. Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken
Parallelogramm:
A P = ha ∙ a = hb ∙ b
allgemein:
𝐀𝐏 = g ∙ h
mit g als Grundlinie
und h als zugehörige Höhe
Abb.4
Dreieck:
1
1
1
2
2
2
A D = ∙ a ∙ h a = ∙ b ∙ hb = ∙ c ∙ hc
allgemein:
𝟏
𝐀𝐃 = ∙ g ∙ h
𝟐
mit g als Grundlinie
und h als zugehörige Höhe
Abb.5
Trapez:
c
allgemein:
ha
a
𝟏
𝐀𝐓 = ∙ (a + c) ∙ h
𝟐
wobei a ll c ist
Abb.6
10
Verständnishilfe:
Abb.7
2. Oberflächeninhalt von Körpern
Um den Oberflächeninhalt eines Körpers berechnen zu können, muss man den Flächeninhalt des
Körpernetzes berechnen.
für Quader: 𝐎𝐐 = a ∙ b ∙ 2 + c ∙ b ∙ 2 + a ∙ c ∙ 2 = ( a ∙ b + c ∙ b + a ∙ c) ∙ 2
mit a = Länge ; b = Breite ; c = Höhe
Abb.8
für Würfel: 𝐎𝐖 = s ∙ s ∙ 6 = 𝐬 𝟐 ∙ 6
mit s = Kantenlänge
ss
s
s
Abb.9
3. Volumen und Volumenmessung
Volumen von Körpern geben an, welchen Raum diese einnehmen.
Volumeneinheiten: („hoch drei“ = „Kubik“)
Kantenlänge des
Würfels
zugehörige
Volumina
1 mm
1 cm
1 dm
1m
1 mm3
1 cm3
1 dm3
1 m3
Die Umrechnungszahl ist 1000. Bsp.: 1 cm3 = 1000 mm3 = 0,001 dm3 = 0,000 001 m3
11
Die Einheit Liter [ 𝑙 ] wird oft bei Flüssigkeitsmengen verwendet.
! Merke: 1 dm3 = 1 𝑙 [Liter]
1 cm3 = 1 m𝑙 [Milliliter]
100 𝑙 = 1 h𝑙 [Hektoliter]
Volumenberechnung:
V=a∙b∙c
für Quader:
mit a = Länge ; b = Breite ; c = Höhe
Abb.8
V = s ∙ s ∙ s = 𝐬𝟑
für Würfel:
mit s = Kantenlänge
s
s
s
Abb.9
12
IV. Prozentrechnung und Diagramme
1. Prozentschreibweise
Prozent ist eine andere Schreibweise für Hundertstel. Die Prozentschreibweise ist zum anschaulichen
Vergleich von Anteilen meist sehr praktisch.
50
8
Bsp.: 50% = 100 = 0,5
8% = 100 = 0,08
2. Prozentrechnung
⏟
20%
⏟
250€
von
Prozentsatz/Anteil
Grundwert
20
100
∙
Es gilt:
=
⏟
50€
Prozentwert/
Bruchteil
250€
=
50€
oder
0,20 ∙ 250€ =
50€
p % von G = P
mit p% = Prozentsatz
G = Grundwert (der Grundwert ist immer 100% [das Ganze])
P = Prozentwert
a) Prozentsatz p% gesucht:
P
Anteil P von G = G = p%
! Achtung: „Zahl von Zahl = Zahl : Zahl
=
Bsp.: Wie viel Prozent sind 7€ von 35€?
7 von 35 =
7
35
1
5
= =
2
10
Bsp.: Wie viel sind 20% von 150€?
20% von 150€ = 20% ∙ 150€ = 0,20 ∙ 150€ = 30€
oder:
20
∙
100
2
Zahl
“  Als Ergebnis
bekommt man einen Anteil.
= 0,20 = 20%
p% von G = p% ∙ G = P
b) Prozentwert P gesucht:
Zahl
! Achtung: „Prozentsatz/Anteil von Zahl =
Prozentsatz/Anteil ∙ Zahl “
 Als Ergebnis bekommt man eine
Zahl.
150€ = 10 ∙ 150€ = (2 ∙ 150€) : 10 = 30€
13
P
c) Grundwert G gesucht:
G = p%
Bsp.: Der Preis eines Fernsehgeräts wurde um 20% gesenkt und beträgt nun 320€.
Wie teuer war es vorher?
80% von ____ = 320€
0,8 ∙ ____ = 320€
 Umkehraufgabe bilden: 320€ : 0,8 = 400€
oder:
320€ sind 80% vom Grundwert (da 100% - 20% = 80%)
G=
320€ 320€
=
80%
0,80
= 400€
Bemerkung:
Um den Prozentsatz/ Prozentwert/ Grundwert zu berechnen kann man auch den Dreisatz
verwenden!
z.B. bei c)
80% entsprechen 320€
1%
entspricht
4€
100% entsprechen 400€
: 80
∙ 100
: 80
∙ 100
3. Diagramme
Um übersichtlich den Zusammenhang zwischen zwei Größen darstellen zu können, kann man ein
Diagramm verwenden.
 Jede Koordinatenachse wird mit einer Größe beschriftet.
 Jeder Punkt im Diagramm beschreibt jeweils mit seinen Koordinaten einen Wert der einen Größe
und den dazugehörigen Wert der anderen Größe.
Bsp.:
Pias Eltern haben an jedem Geburtstag ihre Größe gemessen und in einer Tabelle festgehalten.
Von jedem Punkt gibt die erste Koordinate das Alter (in Jahren) und die zweite Koordinate die Größe
(in cm) an.
Größe in cm
Wie groß war Pia an ihrem 2. Geburtstag?
140
120
100
80
60
40
20
0
 Antwort: Pia war an ihrem 2.
Geburtstag 100cm (= 1m) groß.
0
1
2
3
4
Alter in Jahren
5
6
Abb.10
14
Literaturverzeichnis:
Folgende Quellen wurden als Orientierung zur Erstellung dieser Grundwissensübersicht genutzt:


Schmid, August / Weidig, Ingo: Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien 6 Bayern,
1. Auflage 2013, Ernst Klett Verlag
https://www.gymnasium-neubiberg.de/index.php/mathematik.html (zuletzt aufgerufen am
02.09.2016)
Abbildungsverzeichnis:
Abb.1 : Schmid, August/ Weidig, Ingo: Lambacher Schweitzer Mathematik für Gymnasien 6 Bayern,
1. Auflage 2013, Ernst Klett Verlag, S.25
Abb.2: selbst mit Hilfe von „GeoGebra“ erstellt
Abb.3: http://www.mathematik-wissen.de/definition_rationale_zahlen.htm
Abb.4: Schmid, August/ Weidig, Ingo: Lambacher Schweitzer Mathematik für Gymnasien 6 Bayern,
1. Auflage 2013, Ernst Klett Verlag, S. 112
Abb.5: ebenda S.116
Abb.6: selbst mit Hilfe von „GeoGebra“ erstellt
Abb.7: Schmid, August/ Weidig, Ingo: Lambacher Schweitzer Mathematik für Gymnasien 6 Bayern,
1. Auflage 2013, Ernst Klett Verlag, S. 117
Abb.8: http://rmg.zum.de/wiki/P-Seminar/Mathematik_2010- 12/VIII.5._Oberfl%C3%A4cheninhalt_des_Quaders
Abb.9: http://media.4teachers.de/images/thumbs/image_thumb.1606.png zusammen mit eigenen Ergänzungen
Abb.10: selbst mit „Microsoft Word“ erstellt
15