Zum Quiz von Freitag 18.02.2012

Zum Quiz von Freitag 18.02.2012
Antworten und Erklärungen
Physik 5. Klasse
Aufgabe 1. Die Erde dreht in einer fast kreisformigen Bahn um die Sonne. Der Radius des
Kreises ist etwa 150 Million Kilometer und eine Umdrehung dauert 365 Tage. Berechne die
Umlaufgeschwindigkeit in km/h.
Antwort. Der Umfang eines Kreises mit Radius r ist durch 2πr gegeben - ich gehe davon aus,
dass ihr euch diese Formel merkt. Für r = 150 · 106 km bedeutet dies, dass der Umfang etwa 900
Million Kilometer ist. Also, in einem Jahr legt die Erde eine Distanz von 900 Million Kilometer
zurück. Aber dann sind wir noch nicht da, weil wir wollen die Antwort in km/h wissen. Ein
Jahr hat 365 Tage und jeder Tag hat 24 Stunden; insgesamt ergibt das etwa 9000 Stunden.
Also, in 9000 Stunden legt die Erde 900 Million km zurück. Also pro Stunde sind das dann:
900 · 106 : 9 · 103 = 100 · 103 = 100.000 km. Die Antwort lautet also etwa 100.000 km/h. Hier
unten sieht man ein Bild, das die Situation gut darstellt. Auch wird im Bild gezeigt, dass die
Erdbahn nicht ein wirklicher Kreis ist.
Aufgabe 2.
Der Durchmesser der Erde passt etwa 11mal in den Durchmesser des Jupiters. Berechne wie oft
das Volumen der Erde in das des Jupiters passt.
1
Antwort Hier muss man wissen, dass, wenn wir alle Abmessungen um einen Faktor a vergrößern, das Volumen
um einen Faktor a3 zunimmt. Dies kann man sich leicht
merken; Volumen messen wir in Kubikmeter, also m3 .
Zudem gibt es natürlich eine Formel für das Volumen
einer Sphäre mit Radius r: V (r) = 43 πr3 , worin man
sieht, dass das Volumen mit der dritten Potenz des Radius zunimmt; wenn wir dann r durch einen amal größeren
Radius ar ersetzen, bekommen wir ein neues Volumen
V (ar) = 34 π(ar)3 = 43 πa3 r3 = a3 43 πr3 = a3 V (r).
Eine andere Weise dies alles zu verstehen ist wie folgt:
Zeichne einen Würfel mit Kantenlänge 1cm. Wenn du
jetzt einen Würfel zeichnest, von dem die Kanten 2cm
sind, dann ist das neue Volumen 8cm3 .
Also, das Volumen von Jupiter ist um einen Faktor 113 =
1331 größer als das der Erde.
Aufgabe 3.
Die Masse der Erde ist etwa 6 · 1024 Kilogramm. Ein Mensch wiegt im Schnitt so etwa 60
Kilogramm. Es gibt 6 Milliard Menschen auf der Erde. Wie viel Prozent der Erdmassa wird
von den Menschen ausgemacht?
Antwort Die Gesamtmasse aller Menschen ist also 6 · 109 · 60 = 360 · 1010 = 3, 6 · 1012 kg. Das
ist aber nur
360 · 1010
60
6
× 100% = 14 × 100% = 11 % = 6 · 10−11%
(1)
6 · 1024
10
10
Wenn wir das ausschreiben: 0, 00000000006%, also das sind 0, 0000000006 Promille – noch eine
Null weg. Hier schliessen wir doch folgendes: Wenn alle Chinesen auf einmal gleichzeitig einen
Sprung machen, dann macht das nichts aus! Ihre Masse ist noch nicht einmal ein Millionstel
von einem Milliardstel von einem Promille.
Aufgabe 4. Ein Flugzeug fliegt von Wien nach Barcelona. Barcelona liegt 700 km südlich und
1100 km westlich von Wien. Wenn der Flug zwei Stunden dauert, berechne die durchschnittliche
Geschwindigkeit.
Antwort Dies ist eine einfache Anwendung von Pythagoras: Wenn man die Distanz hat, dann
dividieren durch die Anzahl der Stunden, und dann hat man die Antwort. Die Distanz findet
man wie folgt:
s2 = 11002 +7002 = 1210000+490000 = 1700000 also s ∼ 1300km. Das heißt also, das Flugzeug
fliegt so 650 km/h.
Aufgabe 5.
Was passiert mit der Bahn der Erde, wenn die Sonne auf einmal nicht mehr da ist, und wann
spüren wir das?
Antwort Wenn die Sonne die Erde auf einmal nicht mehr anzieht, ist die Kraft, die dafür sorgt,
dass die Erde in einem Kreis dreht, nicht mehr da. Vergleiche mit dem Kugelschleudern; was
passiert wenn der Athlet die Kugel loslässt? Die Kugel fliegt entlang einer Geraden weiter. Das
passiert mit der Bahn der Erde also auch - sie fliegt entlang einer Geraden weiter! Da die Erde
auf 150 Million km von der Sonne steht und die Lichtgeschwindigkeit 300.000 km/sek ist, dauert
es 150 · 106 : 3 · 105 = 50 · 10 = 500 Sekunden. Das sind also etwas mehr als 8 Minuten.
Aufgabe 6. Ordne nach Größe: 230
3 · 210
320
1020
3−2
−8
2−3
− 1 · 30 .
Antwort Es sollte jedem klar sein, dass −1·30 = −1·1 = −1, 210 = 1024, 2−3 = 213 = 18 = 0, 125,
3−2 = 91 . Also, was noch bestimmt werden muss, ist wie 320 und 230 und 1020 sich verhalten.
Die Ungleichung 230 < 320 lässt sich mit einem Taschenrechner zeigen1 und da 32 neun ist, sieht
1 Alternative:
320 = (32 )10 = 910 und 230 = (23 )10 = 810 , also klar dass 230 = 810 < 910 = 320 .
2
man dass 320 = 910 < 1010 , was wieder kleiner als 1020 ist. Also:
−8 < −1 · 30 < 3−2 < 2−3 < 230 < 320
(2)
Aufgabe 7. Ist es Zufall, dass 12 = 1, 22 = 1 + 3, 32 = 1 + 3 + 5, 42 = 1 + 3 + 5 + 7?
Antwort Nein, das ist sicher kein Zufall. Die bildnerische Erklärung ist wie folgt: Jede Quadratzahl können wir uns wie ein Quadrat vorstellen. Schau dir aber dann die Figur hier unten
an:
Das erste (Lila?) Quadrat steht dann für 1. Lila und Grün zusammen machen dann 22 , aber
von Grün gibt es 3; also 1 + 3 = 22 . Von den Gelben gibt es 5; und so geht es weiter.
Man kann es auch algebraisch verstehen: Was ist der Unterschied zwischen dem Quadrat von k
und dem Quadrat der nächsten Zahl k+1? Ganz einfach: (k+1)2 −k 2 = k 2 +2k+1−k 2 = 2k+1.
Aber die Zahlen 2k + 1 sind genau die ungeraden Zahlen: 2 · 0 + 1 = 1 und 2 · 1 + 1 = 3 und
2 · 2 + 1 = 5 und so weiter.
Aufgabe 8.
Die Zahlenreihen: eine Reihe war die Fibonacci-Reihe: 1 − 1 − 2 − 3 − 5 − 8 − 13 − 21 − 34 − . . ..
Eine andere Reihe waren nicht Quadratzahlen, aber um eins weniger: 3 − 8 − 15 − 24 − 35 − 48.
Die mittlere Reihe waren die Primzahlen - hier fehlte also 37.
Aufgabe 9.
Ein Würfel hat Kantenlänge s. Berechne die Länge der Körperdiagonale.
Antwort Siehe die Figur nebenan:
Die Länge b in der Figur finden
wir mit Pythagoras
im unteren
√
√
Quadrat: b = s2 + s2 = s 2.
Die Länge d finden wir dann indem wir das Dreieck mit Kantenlängen b, s und d nehmen. Das
ist wieder ein rechtwinkliges Dreieck, und also gilt d2 = b2 + s2 =
2s2 + s2 = 3s2 . Also, √
die Länge
der Diagonale ist d = s 3.
3
Aufgabe 10.
Wie viele Ziffern hat die Zahl 3, 25 · 1019 ?
Antwort 20. Dies ist wirklich einfach, wenn man zuerst das Problem auf Bekanntes zurückbringt:
102 = 100 hat drei Ziffern und 3, 25 · 102 = 325 auch. 103 = 1000 hat vier Ziffern und
3, 25 · 103 = 3250 auch. 104 = 10000 hat fünf Ziffern und 3, 25 · 105 = 32500 auch. Die allgemeine Struktur ist also: 10n hat n Nullen, also (n + 1) Ziffern und 3, 25 · 10n hat auch (n + 1)
Ziffern.
Aufgabe 11.
Berechne 1 + 2 + 3 + . . . + 1000.
Antwort Man kann natürlich sich lange hinsetzen, oder man benutzt sein Gehirn! Wir berechnen einfach zuerst das Doppelte:
(1 + 1000) + (2 + 999) + (3 + 998) + . . . + (1000 + 1)
(3)
Also, wir paren die Zahlen zusammen (1, 1000) und (2, 999) und (3, 998); das sind genau die
Zahlenpaare (A, B) mit natürlichen Zahlen A und B, sodass A + B = 1001. Das Doppelte der
Summe ist also genau 1000 · 1001 = 1001000, da es genau 1000 solche Paare (A, B) gibt. Hier
unten siehst du zwei Bilder, die die Methode nochmal erklären - das linke Bild zeigt die Methode
für 1 + 2 + 3 + . . . + 100.
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