Gruppe A - Fachrichtung Mathematik

Technische Universität Dresden
Institut für Mathematische Stochastik
Prof. Dr. Dietmar Ferger
Dresden, 25. 07. 2014
Prüfungsklausur Mathematik II
für Studierende der Bachelorstudiengänge
der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
und der Fachrichtung Verkehrswirtschaft
Name:
Vorname:
Fachrichtung:
Matrikel-Nr.
(Bitte deutlich schreiben)
Nur die Endergebnisse in den dafür vorgesehenen Feldern werden gewertet.
Die Klausur gilt als bestanden, wenn Sie mindestens 12 Punkte erreicht haben.
1. Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1 − i und z2 =
Re(z1 + z2 ) =
Im(z2 ) =
z1 =
z2 arg ((z1 )2 ) =
1
2
√ iπ
2e 4 . Berechnen Sie:
(4 Punkte)
i
π 34
2 2 z1 · z2 e
. Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene z3 und z3 .
Sei z3 =
i
Imz
√
N
3
2
1
(2 Punkte)
I
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
−1
−2
1
3
4
5
Rez
2. Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge der komplexen Zahlen, die
der Gleichung |z − 3| = |z| genügen.
Imz
N
2
1
I
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
Rez
(1 Punkt)
5
−1
−2
3. Ein Kapital von 5000 Euro soll für 8 Jahre bei stetiger Verzinsung angelegt werden.
Wie hoch muss der Zinsfuß p sein, damit man am Ende der Laufzeit über 6000 Euro
verfügt? (Endergebnis gerundet auf drei Nachkommastellen)
(1 Punkt)
p=
∞
X
2k−1
4. Untersuchen Sie mit einem geeigneten Konvergenzkriterium die Reihe
k(k + 1)ek
auf Konvergenz (Lösungsweg angeben).
k=1
(3 Punkte)
(
a + x für x < 4
b x2
für x ≥ 4
Wie sind a und b zu wählen, damit f für alle x ∈ R stetig und differenzierbar ist ?
5. Gegeben sei die Funktion f :
a=
f (x) =
b=
(2 Punkte)
6. Berechnen Sie für die Funktion f (x) =
%f =
4x
x+3
(x 6= −3) die Änderungsrate %f .
(1 Punkt)
2
7. Skizzieren Sie eine gebrochen-rationale Funktion f , die nur die Polstelle xP = 0 und
nur die Nullstelle xN = 2 besitzt und für die lim f (x) = lim f (x) = +∞ gilt.
x→+∞
x→−∞
y
N
4
3
2
1
(2 Punkte)
I
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
Geben Sie eine solche Funktion an.
f (x) =
(2 Punkte)
8. Es sei p(x) = 90 − 13 x2 eine Nachfragefunktion nach der Menge x. Berechnen Sie
die Konsumentenrente KR für den Gleichgewichtspunkt (9; p(9)).
KR (9)=
(1 Punkt)
3
9. Berechnen Sie mittels Substitution z = 4 + x das Integral I1 =
(x > 0). (Lösungsweg angeben)
Z
x2
√
dx
4 + x3
(2 Punkte)
3
Z
1
ln t dt (t > 0)
t
10. Berechnen Sie mittels partieller Integration das Integral I2 =
und fertigen Sie die Probe an. (Lösungsweg angeben)
(3 Punkte)
11. Skizzieren Sie für die Funktion f : f (x, y) = 3y − x2 die Niveaulinie (Höhenlinie)
in der Höhe z0 = 3.
y
N
3
2
(1 Punkt)
1
I
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5
−1
12. Geben Sie alle Sattelpunkt- und Extremwertstellen (x; y) der Funktion
f : f (x, y) = 21 x2 − 4 (y − 2) − y 2 an und entscheiden Sie,
welcher Typ (Sattelpunkt- oder Minimum- oder Maximumstelle) vorliegt.
(4 Punkte)
1
13. Berechnen Sie für die Funktion f : f (x, y) = ye 2x
die folgende partielle Ableitung zweiter Ordnung: fxy
∂ 2f
=
∂x∂y
(x 6= 0)
∂ 2f
=
.
∂x∂y
(1 Punkt)
4