{ }2 { } { }0 { }x

Höhere Mathematik für naturwissenschaftliche Studiengänge
Vorbereitungsaufgaben für die Übungen
Mehrfachintegrale
1) Ein Normalbereich bzgl. der x- Achse sei gegeben durch
B = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 12 x ≤ y ≤ 3x}. Skizzieren Sie diesen Bereich, und stellen Sie ihn als
Normalbereich bzgl. der y- Achse dar.
2) Ein Normalbereich bzgl. der y- Achse sei gegeben durch
B = ( x, y ) : 0 ≤ y ≤ ln 2, e y ≤ x ≤ 2 . Skizzieren Sie diesen Bereich, und stellen Sie ihn als
Normalbereich bzgl. der x- Achse dar.
{
}
3) Für den Kreis mit Mittelpunkt M (a,0) und Radius r = a ist die Gleichung anzugeben.
Der eingeschlossene Bereich ist in kartesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten
durch zweiseitige Ungleichungen zu beschreiben.
4) Skizzieren Sie folgende Bereiche, und beschreiben Sie diese mittels Polarkoordinaten:
a) B = ( x, y ) : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9, − x ≤ y ≤ − 3 x
{
{
{
}
}
b) B = ( x, y ) : x + y ≤ 4a, x ≥ a
c) B = ( x, y ) : ( x + a) 2 + y 2 ≤ a 2 , x ≤ − a, y ≥ 0
2
2
}
5) Skizzieren Sie den Bereich B der von den Kurven x = 0, x = 2, y = 0,5 x und y = e x
begrenzt wird.
a) Setzen Sie das Doppelintegral über B für eine stetige Belegungsfunktion f ( x, y ) an.
b) Berechnen Sie den Wert des Bereichsintegrals für die Belegungsfunktion f ( x, y ) = xy .
6) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Kreissektors mit Radius r : 3 ≤ r ≤ 5 und Winkel
ϕ : 45° ≤ ϕ ≤ 130° mit Hilfe eines Doppelintegrals.
7) Ein Hohlzylinder mit dem inneren Radius R1 und dem äußeren Radius R2 steht auf der xyEbene senkrecht. (Zylinderachse gleich z- Achse)
4
Wie groß ist sein Volumen, wenn er oben durch die Fläche z = 2
abgeschlossen
x + y2
wird?
8) Wie groß ist die Masse des ebenen Bereiches zwischen den Kreisbögen mit Radius r1 = 1
und r2 = 3 und den Geraden y =
4 xy
µ ( x, y ) = 2
?
x + y2
1
3
3x und y = 3 x , mit der Dichtebelegung
9) Bestimmen Sie die Koordinaten des geometrischen Schwerpunktes von B für
B = ( x, y ) : a ≤ x ≤ a + 1; 0 ≤ y ≤ e − x .
{
}
10) Wie groß ist das Volumen des Körpers, der von den Ebenen
x = 0, y = 0, x = 4, y = x + 2 sowie z = 2 x + y + 1 und z = 4 x + 2 y + 3 begrenzt wird?
11) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der die Grundfläche B hat und von oben durch
z = xy begrenzt wird. B sei der Bereich zwischen x 2 + y 2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0 und der
Geraden x = a, wobei a die Abszisse des Schnittpunktes von x 2 + y 2 = 4 und der
Geraden y = x ist. Skizzieren Sie zuerst die Grundfläche B.
12) Ein Körper habe als Querschnitt die Kreisscheibe mit 1 ≤ r ≤ 2 im 1. Quadranten, werde
2
2
unten von der x-y- Ebene und oben von der Fläche z = e x + y begrenzt. Wie groß ist sein
4 xy
Volumen? Welche Masse hat er für die Dichtebelegung µ ( x, y, z ) = 2
?
x + y2
13) Berechnen Sie die Koordinaten des geometrischen Schwerpunktes einer homogenen
Viertelkugel: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, für y ≥ 0, z ≥ 0 .