16 Warum ist Mathe so exakt?

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it
16 Warum ist Mathe
so exakt?
Tom hat ein Problem: „Sara, kannst
du mir das erklären? Das Quadrat hat
die Seitenlänge 8 und daher die Fläche 8 × 8 = 64, das Rechteck aber, das
aus den zerschnittenen Quadratfeldern
zusammengesetzt ist, eine Fläche von
13 × 5 = 65. Das kann doch nicht stimmen!“
Sara schaut sich
auch das Ganze an
und findet keinen
Fehler. Das kann
doch nicht sein, dass
64 = 65 ist! Oder
doch? „Glaubst du, dass sich die Flächenteile beim Bewegen
vielleicht ändern?“, überlegt Sara. „So ein Quatsch“, entgegnet
Tom. „Was gilt denn dann überhaupt noch?! Dann aber haben wir
den Pythagoras auf S. 84 auch nicht bewiesen und dann gilt der
vielleicht auch nicht!“
1275 Nimm ein Blatt kariertes Papier, zeichne die linke Zeichnung darauf,
schneide die Teile aus und lege sie wie die rechte Zeichnung zusammen.
Und staune!
In diesem leider letzten Kapitel des Buchs wirst du
erfahren,
1. wie obiges Problem gelöst werden kann,
2. wie du den Lehrsatz des Pythagoras auch anders
beweisen kannst,
3. was der Unterschied zwischen genau und exakt ist,
4. wie Mathematiker/innen arbeiten,
5. Weiteres über reelle Zahlen und noch vieles mehr.
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16.1 Genau und exakt ist nicht dasselbe
16.1 Genau und exakt ist nicht dasselbe
1276 (1) Berechne den folgenden Ausdruck mit deinem Taschenrechner!
(2) Bringe auf denselben Nenner und vereinfache soweit wie möglich!
(3) Vergleiche die beiden Ergebnisse!
√
1
√
99 − 70 2 −
99 + 70 2
(1) Je nach der Genauigkeit deines Taschenrechners wirst du einen
Wert von etwa –2,0051043420239672797310047765089e-36 erhalten.
(Beachte, dass diese Zahl in Gleitkommadarstellung – siehe MatheFit3, S. 92 – angegeben ist und sowohl der Wert als auch die Anzeige
bei deinem Taschenrechner anders sein können!)
√
1
√ =
(2) 99 − 70 2 −
99 + 70
√
√ 2
(99 − 70 2)(99 + 70 2)
1
√
√ =
=
−
99√+ 70 2
99 + 70 2
1
9801 − 9800
1
992 − (70 2)2
√
√ =
√ −
√ =
−
=
99 + 70 2
99 + 70 2
99 + 70 2
99 + 70 2
1−1
√ =0
=
99 + 70 2
(3) Das Ergebnis mit dem Taschenrechner ist mit einer Genauigkeit
von 36 Stellen 0, das der Bruchrechnung exakt 0.
Nun ein anderes Beispiel. Schon
B
im Altertum versuchte man –
allerdings vergebens – einen Kreis
mit Zirkel und Lineal in ein
u/2
M
flächengleiches Quadrat umzur
wandeln (Quadratur des KreiC
ses, siehe S. 246). Zirkel und
r
F
3r
Lineal deswegen, weil man oft
E
A
mit einer Schnur und zwei PflöD
cken im Sand zeichnete. Erst
1882 konnte der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann
beweisen, dass dies nicht möglich ist (siehe S. 246). Doch schon 1685
stellte der polnische Mathematiker Adam Adamandy Kochanski
eine Näherungskonstruktion vor, mit der man den Kreisumfang sehr
genau konstruieren kann.
Es ist EAM wegen des rechten Winkel bei A und des Winkels von 60°
bei E ein halbes gleichseitiges Dreieck mit der Höhe AM = r. Wegen
1276 Siehe
durchgerechnetes
Musterbeispiel!
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16 Warum ist Mathe so exakt?
r=
a√
r
a
3 ist EA = = √ .
2
2
3
r
1
Wegen EF = 3r ist AF = 3r − √ = r (3 − √ ).
3
3
Aus dem rechtwinkligen Dreieck AF
B
erhalten
wir:
¿
¿
⎡
⎤
2
2
Á ⎢
Á
⎥
1
1
Á 2⎢
Á
À
2
Àr ⎢(3 − √ ) + 4⎥⎥ =
BF =
[r (3 − √ )] + (2r) = Á
⎢
⎥
3
3
⎣
⎦
¿
2
Á
À(3 − √1 ) + 4 = r ⋅ 3, 141533338 . . . ≈ u = 2rπ = πr
= rÁ
2
2
3
Der mit dieser Näherungskonstruktion ermittelte Wert für π ist daher
zu klein, unterscheidet sich aber vom tatsächlichen Wert 3,14159265. . .
erst in der fünften Stelle nach dem Komma. Der Fehler beträgt daher
nur (π − 3, 1415333 . . .) ∶ π ≈ 0, 00001889 . . . = 0, 001889 . . . %.
1277 r > 16, 86 m
1277 Welchen Radius muss ein Kreis mindestens haben, dass der Fehler
bei der Konstruktion des Umfangs nach Kochansky mehr als einen
Millimeter beträgt?
Diese Konstruktion ist also für alle praktischen Bedürfnisse genau
genug. Aber sie ist nicht exakt. Der Unterschied zwischen genau
und exakt ist nämlich der, dass eine Konstruktion dann exakt ist,
wenn sie nur mit erlaubten Methoden durchgeführt wird und unter
der Annahme eines 100%ig genauen Konstruierens zu einem 100%ig
genauen Ergebnis führt.
Noch ein Beispiel: Den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks erhältst du
exakt durch Schnitt zweier Streckensymmetralen (siehe MatheFit2,
S. 138). Wenn du nicht sehr genau zeichnest, dann musst du beim
Zeichnen des Umkreises etwas probieren, damit er wirklich durch
die drei Dreieckspunkte geht. Schnell bekommst du den Mittelpunkt
hingegen, wenn du die Länge des Umkreisradius schätzt, eine etwas
längere Strecke in den Zirkel nimmst und von jedem Eckpunkt aus
abschlägst. Der Mittelpunkt des von den drei Kreisbögen gebildeten „Dreiecks“ ist dann der Umkreismittelpunkt. Mit einem guten
Augenmaß ist diese Konstruktion sehr genau, aber nicht exakt, weil
probieren nicht gilt. Das ist wie beim Fußballspielen, wo ein Feldspieler
– abgesehen vom Outeinwurf und Ähnlichem – den Ball nicht mit der
Hand angreifen darf. Änderst du die Regeln, hast du ein anderes Spiel,
wie etwa Handball oder Rugby.
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16.2 Welche Regeln hat die Mathematik?
Nun zu dem Problem, ob 64 wirklich 65 ist: Das Zusammenlegen der
Figuren ist nicht exakt. Betrachten wir die Steigung kA der Grundkante von Figur A im Quadrat (siehe S. 216): kA = 25 . Die Steigung der
längsten Seite von Figur C im Rechteck ist hingegen kC = 38 ≠ 25 . Der
1
Unterschied beträgt kA −kC = 25 − 38 = 16−15
40 = 40 . Das ist so wenig, dass
es bei der gewählten Strichstärke nicht auffällt, aber doch insgesamt
ein Kästchen ausmacht. Daher gilt Zusammenlegen von Flächen nicht
als Beweis!
1278 Hat Sara Recht? Ist der Beweis des Pythagoras auf S. 84, in dem
ein Quadrat zerlegt und wieder zusammengesetzt wird, ein Beweis? Wenn
nicht, wie kann ein Beweis daraus gemacht werden?
16.2 Welche Regeln hat die Mathematik?
Die Mathematik geht von einigen Grundannahmen aus, den Axiomen. Eines davon lautet: „Jede natürliche Zahl hat genau einen
Nachfolger.“ Das ist aber zum Zählen zu wenig, denn dann könnten
zwei verschiedene Zahlen denselben Nachfolger haben. Daher gibt es
noch das Axiom: „Jede natürliche Zahl außer Null hat genau einen
Vorgänger; Null hat keinen Vorgänger.“ Damit kannst du zählen und
addieren, denn Addieren kannst du als Weiterzählen definieren. Somit
kann z. B. 5 + 3 = 8 gerechnet werden. Subtrahieren geht auch, es ist
die Umkehrung des Addierens. Es geht aber nicht unbeschränkt, denn
3 − 5 =? kannst du nicht mit den so eingeführten natürlichen Zahlen
durchführen.
Damit die Subtraktion unbeschränkt durchgeführt werden kann, wurden die negativen Zahlen eingeführt. Zusammen mit den natürlichen
Zahlen erhältst du die ganzen Zahlen (Z = {. . . 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . .}).
Diese Vorgangsweise ist typisch für die Mathematik. Es wird eine
Rechenoperation eingeführt, davon die Umkehrung gesucht und diese
soll im Wesentlichen ohne Einschränkung durchgeführt werden können.
1278 Kein Beweis,
da
Zusammenlegen
nicht gilt. In
diesem Fall ist
aber leicht
nachzuweisen,
dass die Summe
der
Flächeninhalte
zweier Dreiecke
wirklich dem
Flächeninhalt des
Rechtecks
entspricht.
16 Warum ist Mathe so exakt?
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Gehen wir einen Schritt weiter: Die Multiplikation wurde definiert
als fortgesetzte Addition. Jetzt kannst du 3 ⋅ 5 = 15 rechnen. Die
Umkehrung davon ist das Dividieren. Möchtest du dieses auch durch
alle Zahlen (mit Ausnahme von Null) durchführen, wie z. B. 5 ∶ 3
musst du ebenfalls neue Zahlen einführen: die rationalen Zahlen (R =
{ ab ∣a ∈ Z, b ∈ Z}).
Gehen wir noch einen Schritt weiter: Potenzieren haben wir als fortgesetzte Multiplikation erklärt. So können wir 23 = 8 rechnen. Das
Umkehren dieser Rechenoperation ist aber schwieriger, da entweder
die 2 (die Grundzahl) oder 3, die √
Hochzahl unbekannt sein kann. Ist
die 2 unbekannt, ist die Antwort 3 8, das Wurzelziehen oder Radizieren. Ist hingegen 3 unbekannt, führt das auf eine neue Rechenmethode,
das Logarithmieren, auf das wir aber knapp vor den Ferien nicht mehr
eingehen wollen.
Bleiben wir beim Wurzelziehen. Auf S. 71 wurden, damit das Wurzelziehen bei positiven Zahlen im Großen und Ganzen unbeschränkt
ausgeführt werden kann, die irrationalen Zahlen eingeführt. Sind das
aber wirklich neue Zahlen, die wir noch nicht kennen? Ja, das kann
man beweisen, wie der folgende Abschnitt zeigen wird.
1279 Sowohl bei
der Addition als
auch bei der
Multiplikation
gilt das Vertauschungsgesetz.
Beim Potenzieren
ist im
Allgemeinen
ab ≠ ba z. B.
23 ≠ 32 .
1279 Wieso gibt es sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation
nur eine Umkehrung, nämlich die Subtraktion und die Division und beim
Potenzieren zwei Umkehrungen? Versuche eine Begründung zu finden.
Arbeite gemeinsam mit deinem/deiner Nachbar/in!
16.3 Mathematik und Beweisen
Während in der Physik das Experiment als Beweismethode gilt, ist
das in der Mathematik nicht so. Jede mathematische Erkenntnis muss
mit den Mitteln der Mathematik bewiesen werden.
Nehmen wir als Beispiel den Winkelsummensatz: „In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel 180°.“ (Siehe MathFit2,
S. 121!). Zum Beweis zeichnen wir durch
den Punkt C eine Parallele zur Seite c. Die
dadurch beim Eckpunkt C auftretenden
Winkel sind als Parallelwinkel gleich groß wie α und β. Zusammen
bilden die drei Winkel bei C einen gestreckten. Die Summe der Innenwinkel ist daher 180°. Weil wir diese Überlegung bei jedem Dreieck
durchführen können, gilt der Satz daher allgemein.
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16.3 Mathematik und Beweisen
1280 Eine Möglichkeit, diesen Satz zu „beweisen“, wäre die, ein Dreieck
auszuschneiden, die Winkel α und β abzureißen und bei C anzulegen.
Gib zwei Gründe an, warum das kein Beweis ist!
1281 Finde gemeinsam mit deiner Nachbarin/deinem Nachbarn einen
Beweis dafür, dass die Summe der Außenwinkel in einem Dreieck 360°
beträgt!
Zeigen wir nun, dass zumindest eine irrationale Zahl
√ eine „neue“ Zahl
ist, also keine rationale Zahl. Wir zeigen dies für√ 2 und bedienen uns
dabei eines raffinierten Tricks: wir tun so, als ob 2 eine rationale Zahl
wäre und zeigen,
dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt.
√
Wäre also √2 eine rationale Zahl, dann könnten wir sie als Bruch
darstellen:
2 = nz , wobei wir davon ausgehen können, dass Zähler
und Nenner ganze Zahlen sind und sich der Bruch nicht mehr kürzen
lässt, denn sonst würden wir ihn kürzen. Wenn wir die Gleichung
quadrieren, erhalten wir
z2
2= 2
n
√ 2
da ja 2 = 2 ist. Wir multiplizieren nun mit n2 :
2n2 = z 2
1280 (1)
Zusammenlegen
gilt nicht als ein
Beweis. (2)
Experiment gilt
in der
Mathematik nicht
als Beweis.
1281
Außenwinkel
α′ , β ′ , γ ′
α′ = 180○ − α,
β ′ = 180○ − β,
γ ′ = 180○ − γ
⇒ α′ + β ′ + γ ′ =
(180○ −α)+(180○ −
β + (180○ − γ) = 3 ⋅
180○ − 180○ = 360○
z 2 muss daher eine gerade Zahl sein und somit auch z. Wir können
daher statt z eine neue natürliche z̄ einführen, so dass z = 2z̄ ist:
2n2 = (2z̄)2
2n2 = 4z̄ 2
∣∶2
n = 2z̄
Daher muss auch n eine gerade Zahl sein. z und n können also durch
2 gekürzt werden, was mit unserer Annahme im Widerspruch steht.
√
2 lässt sich daher nicht als Bruch darstellen. In Dezimalschreibweise
ist sie eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl. Da alle rationalen
Zahlen entweder endliche oder unendliche periodische Dezimalzahlen
sind und es viel mehr nicht periodische Zahlen als periodische gibt,
gibt es daher auch viel mehr irrationale Zahlen.
1282 Irrationale Zahlen:
√
Britta erzählt ihrer Freundin: „ 2 ist keine rationale, sondern
eine irratio√
nale Zahl.“ Ihre Freundin möchte nun wissen, warum 2 keine rationale
Zahl ist. Welche der folgenden Argumente Brittas sind zutreffend, welche
nicht? √
A . . . 2 ist keine rationale Zahl, weil die Wurzel einer Zahl nie rational
ist. √
√
B . . . 2 ist keine rationale Zahl, weil man 2 nicht als Bruch zweier
natürlicher Zahlen darstellen kann.
1282 B und D
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16 Warum ist Mathe so exakt?
√
√
C . . . 2 ist keine rationale Zahl, weil man 2 nicht am Zahlenstrahl
darstellen
√ kann.
√
D . . . 2 ist keine rationale Zahl, weil 2 in Dezimalschreibweise unendlich, aber nicht periodisch ist.
Bifie
Klagenfurt
2007-05-09 BISTM8
Eine weitere Methode, wie Mathematiker/innen vorgehen, ist, dass
sie versuchen einen Satz zu verallgemeinern:
1283 (n − 2) ⋅ 180○
1283 Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180°, in
1284
einem Viereck 360°. Wie groß ist sie in einem n-Eck? (Trick: Wähle einen
Eckpunkt des n-Ecks und zeichne von ihm die Diagonalen zu den anderen
Punkten. Dadurch erhältst du insgesamt n − 2 Dreiecke . . . )
n(n−3)
2
Oder auch:
1285 (1) Da
△ABD
gleichschenklig ist,
ist ∠M AB = α2
und ∠M BA = β2 .
Weiters ist
α + β = 180○ .
Daher ist
∠AM B =
180○ − ( α2 + β2 ) =
○
180○ − 180
= 90○
2
(2) Wegen (1) und
wegen △ACD ist
gleichschenklig,
ist f Symmetrale
und halbiert
daher e.
1286 Es ist
Agrün =
AHalbkreis b +
AHalbkreis a −
AHalbkreis c +
π( b )2
ADreieck = 22 +
π( a2 )2 π( 2c )2 ab
2 − 2 + 2 =
π
b 2
a 2
2 [( 2 ) + ( 2 ) −
c 2
ab
(2) ] + 2 =
π b2 +a2 −c2 ab
ab
+
=
1284 Ein Dreieck hat keine Diagonalen, ein Viereck hat 2. Wie viel hat
ein n-Eck? (Trick: Ein n-Eck hat n Eckpunkte. Von jedem Eckpunkt
gehen . . . Diagonalen weg. Jede Diagonale wird dabei doppelt gezählt.)
Es kann auch sein, dass dir etwas auffällt: Angenommen du untersuchst
Vierecke, deren Seiten gleich lang sind und du bemerkst, dass es so
aussieht, als ob die Diagonalen aufeinander normal stehen und einander
halbieren. Das möchtest du beweisen:
1285 Zeige, dass in einem Rhombus die Dia-
gonalen
(1) aufeinander normal stehen und
(2) einander halbieren.
(Trick: Berechne die Winkel im Dreieck △ABM .)
D
a
M
a
e
b
2
a
A
a
f
a
a
C
g
d
a
B
1286 Monde des Hippokrates:
Beweise, dass die Summe der Flächeninhalte der „Monde“ (grüne Flächen) über
den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ist.
C
a
2
b
2
b
A
c
2
c
a
B
Obige Erkenntnis stammt von Hippokrates von Chios, einem griechischen Mathematiker und Astronom, der im 5. Jahrhundert v.
Chr. lebte. Da dadurch eine viel komplexere Figur als ein Kreis in
ein flächengleiches Dreieck verwandelt werden konnte, war es nicht
einzusehen, dass dies bei einem Kreis nicht gelang.
317
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16.3 Mathematik und Beweisen
1287 Beweise, dass mit der folgenden
a
Konstruktion ein Rechteck in ein flächengleiches Quadrat verwandelt werden kann!
1287 a2 = pq
Anwendung des
Höhensatzes
a
1288 Wie kannst du mit Hilfe der Nä-
q
p
herungskonstruktion von Kochansky
und unter Verwendung von Aufg. 1287
die Quadratur des Kreises näherungsweise durchführen?
1289 Untersuche, ob nebenstehender
Beweis des pythagoräischen Lehrsatzes
wirklich ein Beweis ist! Wenn nicht, ergänze, was noch fehlt.
p
C
b
A
a
h
q
a/p = c/a
b/q = c/b
c
a2 = cp
b2 = cq
2
2
a + b = c(p+q) = c 2
p
Du siehst, diese Vorgangsweise macht
D
die Mathematik im Gegensatz zu anB
deren Wissenschaften unanfechtbar,
da alle mathematischen Aussagen durch reine Gedankenoperationen
auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt werden.
Daher muss für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als mathematische Sätze anerkannt
werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, so dass die Mathematik als die
exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit
ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik.
1290 Binomische Formel: Bei der Herleitung einer „binomischen Formel“
werden viele Umformungsschritte benötigt, einen davon sieht man hier:
. . . = a ⋅ a + b ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ b = a ⋅ a + a ⋅ b + a ⋅ b + b ⋅ b = . . . Aufgabe: Warum
ist dieser Umformungsschritt erlaubt?
MatheFit ist bei Beweisen einen Mittelweg gegangen. Vieles wurde
bewiesen, manches jedoch nicht. So bewiesen wir, dass die drei Seitensymmetralen eines Dreiecks einander in einem Punkt schneiden,
blieben den Beweis beim Höhenschnittpunkt allerdings
schuldig. Oder
√
wir bewiesen gerade in diesem Kapitel, dass 2 nicht rational ist,
zeigten dies aber nicht für π. Wir hoffen aber trotz dieser Lücken –
die vier Bände umfassen über 1 200 Seiten –, dass wir dir einen guten
Einblick geben konnten, was Mathematik ist.
1288 Mit Hilfe
von Kochansky
erhältst du den
halben
Kreisumfang.
Nun ist ein
Rechteck mit den
Seiten u2 und r
flächengleich mit
dem Kreis. Und
wie ein Rechteck
in ein
flächengleiches
Quadrat
verwandelt wird,
findest du in
Aufg. 1287
1289 Es fehlt der
Nachweis, dass
die verwendeten
Dreiecke ähnlich
sind.
1290 Es gilt das
Kommutativgesetz der
Multiplikation.
Bifie
Klagenfurt
2007-05-09 BISTM8