Übungsbeispiele Extremwertaufgaben

Übungsbeispiele
Extremwertaufgaben
1. Zylindrisches Gefäß:
Die Außenfläche eines zylindrischen oben offenen Gefäßes (gerader Drehzylinder) läßt sich
mit folgender Funktion beschreiben:
A(r )=r 2 π+
2V
r
mit V = konstant
r ... Radius in Dezimeter (dm)
A... Außenfläche in dm²
V... Fassungsvermögen (Volumen) des Gefäßes in Liter (L)
Berechne jenen Radius r, für den die Außenfläche eines oben offenen Zylinders mit
Fassungsvermögen V = 5 L am geringsten ist.
Runde das Endergebnis auf eine Nachkommastelle.
2. Pflanzenwachstum:
Manche einjährige Nutz- und Zierpflanzen wachsen in den ersten Wochen nach der
Pflanzung sehr rasch. Im Folgenden wird nun eine spezielle Sorte betrachtet. Die endgültige
Größe einer Pflanze der betrachteten Sorte hängt auch von ihrem Standort ab und kann im
Allgemeinen zwischen 1,0 m und 3,5 m liegen. Pflanzen dieser Sorte, die im Innenbereich
gezüchtet werden, erreichen Größen von 1,0 m bis 1,8 m.
In einem Experiment wurde der Wachstumsverlauf dieser Pflanze im Innenbereich
beobachtet und ihre Höhe dokumentiert. Im Anschluss wurde die Höhe h dieser Pflanze in
Abhängigkeit von der Zeit t durch eine Funktion h mit
h( t)=
1
(−t 3+27 t 2+120)
24
modelliert.
Dabei bezeichnet t die Anzahl der Wochen seit der Pflanzung und h(t) die Höhe zum
Zeitpunkt t in Zentimetern.
Wann erreicht die Pflanze seine maximale Höhe und wie hoch ist diese Pflanze zu dem
Zeitpunkt?
3. Produktionskosten:
Die Produktionskosten eines Betriebes setzen sich aus Fixkosten und variablen
Kosten zusammen und können durch eine Kostenfunktion beschrieben werden.
Fixkosten fallen auf jeden Fall an und sind unabhängig von der produzierten Menge.
Variable Kosten hingegen nehmen mit steigender Produktionsmenge zu.
Der Verkaufserlös ist das Produkt aus der verkauften Stückzahl und dem Verkaufspreis
pro Stück.
Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Produktionskosten.
G(x) = E(x) - K(x)
a) Kostenfunktion:
Erlösfunktion:
K ( x)=4 x 3−60 x 2+400 x+1000
E (x )=400 x
b) Kostenfunktion:
Erlösfunktion:
K ( x)=2 x 3−30 x 2+500 x+10000
E (x )=1480 x
c) Kostenfunktion:
Erlösfunktion:
K ( x)=−0,02 x 2+43 x+1352
2
E (x )=216 x−0,48 x
x … Menge des Produkts
K(x) Gesamtkosten in Euro
E(x) Gesamterlös in Euro
Berechne bei welcher Menge der maximale Gewinn erzielt wird und wie hoch dieser
Gewinn ist.
4. Wurfhöhe:
Ein Körper wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 (in Meter/Sekunde) lotrecht in die Höhe
geworfen. Nach der Zeit t ist die erreichte Wurfhöhe durch die Gleichung
g 2
h( t)=v 0⋅t− ⋅t
2
gegeben. (t in Sekunden, g Erdanziehungskraft, h in Meter)
Berechne die größte Wurfhöhe, die der Körper erreichen kann, wenn die
Anfangsgeschwindigkeit v0 = 50 m/s war.
5. Tauchgeschwindigkeit:
Ein Stein wird ins Wasser geworfen und sinkt dort nach dem Zeit-Weg-Gesetz
4
s( t)=
+0,8t−1
4+t 2
Nach welcher Zeit und in welcher Tiefe ist seine Geschwindigkeit minimal?