Mathematische Einführung

Einführung
Grundlegende Begriffe
Euklidische Geometrie
Mathematische Einführung
Grundlegende Begriffe und euklidische Geometrie
Thomas Braunroth
13.04.2011
Thomas Braunroth
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Grundlegende Begriffe
Euklidische Geometrie
Motivation
Warum braucht man eine mathematische Einführung?
Die Physik ist in der Sprache der Mathematik formuliert.
Mathematische Methoden essentiell zur Lösung von
physikalischen Problemen.
Auffrischung und Erweiterung der Schulmathematik.
Thomas Braunroth
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Grundlegende Begriffe
Euklidische Geometrie
Mengen
Bruchrechnung
Potenzrechnung
Darstellung von Zahlen
Funktionen
Definitionen
Eine Menge A ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte {ai |i = 1, ...} unserer Anschauung bzw.
unseres Denkens. (Cantor)
Das Objekt ai einer Menge A nennt man Element der Menge A.
Man schreibt: ai ∈ A.
Die Mächtigkeit einer Menge A - beschrieben mit |A| - ist gleich
der Anzahl der Elemente in dieser Menge.
Seien A, B zwei Mengen. Wenn für alle Elemente ai ∈ A gilt, dass
ai ∈ B so ist A eine Teilmenge von B. Man schreibt. A ⊆ B.
Existiert in B mindestens ein Element, welches nicht in A liegt, so
ist A echte Teilmenge von B, man schreibt: A ⊂ B.
Thomas Braunroth
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Mengen
Bruchrechnung
Potenzrechnung
Darstellung von Zahlen
Funktionen
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Grundlegende Begriffe
Euklidische Geometrie
Beispiele
Beispiel 1: A = {rot, blau, gelb}
B = {blau, rot}
a1 = rot, a2 = blau, a3 = gelb, b1 = blau, b2 = rot
|A| = 3, |B| = 2
B⊂A
Beispiel 2: A = {1, 2, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7, 11}
a1 = 1, a2 = 2, a3 = 5, a4 = 7
b1 = 1, b2 = 3, b3 = 5, b4 = 7, b5 = 11
|A| = 4, |B| = 5
A*B
Thomas Braunroth
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Mengen
Bruchrechnung
Potenzrechnung
Darstellung von Zahlen
Funktionen
Verknüpfung von Mengen
Seien A = {ai }, B = {bi } zwei beliebige Mengen.
Im Schnitt der Mengen A und B liegen Elemente, die sowohl
Element von A als auch Element von B sind.
Kurzschreibweise: x ∈ (A ∩ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)
In der Vereinigung der Mengen A und B liegen Elemente, die
entweder Element von A oder Element von B sind.
Kurzschreibweise: x ∈ (A ∪ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
In der Differenzmenge A \ B befinden sich Elemente, die in A
aber nicht in B liegen.
Kurzschreibweise: x ∈ (A \ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈
/ B)
Thomas Braunroth
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Potenzrechnung
Darstellung von Zahlen
Funktionen
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Grundlegende Begriffe
Euklidische Geometrie
Beispiele: Verknüfung von Mengen
Beispiel 3: A = {rot, blau, gelb}
B = {blau, rot}
(A ∩ B) = {rot, blau}
(A ∪ B) = {rot, blau, gelb}
(A \ B) = {gelb}
(B \ A) = {}
Beispiel 4: A = {1, 2, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7, 11}
(A ∩ B) = {1, 5, 7}
(A ∪ B) = {1, 2, 3, 5, 7, 11}
(A \ B) = {2}
(B \ A) = {3, 11}
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Bruchrechnung
Potenzrechnung
Darstellung von Zahlen
Funktionen
Beispiele: Wichtige Mengen
Beispiel 5: Die leere Menge ∅ := { }
Beispiel 6: Die Menge der natürlichen Zahlen N
N := {1, 2, 3, ...}
Beispel 7: Die Menge der ganzen Zahlen Z
Z := −N ∪ {0} ∪ N
Beispiel 8: Die Menge der rationalen Zahlen Q
Q := { qp | p, q ∈ Z}
Beispiel 9: Die Menge der reelleen Zahlen R
R := Q ∪ {x | x ist irrational}
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Bruchrechnung
Potenzrechnung
Darstellung von Zahlen
Funktionen
Übungsaufgaben - Mengen
Aufgabe 1: Sei A die Menge aller Elektronikgeräte und B die
Menge aller Mobiltelefone. Welche Geräte liegen in der Menge
(A ∩ B), (A ∪ B), (A \ B) und (B \ A)?
Aufgabe 2: Sei A die Menge aller positiven ganzen Zahlen im
Bereich 1 bis 20 und B die Menge aller Primzahlen im Bereich 1
bis 20.
1 Geben Sie A und B exakt an.
2 Bestimmen Sie A ∩ B, A ∪ B, A \ B und \A.
3 Bestimmen Sie |A|, |B|, |A \ B| und |B \ A|.
Aufgabe 3*: Überlegen Sie sich, ob die Vereinigung, der Schnitt
und die Differenz kommutativ bzw. assoziativ ist.
Erinnerung : Eine Relation ⊗ ist..
...kommutativ, wenn gilt: A ⊗ B = B ⊗ A
...assoziativ, wenn gilt: A ⊗ (B ⊗ C ) = (A ⊗ B) ⊗ C
Thomas Braunroth
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Bruchrechnung
Potenzrechnung
Darstellung von Zahlen
Funktionen
Darstellung von Brüchen
Der gewöhnliche Bruch:
Z
N
:= Z : N
Hierbei: Z ist der Zähler, N ist der Nenner und es gilt: Z , N ∈ Z, N 6= 0.
Von einem echten Bruch spricht man, wenn gilt |Z | < |N|,
ansonsten spricht man von einem unechten Bruch.
Ein gemischter Bruch setzt sich zusammen aus einem
ganzzahligen Anteil und verbleibendem Anteil als echter Bruch.
Beispiel 10
14
3
= 4 23
Thomas Braunroth
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Darstellung von Zahlen
Funktionen
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Euklidische Geometrie
Multiplikaton/Division von Brüchen
Zwei Brüche werden multipliziert indem man sowohl Zähler als
auch Nenner miteinander multipliziert.
Beispiel 11
2
3
·
7
9
=
2·7
3·9
=
14
27
Zwei Brüche werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des
Divisorbruches multipliziert.
Beispiel 12
2
3
:
7
9
=
2
3
·
9
7
=
18
21
=
6
7
Werden sowohl Zähler als auch Nenner mit einer Zahl multipliziert
(durch eine Zahl dividiert), so spricht man von Erweitern
(Kürzen).
Thomas Braunroth
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Darstellung von Zahlen
Funktionen
Addition/Subtraktion von Brüchen
Stimmen zwei oder mehrer Brüche in ihrem Nenner überein, so
spricht man von gleichnamigen Brüchen.
Brüche können gleichnamig gemacht werden, in dem man sie auf
den gleichen Hauptnenner bringt. Praktisch sucht man dazu das
kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner.
a±b
a b
± =
n n
n
Beispiel 13
3
4
+
2
6
=
3·3
4·3
+
2·2
6·2
=
Thomas Braunroth
9
12
+
4
12
=
13
12
1
= 1 12
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Bruchrechnung
Potenzrechnung
Darstellung von Zahlen
Funktionen
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Euklidische Geometrie
Übungsaufgaben - Bruchrechnungen
Führen Sie folgende Rechnungen durch. Erhält man einen echten
oder unechten Bruch? Stellen Sie das Ergebnis ggfs. als gemischten
Bruch dar.
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7*
7
6 +
19
46 ·
3
5 +
2
7
1
2 =?
21
5 =?
17
2
6 + 9
+
5
9
·
=?
21
6
−
Thomas Braunroth
3
14
=?
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Bruchrechnung
Potenzrechnung
Darstellung von Zahlen
Funktionen
Definition und Sprechweisen
Beim Potenzieren wird ein Faktor x wiederholt (y-mal)
multipliziert.

x · x {z
· . . . · x} y ∈ N


 |
y
mal
√
x y :=
n
m
x
y=m


n ∈Q

exp(y · ln x) y ∈ R, x > 0
Sprechweise: x bezeichnet die Basis, y bezeichnet den
Exponenten.
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Darstellung von Zahlen
Funktionen
Rechenregeln
a0 = 1
a−r = a1r
ar +s = ar · as
(a·b)r = ar · b r
(ar )s = ar ·s
Thomas Braunroth
a 6= 0
∀r ∈ R, a > 0
∀r , s ∈ R, a > 0
∀r ∈ R, a, b > 0
∀r ∈ R, a > 0
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Darstellung von Zahlen
Funktionen
Übungsaufgaben - Potenzrechnung
Berechnen Sie:
Aufgabe 8 23 =?
Aufgabe 9
25
27
=?
Aufgabe 10 2, 53 =?
Aufgabe 11* e π =?
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Darstellung von Zahlen
Funktionen
Einführung
Die Zahlendarstellung ergibt sich aus den verwendeten
Zahlzeichen sowie dem jeweiligen Zahlensystem, in der Regel
einem b-adischen System.
Dabei: Wähle Basis b und stelle die Zahl als endliche Summe von
Potenzen zu dieser Basis da:
Zahlenwert = a0 · b 0 + a1 · b 1 + . . . + an b n
Eindeutige Darstellung einer Zahl bei festem Zahlensystem.
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Darstellung von Zahlen
Funktionen
Wichtige b-adische Systeme
Beispiel 14 Dezimalsystem
b = 10,
ai ∈ {0, 1, 2, ..., 9}
19710 = 1 · 102 + 9 · 101 + 7 · 100
Beispiel 15 Binärsystem
b = 2,
ai ∈ {0, 1}
19710 = 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 22 + 1 · 20
= 110001012
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Funktionen
Exponentialdarstellung
Bei der Exponentialdarstellung wird eine Zahl charakterisiert
durch eine Mantisse m, die Basis b und dem Exponenten d.
Zahlenwert = m · b d
Diese Schreibweise hat eigene Vorteile:
Übersichtlichkeit
Näherungsrechnungen
Vereinfachtes Durchführen elementarer Rechenoperatioen
In der Physik stellt man in dieser Ergebnisse hauptsächlich zur
Basis 10 dar.
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Euklidische Geometrie
Beispiele
Beispiel 16 Lichtgeschwindigkeit
c = 299 792 458 ms = 2, 99792458 · 108 ms ≈ 3 · 108 ms
Beispiel 17 Näherungsweises Rechnen
c~
g
=
299 792 458 ms ·1,05457·10−34 Js
9,81 m2
s
Thomas Braunroth
≈
3·108 ·1·10−34
J
1·101
s 2 = 3 · 10−27 J s 2
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Darstellung von Zahlen
Funktionen
Definition
Seien X,Y zwei Mengen.
Eine Funktion f : X → Y ist eine Abbildung von X nach Y, bei
der jedem Element aus X ein eindeutiges Zielelement aus Y
zugewiesen wird.
Man spricht von der Definitionsmenge X und der Zielmenge Y.
Eine Funktion wird entweder durch eine Funktionsgleichung (z.B.
f (x) = x 2 ) oder einer Zuordnungsvorschrift (z.B. x 7→ x 2 )
spezifiziert.
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Potenzrechnung
Darstellung von Zahlen
Funktionen
Darstellung von Funktionen
Funktionale Zusämmenhänge können in den einfachsten Fällen in
einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden.
Dabei bezeichnet die x-Achse die Abszisse und die y-Achse die
Ordinate.
Jedem Element der Definitionsmenge wird nun durch die
Funktionsgleichung ein Punkt auf der Ordinate zugeordnet.
Bei der Darstellung muss auf die Definitionsmenge und
Zielmenge geachtet werden.
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Bruchrechnung
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Darstellung von Zahlen
Funktionen
Darstellung von Funktionen
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Rechtwinklinge Dreiecke
Der Kreis
Angabe von Winkeln
Definition und Sprechweisen
Ausgangspunkt der Euklidischen Geometrie ist das Werk Die
Elemente:
Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
Eine Linie ist eine breitenlosen Länge.
Eine Gerade ist eine Linie, die bzgl der Punkte auf ihr stets
gleich liegt.
...
Wichtige Geometrische Figuren in der Ebene:
0-dim: Punkt
1-dim: Gerade, Strahl, Strecke, Bogen,...
2-dim: Dreieck, Trapez, Raute, n-Eck, Kreis, Parabel,..
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Rechtwinklinge Dreiecke
Der Kreis
Angabe von Winkeln
Satz des Pythagoras
a2 + b 2 = c 2
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Rechtwinklinge Dreiecke
Der Kreis
Angabe von Winkeln
Trigonometrische Funktionen
sin(α) =
Gegenkathete von α
a
=
Hypothenuse
c
cos(α) =
tan(α) =
Ankathete von α
b
=
Hypothenuse
c
Gegenkathete von α
a
=
Ankathete von α
b
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Rechtwinklinge Dreiecke
Der Kreis
Angabe von Winkeln
Trigonometrische Funktionen
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Euklidische Geometrie
Rechtwinklinge Dreiecke
Der Kreis
Angabe von Winkeln
Trigonometrische Funktionen
Zusammenhänge zwischen sin, cos und tan
sin(α)
tan(α) = cos(β)
cos(α) = sin(90 − α)
Additionstheorem für Sinus und Cosinus
sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± sin(β)cos(α)
cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
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Rechtwinklinge Dreiecke
Der Kreis
Angabe von Winkeln
charakteristische Größen
Koordinaten des Mittelpunktes M = (xM , yM )
Durchmesser d des Kreises
Radius r des Kreises
Umfang U des Kreises
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Rechtwinklinge Dreiecke
Der Kreis
Angabe von Winkeln
Kreisdarstellung und Definition von π
Parametrisierung des Kreises mit Radius r
x = xM + r · cos(φ)
y = yM + r · sin(φ)
φ ∈ [0, 2π)
φ ∈ [0, 2π)
Definition der Kreiszahl π
π=
Umfang des Kreises
Durchmesser des Kreises
≈ 3, 14
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Rechtwinklinge Dreiecke
Der Kreis
Angabe von Winkeln
Winkelmaße
Unter dem Vollwinkel ist derjenige Winkel zu verstehen, um den
ein Strahl um seinen Anfangspunkt gedreht werden muss, damit er
zum ersten Mal wieder seine ursprüngliche Ausrichtung erreicht.
Gradmaß
Unterteilung des Vollwinkels in 360 gleich große Teile. Maßeinheit
Grad, Kennzeichnung durch Symbol ◦ .
1 Vollwinkel = 360◦
Bogenmaß
Im Bogenmaß wird der Vollwinkel gleich 2π gesetzt. Maßeinheit
Radiant, Kennzeichnung durch Symbol rad.
1 Vollwinkel = 2πrad
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