Konvergenz und Limes

§2 - Konvergenz und Limes
Definition 2.1 (Folgenkonvergenz)
i) Eine Folge
komplexer Zahlen heißt konvergent gegen
jeder positiven Zahl
ein
gibt, so dass gilt:
ii) Die Zahl
, wenn es zu
heißt dann Grenzwert oder Limes der Folge. Wir schreiben:
oder
für
und sagen
strebt/konvergiert gegen
iii) Wir nennen Folgen, die gegen 0 konvergieren Nullfolgen
iv) Eine Folge, die nicht konvergiert, nennen wir divergent.
Vielen Studenten erscheint die Definition der Folgenkonvergenz auf den ersten Blick
übermäßig kryptisch. Sie betrachten oft nur den kompletten mathematischen Ausdruck auf
einmal und lassen sich dabei von den vielen Zeichen und Variablen einschüchtern. Es hilft,
Schritt für Schritt vorzugehen und den kompletten Ausdruck auszuformulieren: Eine Folge
komplexer Zahlen heißt konvergent gegen einen bestimmten Wert aus dem komplexen
Zahlenbereich, wenn man zu jeder positiven Zahl ein , welches eine natürliche Zahl
darstellt, findet, für dass folgende Beziehung gilt: Der Betrag aus der Differenz zwischen
dem ten Folgenglied (das ist allgemeine Abbildung der Folge) und dem Grenzwert ist
kleiner als dieses . Diese Aussage muss für alle größer gelten. Man sucht also ein
positives , bei dem der Abstand zwischen Grenzwert und Folgenglieder ab einem gewissen
, also ab einem gewissen Folgenglied immer kleiner als dieses ist. heißt dabei
Fehlerschranke, weil es den Bereich angibt, in dem ab einem bestimmten Folgenglied sich
sämtliche andere Glieder befinden müssen. Der Grenzwert befindet sich in genau dieser
Fehlerschranke und man sagt, sollten die beschriebenen Bedingungen erfüllt sein, dass die
Folgen gegen diesen Wert konvergiert. nennt man in diesem Fall auch Limes der Folge
und es gelten die bei ii) beschriebenen lim-Notationen. Konvergiert die Folge gegen 0, so
wird sie Nullfolge genannt und konvergiert sie gar nicht, so heißt sie divergente Folge. Nach
einem langen Text ein kleines Schaubild zur Verdeutlichung für eine reelle Folge (analog
kann man das natürlich auch auf der Gaus`schen Zahlenebene zeigen):
Der rote Punkt ist unser Grenzwert und die geschweiften Klammern die Fehlerschranke
um . Es befinden sich zwar einige Folgenglieder außerhalb der geschweiften Klammern,
jedoch ist dies irrelevant. Wichtig ist nur, dass ab einem gewissen alle nachfolgenden
Glieder innerhalb der Fehlerschranke vorkommen, was in diesem Fall angenommen wird.
Bemerkung 2.1 (Veranschaulichung von
)
Gibt man eine Fehlerschranke
vor, dann sind alle Folgenglieder nach der Nummer
weniger als vom Grenzwert entfernt. Im Allgemeinen gilt: Je kleiner vorgegeben
wurde, umso größer muss die Nummer sein.
Die Bemerkung fasst das zusammen, was mit dem vorhergehenden Text und dem Schaubild
erklärt wurde. Als kleiner Zusatz wird eine Beziehung zwischen und dargestellt. Diese
gilt zwar im Allgemeinen, aber es kann durchaus Ausnahmen geben. Die Überlegung ist
folgende: Wählt man eine möglichst geringe Fehlerschranke, so müssen die Ausschläge
innerhalb der Folge immer geringer ausfallen, was eine Gültigkeit für sämtliche folgenden
Glieder immer unwahrscheinlich macht. Dadurch verschiebt sich das immer weiter und
Kapitel 2 - Folgen und Reihen Seite 1
Glieder immer unwahrscheinlich macht. Dadurch verschiebt sich das
steigt mit kleiner werdendem .
immer weiter und
Beispiel 2.1
i) Gegeben sei eine konstante Folge
mit
Behauptung:
konstante Folgen sind konvergent
Beweis:
Sei
beliebig, dann gilt für
:
ii) Behauptung:
mit
konvergiert gegen
Beweis:
Sei
beliebig, dann gilt für
:
In diesen Beispielen sind wir auf "raten" angewiesen. Man berechnet am Besten die
Fehlerschranke und lässt das zunächst unbekannt. Hat man die Fehlerschranke berechnet,
so lässt sich ein passendes
abschätzen. Alternativ kann ein
erraten werden, um dann
zu beweisen, dass die Reihe konvergiert.
Satz 2.2 (Eindeutigkeit des Grenzwertes)
Sei
eine konvergente Folge, dann ist der Grenzwert eindeutig.
Hat man erstmal einen Grenzwert gefunden, so weiß man gleichzeitig, dass es keinen
zweiten geben kann. Diese Aussage sollte eigentlich logisch anmuten, da die Folge gegen
einen bestimmten Punkt konvergiert und nicht gegen zwei. Dennoch darf der Beweis auch
hier nicht fehlen:
Beweis 2.2 (Eindeutigkeit des Grenzwertes)
Sei
Sei auch
und
beliebig, dann gibt es ein
Außerdem gibt es ein
mit
Wähle nun
}, dann gilt
mit
Zunächst haben wir die Existenz zweier Grenzwerte für eine einzige Folge angenommen.
Für beide Grenzwerte haben wir die Definition zu Rate gezogen und diese jeweils
Kapitel 2 - Folgen und Reihen Seite 2
Für beide Grenzwerte haben wir die Definition zu Rate gezogen und diese jeweils
eingesetzt. Daraufhin betrachteten wir das größere, der beiden , damit wir die Grenzwerte
miteinander vergleichen konnten, schließlich gilt die Konvergenz erst ab dem größten der
beiden . Die weitere Rechnung wird genau wie bei der Betrachtung der einzelnen
Grenzwerte fortgeführt, woraufhin wir feststellen, dass die Fehlerschranke negativ sein
müsste, um diese Bedingung zu erfüllen, woraus folgt, dass die Grenzwerte identisch sind.
Wir wollen nun eine weitere Eigenschaft von konvergenten Folgen betrachten:
Satz 2.3 (Beschränktheit von konvergenten Folgen)
Jede konvergente Folge ist beschränkt
Beschränktheit für konvergente Folgen ist, wie wir noch sehen werden ein wichtiges
Kriterium, welches uns noch in diversen Beweisen begegnen wird. Doch zunächst muss
dieses Satz bewiesen werden.
Beweis 2.3 (Beschränktheit von konvergenten Folgen)
zu zeigen:
Sei hierzu
ein
Definiere nun
die konvergente Folge, dann gibt es für alle
insbesondere für
dann gilt
Um Beschränktheit zu beweisen, müssen wir zeigen, dass es einen Wert k gibt, der die
Folge (bzw. ihren Betrag) eingrenzt. Je nachdem ob die Folge reell oder komplex ist, stellt
dieses k Intervallgrenzen oder einen Kreis dar. Wir nehmen zunächst die
Grundvorraussetzung für den Satz an: Es existiert eine konvergente Folge , die gegen
einen Wert konvergiert. Wir nehmen uns fortan die Definition der Konvergenz zur Hilfe
(2.1 i + Erklärung) und lösen die Ungleichung für
mittels einiger algebraischer
Umformungen (s. Kapitel 1.7 Ungleichungen und Betrag). [???]
Um den Grenzwert komplizierterer Folgen zu bestimmen ist es hilfreich, den Grenzwert der
geometrischen Folge zu kennen, da diese sich oftmals auf einfachere Folgen bzw. im
speziellen auf die geometrische Folge zurückführen lassen.
Bemerkung 2.4 (Grenzwert der geometrischen Folge)
und divergent, wenn
und
Steigt der Exponent und ist die Basis kleiner als 1, so sinkt das Ergebnis mit steigendem
Exponenten, da die Multiplikation zweier Zahlen kleiner 0 immer eine noch kleinere Zahl
gibt. Lässt man n gegen unendlich laufen, so wird diese Multiplikation unendlich oft
durchgeführt und das Ergebnis geht somit gegen 0. Ist die Basis eins, so ändert auch das
Steigungsverhalten des Exponenten nichts, das Ergebnis bleibt immer 1. Ist der Betrag der
Basis größer 1, so wird die Zahl durch unendliche Multiplikation immer größer, weswegen
die Folge divergiert.
Die geometrische Folge ist eine wichtige Grundfolge, jedoch reicht sie alleine meist nicht
Kapitel 2 - Folgen und Reihen Seite 3
Die geometrische Folge ist eine wichtige Grundfolge, jedoch reicht sie alleine meist nicht
aus, um spezielle Grenzwerte zu bestimmen. Die Tatsache, dass sich mit Folgen und ihren
Grenzwerten rechnen lässt, wie nachfolgend gezeigt wird, liefert uns hierbei das nötige
Rüstzeug für die Grenzwertbestimmung.
Satz 2.5 (Rechenegeln für konvergente Folgen)
Seien
komplexe Folgen mit
i)
konvergiert gegen
ii)
und
, dann gilt:
mit
konvergiert gegen
iii)
konvergiert gegen
iv)
konvergiert gegen
Seien weiter
v) Ist
komplexe Folgen mit
beschränkt, so ist
vi) Gilt
, dann gilt:
eine Nullfolge
, so ist auch
eine Nullfolge
Beweis 2.5 (Rechenegeln für konvergente Folgen)
i) Fall 1:
Fall 2:
Sei
beliebig, dann
ii) Sei
beliebig, dann
und
, so dass gilt:
, mit
mit
Dann gilt:
iii)
iv) z. z.
, also
v)
beschränkt, d. h.
d. h.
Dann gilt:
also
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Dann gilt:
vi)
also
, d. h.
Dann gilt:
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