Rechnen mit Brüchen

Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche
Addition gleichnamiger Brüche:
 Nenner übernehmen; Zähler addieren:
2
5
1
5
2
1
5
3
5
3
5
1
5
3 1
5
2
5
Subtraktion gleichnamiger Brüche:
 Nenner übernehmen; Zähler subtrahieren
1.
a)
Füllen Sie die Tabellen aus:
43
49
37
49
21
49
2.
5
49
2
49
19
49
+
5
49
43
49
37
49
21
49
32
49
2
49
19
49
39
49
b)
Notieren Sie hier die Brüche aus der Tabelle, die sich noch
kürzen lassen und kürzen Sie diese soweit als möglich:
1
2
c)
Notieren Sie hier die Brüche als gemischte Zahlen, die grösser
als 1 sind:
1
2
Ergänzen Sie die Tabelle – Achtung, alles durcheinander:
Minuend =
13
19
Subtrahend
5
=
19
Differenz =
Differenz =
13
19
Minuend =
Subtrahend
18
=
19
Subtrahend
=
Differenz =
13
19
Minuend =
14
19
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche
Addition/Subtraktion ungleichnamiger Brüche:
3 2
9
8
4 3 12 12
9
8
17
5
1
12 12 12
12
9
8
1
12 12 12
 Brüche gleichnamig machen:
 gleichnamige Brüche addieren:
 gleichnamige Brüche subtrahieren:
1. Ergänzen Sie die Tabellen; notieren Sie die Brüche in gekürzter Form:
1
3
4
5
2
3
15
17
3
7
1
5
1
3
+
7
15
4
5
2
3
15
17
3
7
1
5
1
2. Berechnen Sie die Summe der folgenden Stammbrüche:
a)
1
2
1
3
1
4
b)
1
3
1
4
1
5
c)
1
4
1
6
1
8
c)
3
4
1
6
1
8
3. Berechnen Sie die folgenden Terme:
a)
1
2
1
3
1
4
b)
1
3
1
4
1
5
4. Berechnen Sie auf schlaue Weise – oder geht's sogar im Kopf?
a)
1
2
1
4
1
3
c)
1
4
2
8
4
16
1
4
8
32
2
6
1
3
1
2
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
b)
1
3
d)
1
10
1
12
10
100
1
6
1
6
8
12
4
10
2
10
3
5
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Rechengesetze zur Addition
In einer Summe darf man beliebig klammern:
a
c
Assoziativgesetz:
 Beispiel:
b
d
In einer Summe darf man Summanden beliebig
a c
Kommutativgesetz:
 Beispiel:
b d
e
a c
f
b d
tauschen:
c a
d b
e
f
1. Fassen Sie geschickt zusammen; rechnen Sie im Kopf:
a)
1
4
2
3
b)
2
5
9
11
1
c) 2
d)
2
13
1
4
2
3
1
2
3
5
2
2
3
4
2
4
1
2
2
4
1
2
3
13
1
2
2
11
1
3
1
4
3
3
2
13
6
13
2. Lösen Sie die Klammern auf und rechnen Sie geschickt:
a)
1
4
2
3
1
3
b)
9
16
2
15
c)
8
32
5
15
1
2
d)
7
13
3
2
3
13
3
4
1
30
7
16
12
16
1
4
2
3
1
2
3
13
1
4
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
a
b
c
d
e
f
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
3.
4.
Ohne die Summen in den Klammern auszurechnen – welches ist die
grössere?
Fügen Sie das < oder > oder = Zeichen ein:
a)
1
4
2
3
___
1
3
1
4
b)
3
4
4
3
___
3
3
3
4
c)
1
14
14
14
___
41
41
d)
1
4
3
2
e)
1
6
8
12
f)
1
8
4
5
2
3
___
8
32
2
3
___
2
12
2
16
___
2
7
4
5
Die beiden Summen in den Klammern haben den gleichen Wert.
Was muss deshalb der Wert für x sein?
a)
1
4
b)
3
11
c)
2
9
d)
33
44
2
3
1
3
2
3
2
27
33
55
3
7
x ;
1
2
x
1
2
6
81
11
22
x ;
1
2
x
1
2
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Addieren und Subtrahieren von Brüchen bei gemischter
Schreibweise
Man kann beim Addieren von Brüchen zuerst die ganzen Zahlen, erst dann
die Brüche zusammenzählen, oder die gemischten Zahlen zuerst in Brüche
umwandeln:
1
1
1 1
1
1 3 7
2
1 2
2
Beispiel:  1
oder 1
2
3
2 3
2
3 2 3
1.
Rechnen Sie im Kopf; geben Sie als Bruchzahl und als gemischte
Zahl an:
a) 2
c)
2.
3.
1
9
1
1
1
2
1
2
b) 1
1
2
1
2
d) 12
1
2
5
1
2
1
2
5
Geben Sie als Bruchzahl an:
a) 3
2
3
2
c) 7
2
9
1
2
3
1
2
b) 12
5
9
5
1
2
1
2
9
27
1
2
d) 12
1
2
5
2
3
1
2
Nun kommt auch noch die Subtraktion:
Geben Sie wiederum als Bruchzahl und als gemischte Zahl an:
a) 3
4.
2
3
2
3
2
2
3
1
2
b) 12
5
9
5
1
3
1
2
Wie oft kann man die kleinere von der grösseren Zahl subtrahieren?
2
a) 3 ; 33
3
1
2
b)
1
; 6
15
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
1
2
c) 2
1
; 21
10
1
2
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Multiplizieren eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl
Ein Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, in dem man den Zähler
mit dieser Zahl multipliziert und den Nenner beibehält:
b a b
3 6
2
Beispiel:
 a
Beispiel mit Zahlen:
c
c
7 7
Ist diese Zahl ein Teiler des Nenners, darf der Nenner durch diese Zahl geteilt
und der Zähler beibehalten werden:
3 3
Beispiel:
 2
8 4
Dies kommt auf dasselbe heraus wie nach obiger Regel, man kommt allerdings
schneller zum gekürzten Bruch. Dasselbe nach obiger Regel:
3 6 3
 2
8 8 4
1.
Rechnen Sie im Kopf; geben Sie als Bruchzahl an:
1
3
2
1
1
a) 2
b) 6
c) 4
3
19
7
2
2
d) 15
4
45
15 4
45
60
45
14
3
4
3
e) 11
7
22
1
2
1
2
Beachten Sie in diesem Beispiel, dass es einfacher ist zu kürzen bevor man
den Zähler ausmultipliziert.
1
1
1
1
3
63
f) 32
g) 25
h) 4
2
2
2
16
5
28
2.
Geben Sie das Resultat als vollständig gekürzten Bruch an:
1
1
1
1
3
3
a) 4 m
b) 12 dm
c) 14 €
2
2
2
3
4
7
3.
Geben Sie das Resultat als gemischte Zahl an:
1
1
1
3
2
a) 5 1 ha
b) 13 dm
c) 22 €
2
2
3
4
7
4.
Eine Box enthält
7
a) sechs
l-Flaschen Wein –wie viele Liter sind das?
10
3
b) zwölf l-Flaschen Wein –wie viele Liter sind das?
4
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
1
2
1
2
1
2
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Dividieren eines Bruchs durch eine natürliche Zahl
Ein Bruch wird durch eine natürliche Zahl dividiert in dem man den Nenner
mit dieser Zahl multipliziert und den Zähler beibehält:
a
a
3
3
1
:3
Beispiel:
 :c
Beispiel mit Zahlen:
b
b c
14
42 14
Ist diese Zahl ein Teiler des Zählers, darf auch der Nenner beibehalten und
der Zähler durch diese Zahl geteilt werden:
3
1
:3
Beispiel:

14
14
Dies kommt auf dasselbe heraus wie nach obiger Regel, man kommt allerdings
schneller zum gekürzten Bruch.
1.
Rechnen Sie im Kopf; geben Sie als Bruchzahl an:
a)
3
:5
4
1
2
d)
14
:7
15
14
15 7
b)
14
105
18
:5
19
2
15 1
1
2
2
15
c)
8
:3
7
e)
77
: 11
3
1
2
1
2
Beachten Sie in diesem Beispiel, dass es einfacher ist zu kürzen bevor man
den Nenner ausmultipliziert.
f)
2.
1
2
3
m:4
5
1
2
208
: 13
195
1
2
h)
2 000
: 16
777
1
2
.
b)
36
dm : 12
4
1
2
c)
42
€:6
5
1
2
Geben Sie das Resultat als gemischte Zahl an:
1
a) 6 ha : 3
3
4.
g)
Geben Sie das Resultat als vollständig gekürzten Bruch an:
a)
3.
18
:3
15
3
b) 13 dm : 2
4
1
2
7
6 dm
8
1
c) 25 € : 8
7
1
2
b)
x
:2
9
x=
d)
13
:x
64
Bestimmen Sie den Wert von x:
a)
x
: 12
4
2;
c)
8
:x
49
2
;
49
x=
x=
1
2
1
2
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
3;
1
;
128
1
2
x=
1
2
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Multiplizieren zweier Brüche
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler
und Nenner mit Nenner multipliziert:
a c a c
2 3 2 3
6
Beispiel: 
Beispiel mit Zahlen: 
b d b d
5 7 5 7 35
(Gemischte Zahlen werden zuerst in Brüche umgewandelt).
1.
Produkte von Bruchzahlen: Rechnen Sie im Kopf;
geben Sie als vollständig gekürzte Bruchzahl an:
a)
2.
3.
1 1
3 5
1
2
b)
5 1
6 3
1
2
c)
3 5
4 7
1
2
Bruchteile von Bruchteilen sind Produkte von Bruchzahlen:
Geben Sie als Bruchteil der angegebenen Einheit an:
a)
3
7
von km
5
8
3 7
km
5 8
21
km
40
b)
1
4
von dm
3
5
1
2
c)
2
3
von ha
5
4
1
2
Beachten Sie, dass es viel einfacher ist zu kürzen, bevor man
ausmultipliziert:
a)
49
27
von
81
35
49 27
81 35
7 7 27 1
27 3 7 5
Verfahren Sie nun analog:
1323
2 835
7 1
3 5
(Bei grösseren Zahlen hilft die Primfaktorzerlegung!)
210
198
von
11
105
1
2
8
11
von 4
27
31
1
2
17
31
d) 1 von 1
19
102
1
2
b)
c) 2
7
15
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Dividieren zweier Brüche
Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert indem man den ersten Bruch mit dem
Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert:
a c a d a d
2 3 2 7 2 7 14
:
Beispiel:  :
Beispiel in Zahlen:
b d b c b c
5 7 5 3 5 3 15
(Gemischte Zahlen werden zuerst in Brüche umgewandelt).
1.
Quotienten von Bruchzahlen:
Geben Sie als vollständig gekürzte Bruchzahl an:
a)
2.
3 7
:2
5 8
6 1
:
5 3
1
2
c)
6 12
:
25 15
1
2
b) 9
2
3
durch
3
100
1
2
1
2
1 17
1
:1
:3
15 45
2
1
2
b)
68 34
6
:
:1
105 165
49
Berechnen Sie als Bruchteil der nächst höheren Einheit:
a)
75
cm
4
b) 340 g :
5.
b)
Kettenrechnung – zuerst den Term in der Klammer ausrechnen:
(Das Resultat ist als Bruch anzugeben)
a) 2
4.
1
2
Gemischte Zahlen zuerst in einen Bruch umwandeln:
a)
3.
1 2
:
3 5
1
2
34
11
1
2
Ergänzen Sie die fehlende Einheit:
a)
7
____
30
700
m
3
c)
7
1
____ :
3 600
5
35s
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
b)
1
____
2
1
a
200
2
h
15
512 ____ :
d) 2
1
15
1
2
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Gemischte Rechnungen:
1.
Rechnen Sie schlau mit den Kommutativgesetzen:
a)
2.
4 2 7 3 5 4
1
=
5 3 4 2 4 8
2
4 2
1
=
5 3
2
2
3
1
3
1
2
3
1
=
5
2
b)
11
8
4
9
b)
5
16
1
2
24
1
=
2
7
4
9
5
27
3
1
27 =
2
81
1
4
3
1
128 =
2
64
5
3
1
9 =
b) 4
5
1
2
6
3
9
5 10 = 1
1
2
6
2 4
c) 3 :
3 7
1
2 3
1
6 =
3 4
2
Berechnen Sie – Doppelbrüche, Kettenbrüche:
1
a)
1
6.
3
5
Berechnen Sie:
3
a) 4
1
3
5.
2
3
Berechnen Sie:
a)
4.
4
5
Berechnen Sie mit dem Distributivgesetz:
a) 4
3.
b)
1
2
=
1
2
1
b)
=
1
1
1
1
2
1
c)
1
2
=
1
1
1
2
1
1
1
1
2
Berechnen Sie Vater Bernhards Alter:
1
Jahre alt, seine Schwester ist anderthalb mal so
2
2
alt und Vater Bernhard ist 2 mal so alt wie seine Kinder zusammen.
5
Sohnemann Köbi ist 5
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Eigenschaften von Bruchzahlen
1.
Ein kleines Quiz:
a)
Jede natürliche Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger
ja/nein: ____
b)
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger
ja/nein: ____
c)
Jede natürliche Zahl grösser 0 hat einen Vorgänger und einen Nachfolger
ja/nein: ____
d)
Jede natürliche Zahl hat einen Vorgänger
ja/nein: ____
e)
Jede Bruchzahl hat einen Nachfolger
ja/nein: ____
f)
Jede Bruchzahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger
ja/nein: ____
g)
Man findet immer zwischen zwei natürlichen Zahlen eine andere
natürliche Zahl
ja/nein: ____
h)
Man findet zwischen zwei Bruchzahlen immer eine andere Bruchzahl
ja/nein: ____
2.
Bestimmen Sie die Bruchzahl, die zwischen den beiden
Bruchzahlen liegt:
a)
1
1
und :
2
3
1
2
b) 2
3
1
und 1 :
4
8
7
1
die Mitte 1 hat:
8
4
3.
Bestimmen Sie die Bruchzahl, die mit 2
4.
Nennen Sie 5 Bruchzahlen, die zwischen
1:
5.
1
2
2:
1
2
3:
1
2
1
2
1
2
48
1
und 1 liegen:
17
2
4:
1
2
5:
1
2
Peter hat zwei Klausuren geschrieben mit Notenschnitt 2;
Nennen Sie 3 Paare von möglichen Noten:
1. Paar:
1
2
2. Paar:
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
1
2
3. Paar:
1
2
Rechnen in
Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext
Vermischte Aufgaben
1.
Berechnen Sie:
a)
Welche der beiden Summen ist grösser?
Setzen Sie < oder > oder = ein
1
3
b)
___
1
2
1
6
Welche der beiden Summen ist grösser?
Setzen Sie < oder > oder = ein
1
3
2.
1
5
1
4
1
12
___
1
2
1
4
Bringen Sie das Mobile ins Gleichgewicht – füllen Sie die leeren Felder:
1
5
3
1
2
1
2
1
2
3.
6
5
1
2
3
4
3
4
1
3
1
Berechnen Sie – denken Sie aber zuerst etwas nach –
geht es im Kopf?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Rechnen in Q-BS / Rechnen mit Brüchen – ein Selbstlerntext