¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Methoden I Dr. A. A`Campo

Übungen zur Vorlesung Mathematische Methoden I
Herbstsemester 2014
Dr. A. A’Campo-Neuen
18. September 2014
Aufgabenblatt 2
Wenn Sie sich für das Niveau E der Übungen entschieden haben, brauchen Sie nur
die ersten drei Aufgaben zu bearbeiten.
Aufgabe 1. (wahr oder falsch?) Beweisen oder widerlegen Sie jeweils:
a b
+ ≥ 2.
b a
(a) Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt
(b) Für jede natürliche Zahl n ist
5n ≥ n!
(4 Punkte)
Aufgabe 2. (Binomialkoeffizienten)
(a) Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten:
41
3
,
15
5
9
, 4 ,
12
9
.
(b) Begründen Sie, warum eine Menge aus n Elementen genau 2n verschiedene
Teilmengen besitzt.
2n
2n
(für jede Wahl natürlicher Zahlen k, n) (6 Punkte)
≤
(c) Zeigen Sie:
n
k
Aufgabe 3. (vollständige Induktion) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass
für alle natürlichen Zahlen n gilt:
2
2
2
1 + 3 + · · · + (2n − 1) =
n
X
k=1
(2k − 1)2 =
n
(4n2 − 1) .
3
(4 Punkte)
Aufgabe 4. (Ungleichungen) Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
(a) Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 3 gilt:
3n+1 ≤ 5n .
n
X
1
1
1
1
(b) Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
= 1+ +···+ 2 < 2−
.
2
k
4
n
n+1
k=1
(4 Punkte)
√
Aufgabe 5. (Irrationale Zahlen) Wir wissen jetzt, dass 2 eine irrationale Zahl
ist. Sei nun a > 0 eine vorgegebene rationale Zahl. Begründen Sie, warum die Länge
der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlaenge a eine irrationale Zahl sein muss.
Wie steht es mit der Länge der Raumdiagonalen in einem Würfel der Seitenlänge a?
Ist sie rational oder irrational?
(2 Punkte)
Abgabe: Donnerstag, den 25. September 2014, in der Vorlesung oder bis 12 Uhr
im Mathematischen Institut.