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LEMAMOP
Lerngelegenheiten für
Mathematisches Argumentieren, Modellieren und Problem lösen
Kompetenztraining „Mathematisch argumentieren“
Jahrgang 8
Schülermaterial
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumente vereinbaren
1. Arbeitsauftrag:
Blatt: 1
SM
Datum:
Argumente?
a) Vervollständige die Satzanfänge von Fritzchen und schreibe eine kurze Reaktion seines Lehrers.
Dialog 1:
Fritzchen: Ich habe die Hausaufgaben nicht, weil _____________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________.
Lehrer: ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________.
Dialog 2:
Fritzchen: 5 ist eine Primzahl, weil _____________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________.
Lehrer: ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________.
b) Worin besteht der Unterschied bei Fritzchens Argumentationen?
_____________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumente vereinbaren
2. Arbeitsauftrag:
Blatt: 2
SM
Datum:
Wahr oder falsch?
Wähle aus den folgenden Aussagen fünf aus.
Bewerte die ausgewählten Aussagen mit wahr (w) oder falsch (f).
Begründe deine Entscheidung.
Aussage
w oder f
a) Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
b) In jedem Drachenviereck stehen die
Diagonalen senkrecht aufeinander.
c) Das Lineare Gleichungssystem
|
|
hat die Lösung x = 11 und y = 4.
d) In einem Sehnenviereck sind die Innenwinkel gemessen. Wird der
Punkt A auf dem Kreisbogen bewegt,
so bleibt der Winkel bei A stets
gleich und die Winkel bei B und D
verändern sich.
... denn ich weiß, dass ...
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumente vereinbaren
e) Jedes Viereck mit vier gleich großen
Winkeln ist ein Rechteck.
f) Gegeben ist folgende Figur.
Der Flächeninhalt der Figur kann mit
dem Term
berechnet
werden.
g) Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist immer
durch 3 teilbar.
h) Wenn man die eine Seite eines Quadrates um 5 cm verkürzt und die andere Seite um 9 cm verlängert, so erhält man ein Rechteck, das den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat
hat.
Blatt: 2
SM
Datum:
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumente im Einsatz
Blatt: 1
SM
Datum:
Im Mathematikunterricht hast du schon häufig Aussagen begründet oder bewiesen. Solche Begründungen bzw. Beweise sollen jetzt gezielt durchgeführt werden.
Aufgabe 1:
Primzahlen?
a) Behauptung:
Für alle natürlichen Zahlen n ist
eine Primzahl
Unten sind zwei Beweise zu dieser Behauptung aufgeführt.
Vergleiche beide Beweise und gib zentrale Argumente an.
Beweis 1:
Beweisschritt
Setze ich die Zahlen 0, 1, 2, 3 für n ein,
ergibt der Term
nacheinander
die Primzahlen 5, 7, 11 bzw. 17.
Für n = 4 ergibt sich jedoch die Zahl 25.
25 ist keine Primzahl, die Behauptung ist
also falsch.
Beweis 2:
Beweisschritt
(
)
Die Behauptung ist falsch.
Begründung
Systematisches Probieren
... bis eine Zahl gefunden ist, für die die
Behauptung falsch ist.
Primzahlen sind Zahlen, die nur 1 und
sich selbst als Teiler haben. 25 hat auch
den Teiler 5, also ist 25 keine Primzahl.
Begründung
Setze die Zahl 5 für n ein, weil man dann
ausklammern kann.
Ausklammern und ausrechnen
Weil Primzahlen nur 1 und sich selbst als
Teiler haben.
b) Widerlege entsprechend die folgende Behauptung:
Für alle natürlichen Zahlen n ist
eine Primzahl.
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumente im Einsatz
Aufgabe 2:
Blatt: 2
SM
Datum:
Umkreis
Behauptung:
In jedem Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem
Punkt. Der Punkt ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.
Hier der zugehörige Beweis:
Beweisschritt
Begründung
Erstelle eine Skizze mit sinnvoller Beschriftung.
Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten
haben den gleichen Abstand zum Punkt A und
zum Punkt C.
Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten
haben den gleichen Abstand zum Punkt B und
zum Punkt C.
Der Punkt P ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
und
.
Die folgenden Abstände sind gleich:
| | | | und | | | |,
also ist auch | | | |
P liegt auf der Mittelsenkrechten .
Eigenschaft der Mittelsenkrechten.
Eigenschaft der Mittelsenkrechten.
Denn P liegt auf beiden Mittelsenkrechten.
Eigenschaft der Mittelsenkrechten.
Notiere die zentralen vorgebrachten Argumente.
Der letzte Schritt zum Beweis der Behauptung fehlt.
Gib an, welcher Teil der Behauptung noch nicht bewiesen ist.
Begründe, weshalb auch der letzte Beweisschritt gültig ist.
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumente im Einsatz
Aufgabe 3:
Blatt: 3
SM
Datum:
ungerade Zahl
Behauptung:
Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade.
Und hier der zugehörige Beweis:
Beweisschritt
Begründung
ist eine ungerade Zahl
(
)
das Quadrat einer ungeraden Zahl
(
)
Binomische Formel
die Summe zweier gerader Zahlen muss
(
)
wieder eine gerade Zahl sein, da sie durch
2 teilbar ist
addiert man eine gerade Zahl mit 1, wird
ist ungerade
sie ungerade
Begründe den ersten Beweisschritt in der Tabelle.
Aufgabe 4:
nie 148
Behauptung:
Das Produkt dreier gerader natürlicher Zahlen ist nie 148.
Und hier der zugehörige Beweis:
Beweisschritt
Begründung
Vervollständige die Begründung der Argumentationskette.
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumentationstraining
SM
Blatt: 1
Datum:
Aufgabenstellung:
Bearbeite einzelne Aufgaben deiner Wahl.
*
einfach
Die Sterne geben dir den Schwierigkeitsgrad an.
**
mittel
Sammle durch das Lösen der Aufgaben mindestens 8 Sterne.
***
schwierig
Aufgabe 1:
Dreiecke im Quadrat
*
Zwei kongruente, rechtwinklige Dreiecke kann ich immer zu einem Quadrat zusammenlegen.
Ist die Behauptung wahr? Begründe!
Aufgabe 2:
6 oder 7?
*
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen zweier Würfel die Augensumme 7 auftritt, ist
größer als die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augensumme 6.
Ist die Behauptung wahr? Begründe!
Aufgabe 3:
Gerade Primzahlen
*
Die einzige gerade Primzahl ist die 2.
Ist die Behauptung wahr? Begründe!
Aufgabe 4:
Die schneiden sich doch, oder?
Gegeben sind die beiden linearen Funktionen f und g mit den folgenden Gleichungen:
Schneiden sich die beiden zugehörigen Geraden?
Gib für deine Entscheidung zwei unterschiedliche Begründungen an.
**
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumentationstraining
Aufgabe 5:
SM
Blatt: 2
Datum:
Hat meine Grundschullehrerin gelogen?
**
Berni behauptet, dass seine Grundschullehrerin ihm etwas Falsches beigebracht hat:
„Damals sagte sie, dass 2 nicht das Gleiche ist wie 1. Jetzt kann ich endlich das Gegenteil
beweisen!“
Hier ist sein Beweis:
|
|
(
)(
)
(
)
| (
(
)
)
|
Erkläre, was Berni falsch gemacht hat.
Welches zentrale Argument wurde verwendet, um Bernis Fehler zu entlarven?
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumentationstraining
Aufgabe 6:
Blatt: 3
SM
Datum:
Das kenn ich doch vom Dreieck?!
**
Behauptung:
In einem regelmäßigen Fünfeck ist die Summe der Innenwinkel
gleich 540°.
Vervollständige den Beweis.
Welches zentrale Argument wurde verwendet?
Beweisschritt
Begründung
Erstelle eine Skizze mit sinnvoller Beschriftung. Die fünf Innenwinkel sind mit
1, 2, 3, 4 und 5 bezeichnet.
Sinnvolle Zerlegung in Dreiecke
(Die Zerlegung bitte noch durchführen!)
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumentationstraining
Aufgabe 7:
Blatt: 4
SM
Datum:
Gerade oder ungerade?
***
Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade.
Begründe, dass diese Behauptung stimmt.
Erkläre, welche zentralen Argumente verwendet wurden.
Aufgabe 8:
Dreieck = Dreieck?
***
Zeige, dass die beiden dunklen Dreiecke kongruent (deckungsgleich) sind.
Du kannst davon ausgehen, dass Abbildung 1 und Abbildung 2 bis auf das dunkle Dreieck
gleich sind. Die Figuren über den Seiten des Dreiecks ABC sind jeweils Quadrate.
Abbildung 1
Erkläre, welche zentralen Argumente verwendet wurden.
Abbildung 2
Mathematisch argumentieren
Klasse
Argumentationstraining
Aufgabe 9:
SM
Blatt: 5
Datum:
Ebenfalls gleichseitig?
***
In dem gleichseitigen Dreieck ABC werden auf jeder Seite die Teilpunkte D, E und F markiert, die gleich weit von den entsprechenden Ecken entfernt sind. Diese Punkte werden miteinander verbunden. Man kann nun beweisen, dass das Dreieck DEF dann
ebenfalls gleichseitig ist.
Zerschneide die folgenden Beweisschritte und bringe sie in die richtige Reihenfolge:
Nr.
1

Beweisschritt
Begründung
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Das Dreieck DEF ist gleichseitig.
2
In einem gleichseitigen
Dreieck sind die Innenwinkel gleich groß.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅,
3
Die beiden Dreiecke EBF und FCD stimmen in zwei
Seitenlängen und der Größe des eingeschlossenen
Winkels überein.
4
̅̅̅̅
5
Die beiden Dreiecke EBF und FCD sind kongruent.
6
Die beiden Dreiecke FCD und DAE stimmen in zwei
Seitenlängen und der Größe des eingeschlossenen
Winkels überein.
7
Die beiden Dreiecke FCD und DAE sind kongruent.
Kongruenzsatz SWS
8
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
9
̅̅̅̅
̅̅̅̅
10
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ und ̅̅̅̅
̅̅̅̅
Die Punkte D, E und F sind
von den Ecken A, B und C
gleich weit entfernt.
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Kongruenzsatz SWS
̅̅̅̅ ̅̅̅̅,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅,
̅̅̅̅ und ̅̅̅̅
̅̅̅̅
Die Dreiecke FCD und DAE
sind kongruent.
Die Dreiecke EBF und FCD
sind kongruent.
Übersicht:
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sterne
*
*
*
**
**
**
***
***
***
Gelöst
Klasse
Lernprotokoll
Aufgabe 1:
Blatt: 1
Datum:
Argumente im Alltag und im Mathematikunterricht
a) Nenne ein typisches Argument deiner Eltern, warum du dein Zimmer aufräumen
sollst.
b) Nenne eine Situation, in der in letzter Zeit Argumente im Mathematikunterricht eine
Rolle gespielt haben.
c) Erläutere kurz, wo die Unterschiede und die Gemeinsamkeiten bei Argumentationen
im Alltag und innerhalb der Mathematik sind.
Aufgabe 2:
Argumente im Einsatz
Peter ist verwirrt. Er ist sich sicher, dass er die folgende merkwürdige Behauptung
bewiesen hat: Es gilt 5=4.
Beweis:
|
|
|
|
(
)
(
) | (
)
Überprüfe Peters Argumente. An welcher Stelle steckt der Fehler?
Persönlicher Code:
Klasse
Lernprotokoll
Aufgabe 3:
Blatt: 2
Datum:
Argumentationen ausführen
Behauptung:
Das Quadrat jeder natürlichen Zahl ist eine gerade Zahl.
Prüfe, obdiese Behauptung wahr ist. Fülle dazu die Argumentationstabelle aus.
Beweisschritt
Begründung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Persönlicher Code:
Klasse
Kompetenzcheck
Blatt: 1
Datum:
Bewerte bitte die Aussagen in Bezug auf das gerade durchgeführte Kompetenztraining.
Über Argumentationen
nachdenken
Argumentieren
Argumentationsgrundlagen kennen
Argumentationen verstehen
Aussage
++
+
–
Ich konnte ein verwendetes mathematisches Argument
erkennen und nachvollziehen.
Ich konnte ein mathematisches Argument wiedergeben.
Ich konnte erkennen, ob bei einer mathematischen Argumentation fehlerhafte Argumente verwendet wurden.
Ich konnte Argumentationsketten nachvollziehen, die aus
mehreren Schritten bestehen.
Ich weiß, worin der Unterschied zwischen alltäglichen und
mathematischen Argumentationen besteht.
Ich konnte Definitionen von mathematischen Begriffen
oder Sätze angeben, um sie als Grundlage für eine Argumentation zu verwenden.
Ich konnte mathematische Verfahren angeben, um sie als
Grundlage für eine Argumentation zu verwenden.
Ich konnte mit einem Gegenbeispiel eine Argumentationskette widerlegen.
Ich kann auf einer mir bekannten Definition eines Begriffes
oder eines mathematischen Satzes ein Argument aufbauen.
Ich kann ein bereits akzeptiertes Verfahren anwenden, um
meine Argumente zu stützen.
Ich kann eine fehlerhafte Argumentation durch ein Gegenbeispiel widerlegen.
Ich kann angefangene Argumentationsketten vervollständigen.
Ich traue mir zu, dass ich auch komplexe Zusammenhänge
mathematisch korrekt nachweisen kann.
Ich überlege mir nach einer gelungenen Argumentation,
was mir geholfen hat, diese zu formulieren.
Ich überlege mir, ob meine Argumentation auch kritischen
Nachfragen standhält.
Ich notiere mir neue und zulässige Argumentationsgrundlagen in meinen Wissensspeicher.
Ich traue mir zu, mit meinen mathematischen Argumenten
meine Mitschüler überzeugen zu können.
Zeichenerklärung:
++
Trifft zu.
+
Trifft eher zu.
–
Trifft eher nicht zu.
––
Trifft nicht zu.
Persönlicher Code:
––
Klasse
Kompetenzcheck
Blatt: 2
Datum:
In der Checkliste oben hast du dir einen Überblick verschafft, was du im Zusammenhang mit
„mathematischem A g mentie en“ schon wie g t kannst.
Wo siehst du selbst am dringendsten die Notwendigkeit zur Verbesserung?
Worauf willst du selbst in der nächsten Zeit besonders achten?

Ich muss überhaupt erst einmal Begründungsaufgaben ernst nehmen.

Ich muss meine eigenen mathematischen Argumentationen auch aufschreiben.

Ich muss meine Gedanken zu Begründungsaufgaben klarer strukturieren.
Dazu helfen evtl. folgende Fragen:
Was ist die Argumentationsgrundlage, von der ich ausgehe?
Was kann ich daraus folgern?
In welcher Reihenfolge wird daraus eine schlüssige Begründung?

Ich muss mich besser an Vorwissen erinnern können, das als Grundlage beim Argumentieren
benötigt wird. Dazu lege ich einen Wissensspeicher an.

Ich muss noch genauer darauf achten, ob die einzelnen Begründungsschritte wirklich so allgemein gültig sind, wie hingeschrieben.
Meine weiteren Ziele für die nächsten Situationen, in denen ich mathematisch argumentiere:

Ich

Ich

Ich

Ich
Persönlicher Code: