Linearkombination

Glossar: Linearkombination
Linearkombination [Lineare Algebra; Analytische Geometrie, Vektorrechnung]
Vielfachensumme mehrerer Vektoren.
Gegeben sind die Vektoren 𝑣⃗1, ..., 𝑣⃗n und die reellen Zahlen
a 1, ..., a n.
Dann heißt der Vektor 𝑤
⃗⃗⃗ = a 1𝑣⃗1 + ... + a n𝑣⃗n
Linearkombination von 𝑣⃗1, ..., 𝑣⃗n.
Beispiel 1:
 3 
  1
 ,𝑣⃗2 =   ,
  2
4
𝑣⃗1 = 
 3  3  5  ( 1) 
4
 =   eine
 3  ( 2)  5  4 
14 
dann ist z.B. 𝑤
⃗⃗⃗ = 3 𝑣⃗1 + 5 𝑣⃗2 = 
Linearkombination von 𝑣⃗1 und 𝑣⃗2.
Bemerkung: Ein Vektor lässt sich als Linearkombination eines
anderen Vektors darstellen, genau dann, wenn er Vielfaches
dieses Vektors ist (mit anderen Worten: wenn beide kollinear
sind oder in anderen Worten: wenn sie linear abhängig sind).
Beispiel 2:
  15 

 lässt sich als Linearkombination von
 10 
  15 
 3 
 = -5   .
nämlich: 
 10 
  2
 3 
  darstellen,
  2
Beispiel 3:
Gegeben sind die Vektoren
 - 1
 6 
 


𝑣⃗ =  5  und 𝑤
⃗⃗⃗ =  - 11 .
 10 
 8 
 


Dann ist 3 ·𝑣⃗ + 5 ·𝑤
⃗⃗⃗
 - 1
 6 
 3  ( 1)  5  6 
 27 
 






= 3  5  +5  - 11 =  3  5  5  (-11) =  - 40 
10 
 8 
 3  10  5  8 
 70 
 






eine Linearkombination von 𝑣⃗ und w .
Bemerkung: Lässt sich ein Vektor lässt sich als
Frank Mergenthal www.mathebaustelle.de
Linearkombination zweier anderer Vektoren darstellen, so
heißen die drei Vektoren komplanar.
Anwendungen
Der Begriff Linearkombination hängt eng mit den Begriffen
lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit zusammen.
Bei Linearen Gleichungssystemen in Matrizenform ist die
lineare Unabhängigkeit der Zeilenvektoren entscheidend für
die Lösbarkeit.
Bei quadratischen Matrizen ist die lineare Unabhängigkeit der
Zeilenvektoren (gleichbedeutend mit der Spaltenvektoren) der
Rang der Matrix. Eine quadratische Matrix ist genau
invertierbar, wenn sie den vollen Rang hat.
Frank Mergenthal www.mathebaustelle.de