VORKURS MATHEMATIK, ÜBUNGEN MITTWOCH ∞ a x

Übungen Mittwoch -1-
VORKURS MATHEMATIK, ÜBUNGEN
MITTWOCH
Block 1
1. Schriftliches Divisionsverfahren für Polynome:
a) (x3 + 6x2 + 9x + 4) : (x + 1) =
b) (3x3 – x2 – 16x + 12) : (x + 2) =
5
2
c) k : (k + k − 1) =
2. Am Montag sind wir beim Thema „Faktorzerlegung“ auf diese zwei Faktorisierungen ge3
3
2
2
3
3
2
2
stossen: a + b = (a + b)(a − ab + b ) und a − b = (a − b)(a + ab + b ) .
Diese Formeln scheinen auf den ersten Blick aus der mathematischen Trick -und Zauberkiste zu stammen. Auf den zweiten Blick sieht man den naheliegenden Ansatz, den Faktor
(a + b) , respektive den Faktor (a − b) abzuspalten. Also, versuchen Sie’s !
a) a 3 + b 3 : (a + b) =
b) a 3 − b 3 : (a − b) =
3. Erraten Sie eine, und berechnen sie mit Hilfe der Polynomdivision die anderen Nullstellen:
a) f ( x) = x 3 + 4 x 2 + x − 6
b) f ( x) = −
3 3
x + x2 + 2
4
Versuchen Sie es hier ohne die Lösungsformel für quadr. Gleichung.
c) f ( x) = z 4 − 2 z 2 + 1
4. Wie viele Nullstellen hat ein Polynom vom Grad m höchstens? Und wie viele mindestens, falls m ungerade bzw. gerade ist?
5. Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen, Definitionslücken, und Verhalten für x a ∞ :
a)
b)
6. Bestimmen Sie A und B so dass:
7. a) * Konstruieren Sie ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, das
hat.
b) * Das gleiche mit 2 + 3 .
2 + 1 als Nullstelle
Übungen Mittwoch -2-
Block 2
1. a) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge a n =
10 − 3n
.
2n + 3
b) Ab welcher Nummer n0 ist an von diesem Grenzwert weniger als 0,0001 entfernt ?
2. Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen:
a) an =
5n + 12
3n − 2
und
b) a n =
n −5
n2 + 4
3. Bestimmen Sie jeweils die Grenzwerte:
(
a) lim 2
x →0
−x
+ x2
)
b) lim
x→5
2 x 2 + 4 x − 70
3x − 15
c) lim
x→ ∞
1
4. Wir untersuchen die Funktion f ( x) =
3+ 2
1
x
1
 1
1 + 
x

x
.
a) Bestimmen Sie lim f ( x) .
b) Bestimmen Sie
c) Bestimmen Sie lim f ( x) .
d) Bestimmen Sie lim f ( x) .
x→ 0
von links
x→ + ∞
3 x − 3− x
x → ∞ 3 x + 3− x
d)* lim
lim f ( x) .
x→ 0
von rechts
x→ − ∞
Zeichnen Sie mit Hilfe dieser Ergebnisse den Graphen von f(x) ins Koordinatensystem:
5. Zeichnen Sie den Graphen von f : x a
x
x−2
mit Definitionsbereich x ≠ 2 .
6. Bestimmen Sie numerisch (durch erstellen einer Wertetabelle) die folgenden Grenzwerte:
eh − 1
a) lim
h→0
h
und
b) lim
x →0
sin x
x
* Können Sie die Grenzwerte auch rechnerisch herleiten?
Übungen Mittwoch -3-
Block 3
1. Wo sind diese Funktionen differenzierbar? Berechnen Sie dort die Ableitung!
a)
b)
c)
c)
2. Finden Sie eine allgemeine Formel für die Ableitung eines Polynoms:
x a an x n + an−1 x n−1 + K + a1 x1 + a0
3. Leiten Sie ab:
1
cx − 1
2
c) f ( x) = (1 − x −4 )( x −1 + x 2 )
a) f ( x ) = a 2 x 3 − b ⋅ x 2 +
b) f ( x) = ( x − q )(1 + x )
4. An welchen Kurvenpunkten schneiden die Tangenten an den Graphen von f die x-Achse
unter einem Winkel von π / 4 ( = 45o ) ?
a) f ( x) = x 2
b) f ( x) = x 3
c) f ( x) = x ⋅ 3 − x
c) f ( x) = e x
5. Leiten Sie ab:
a) f ( x) =
x 4 + x3 + x2 + x
x2
b)
f ( x) = x ⋅ sin( x 3 )
6. Gegeben ist die Funktion f 5 ( x) =
( x − 2) 2
.
x2 + 4
Berechnen Sie f '(x) und f ''(x) (die sog. zweite Ableitung = Ableitung von f '(x))
n
7. Skript: Die Ableitung einer Potenzfunktion f ( x) = x ,(n ∈ ) lautet f ' ( x) = n ⋅ x n−1
Beweisen Sie das mit Hilfe des Differentialquotienten (Tipp: Pascal’sches Dreieck).
8. * Leiten Sie die Quotientenregel aus der Produktregel her.
Übungen Mittwoch -4-
Block 4
1. Lösen Sie nach x:
a) (log 2 x) 2 − log 2 ( x 5 ) + 6 = 0
b) x 2 x+1 = x
2. Berechnen Sie mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung von ln(x) aus dem Zusammenhang
e ln( x ) = x und die Ableitung von log(x) aus dem Zusammenhang a log a ( x ) = x
3. Welchen Winkel bildet die Tangente im Punkt (x0, f(x0)) an den Graphenvon f mit der xAchse?
a)
b)
4. Eine Kugel, die im Ursprung nach oben abgeschossen wird, beschreibt eine Parabel, deren höchster Punkt (1 , 2) ist. Wie gross war der Schusswinkel mit der x-Achse?
5. Berechnen Sie die Ableitung von tan( x) =
sin( x)
mit Hilfe der Quotientenregel.
cos( x)
6. Gesucht ist eine Polynomfunktion 3.Ordnung ( p : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ), welche die Gerade g : 6 x + y − 18 = 0 auf den Koordinatenachsen schneidet und die Gerade
h : 5 x + y − 10 = 0 bei x = 2 berührt.
(Tipp: p berührt h bedeutet, dass p und h im Berührungspunkt dieselbe Steigung haben.)
7. Professor Suzukis Kinder
Professor Suzuki und Professor Baba begegnen sich in der Mensa der Universität.
Suzuki: "Guten Abend, mein Bester. Wie geht es Ihnen?"
Baba: "Hervorragend, danke. Und Ihnen?"
Suzuki: "Sehr gut. Sie wissen, dass ich inzwischen drei Kinder habe ..."
Baba: "Wirklich? Wie alt sind sie denn?"
Suzuki: "Nun, Sie als guter Mathematiker und Logiker dürften es rasch herausbekommen.
Das Produkt ihrer Lebensalter ist 36, und die Summe ihrer Lebensalter ist identisch mit
der Nummer des Hauses, das sie in Osaka bewohnten."
Baba (nach einer Pause): "Diese Informationen reichen mir nicht."
Suzuki: "Sie haben recht. Also das älteste sieht genau wie ich aus."
Baba: "Aha, jetzt weiss ich, wie alt sie sind."
Wie alt sind die Kinder im einzelnen?