Induktionsbeispiele Rotierende Leiterschleife: • Bei konstanter Winkelgeschw. ω: φ A Φm = AB cos φ = AB cos(ωt + φ0) B ω • Induktionsspannung: dΦm dt = −AB [−ω sin(ωt + φ0)] = ABω sin(ωt + φ0 ) Uind = − Uind (Wechselspannung) • Prinzip des Generators. Spule mit Induktionsschleife: • Magnetischer Fluss in Spule mit N Windungen: L 2R N Windungen, Strom I(t) A Φm = AB = πR2 · µ0 N · I(t) L • Spannung in Induktionsschleife (eine Windung): Uind Uind dΦm µ0πR2 N dI(t) =− =− · dt L dt 7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 24. Juni 2009 Selbstinduktion, Einschaltvorgang Selbstinduktion: • Beim Einschalten des Stroms in einer Spule (Länge ℓ, N Windungen) induziert die Flussänderung in der Spule eine Spannung Uind in der Spule selbst. • In N Windungen ist Uind N mal so groß wie in einer einzelnen Induktionsschleife: Uind dΦm µ0AN 2 dI(t) = −N =− · dt ℓ dt • Eine induzierte Spannung tritt bei Stromänderungen in allen stromführenden Anordnungen auf, mit Uind = −L · dI(t) dt Vs = Henry = H A µ0 AN 2 • Selbstinduktivität einer Spule: L = . ℓ L = Induktivität; [L] = Einschaltvorgang: S • Stromkreis mit L, R und U0 : U0 = RI − Uind U0 dI = RI + L dt • DG für I(t) mit Lösung U0 −(R/L)t I(t) = 1−e R I I 0=Uo/R L R 0.63I0 • Zeitkonstante des Stromanstiegs: τ = L/R 7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder t τ 24. Juni 2009 Die Lenzsche Regel Vorzeichen von Induktionsspannungen: Das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz hat eine generelle Konsequenz für alle Induktionseffekte: Die durch Induktion bewirkten Spannungen, Ströme und Felder wirken stets dem die Induktion verursachenden Vorgang entgegen. Beispiel: Bind F Iind v • Permanentmagnet bewegt sich auf Spule zu. • Durch die Änderung des magnetischen Flusses wird in der Spule eine Spannung Uind induziert, durch die ein Strom Iind erzeugt wird. ~ ind . • Der Strom erzeugt ein Magnetfeld B ~ ind wirkt der Flusszunahme Lenzsche Regel: B in der Spule entgegen, ist also dem Feld des Permanentmagneten entgegengerichtet. • Es resultiert eine abstoßende Kraft zwischen Spule und Magnet. 7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009 Ausschaltvorgang Abkoppeln der Spannungsversorgung von einem Stromkreis mit Induktivität: • Vor Öffnen des Schalters S (lange nach Einschalten): S I1 = U0 /R1 IL = U0 /RL = I0 U0 R1 I L,RL • Nach Öffnen des Schalters S: 0 = RI − Uind = RI + L dI dt (mit R = R1 + RL ). • DG für I(t) mit Lösung I I 0=Uo/RL I(t) = I0 · e−(R/L)t • Die Induktion bewirkt einen Strom, der das Magnetfeld in der Induktivität aufrechtzuerhalten versucht. • Induktionsspannung an L: Uind = −L t R1 + RL −(R/L)t dI = U0 e . dt RL Falls R1 ≫ RL ist, wird Uind ≫ U0 • Praktische Konsequenzen: – Bei Ausschaltvorgängen entstehen u.U. hohe Spannungsspitzen, die elektrische/elektronische Geräte beschädigen können. – Diese Spannungsspitzen werden z.B. zum Zünden der Gasentladung in Leuchtstoffröhren verwendet. 7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009 Energieinhalt des Magnetfeldes Energie des Magnetfeldes: • Der Strom I(t) nach dem Ausschalten erzeugt im Widerstand R = R1 + RL Joulesche Wärme, die gleich der im Magnetfeld gespeicherten Energie ist: Wm = R Z∞ I 2 (t) dt = RI02 0 L −(2R/L)t − e 2R ∞ 0 = 1 2 I0 L 2 • Für eine Spule (Querschnitt A, Länge ℓ) ist die magnetische Energiedichte wm 2 1 2 1 Wm 2A 1 2N = I0 µ0N = µ0 I0 2 = V 2 | {z ℓ} |{z} Aℓ 2 ℓ =L =1/V Mit B0 = µ0 I0 N/ℓ wird wm = 1 2 B0 2µ0 Zusammenfassung elektromagnetischer Energien: 1 2 1 2 Wm = LI Wel = CQ 2 2 1 2 + 1 B2 ohne Materie ǫ E 2 0 µ0 welm = 1 mit Materie [ED + BH ] 2 7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009 Generator und Elektromotor Funktionsprinzip Rotierende Leiterschleife bzw. Spule im äußeren Magnetfeld: Generator: Elektromotor: Mechanischer Antrieb ↓ Rotation ↓ Induzierte Spannung ↓ Elektrische Leistung Angelegte Spannung ↓ Strom in Spule ↓ Drehmoment auf Spule ↓ Mechanische Leistung Kontinuierliche Drehung des Motors erfordert Umpolen des Stroms oder des Magnetfeldes. S ω Wechselstrommotor: Dreht sich mit Frequenz der angelegten Wechselspannung. B N U= U0sin(ω t) 7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009 Gleichspannungsmotor und Gleichspannungsgenerator Funktionsprinzip: • Umpolen der zur Stromrichtung in Kontakte Drehspule Isolator der Drehspule (Rotator) durch segmentierte Schleifkontakte an der Drehwelle (Kommutator). Kohlestifte • Funktioniert unabhängig U von Drehfrequenz. + − • Elektromotor: Betrieb mit Gleichspannung. • Generator: Liefert Spannung mit festem Vorzeichen. Technische Verbesserungen: • Verwendung von N Spulen, 2 1 B deren Drehwinkel um π/N gegeneinander 3 versetzt sind: – Erfordert meherere Spulen Kommutatoren oder mehr Segmente an Drehachse einem Kommutator. U – Generator: Glattere Beispiel: N=2 Ausgangsspannung. 1+2 – Elektromotor: runderer Lauf. • Rotator mit Eisenkern 1 2 t 7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009