Analysis I - Zusammenfassung WS 10/11 Gehört bei Prof. Dr. Weis

Analysis I - Zusammenfassung
WS 10/11
Gehört bei Prof. Dr. Weis
Nils Braun & Philipp Basler
19. März 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Konvergenzkriterien
1.1 von reellen Folgen . . .
1.2 von komplexen Folgen
1.3 von Reihen . . . . . .
1.4 von Funktionsfolgen . .
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2
2
2
2
4
2 Exponentialfunktion und ihre Verwandten
2.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Wurzeln komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
3 Potenzreihen
7
4 Stetige Funktionen
4.1 Sätze und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
5 Differentialrechung
5.1 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Wichtige Ableitung und Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
10
6 Differentialgleichungen
6.1 Lösungsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
7 Klausur
13
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1
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Kapitel 1
Konvergenzkriterien
1.1
von reellen Folgen
• Rechenregeln für Limes
• Majoranten- /Minorantenkriterium bzw. Sandwichkriterium
• beschränkt und monoton ergibt konvergent
• Existenz einer konvergenten Teilfolge (Bolzano-Weierstraß)
• Cauchykriterium
• lim sup = lim inf
• l’Hôpital
1.2
von komplexen Folgen
Reelle Regeln übertragen sich auf Re und Im der komplexen Folge
1.3
von Reihen
• Konvergenz der Reihe
sn =
n
X
am
m=0
2
Konvergenz
oder
sn =
n
X
|am |
absolute Konvergenz
m=0
P
Regeln von oben übertragen sich wörtlich (z.B.
|am | beschränkt und monoton
n
P
wachsend oder Cauchykrieterium mit |
aj | < ε für n > m ≥ n(ε))
j=m
• Majoranten-/Minorantenkriterium
• Quotientenkriterium
Absolute Konvergenz bei
an+1 <1
lim sup an Divergenz bei
an+1 >1
lim inf an • Wurzelkrieterium
Absolute Konvergenz bei
lim sup
√
n
an < 1
lim sup
√
n
an > 1
Divergenz bei
• Leibnizkrieterium
P
(−1)n an konvergiert, wenn an eine monoton fallende Nullfolge ist
• Cauchysches Verdichtungskriterium
P
Sei an positiv und monoton fallend. Dann besitzt
an das gleiche KonvergenzverP k
halten wie
2 a2k
• Integralkriterium
X
Z∞
an konvergent ⇐⇒
a(n) dn existiert
0
3
1.4
von Funktionsfolgen
• Punktweise Konvergenz:
∀x : fn (x) −−−→ f (x) ⇐⇒ ∀x : ∃ε > 0 : ∃n0 : |fn (x) − f (x)| < ε ∀n > n0
n→∞
• Gleichmäßige Konvergenz:
∃ε > 0 : ∃n0 : |fn (x)−f (x)| < ε ∀n > n0 ∀x ⇐⇒ ∃ε > 0 : ∃n0 : sup |fn (x)−f (x)| ∀n > n0
x
4
Kapitel 2
Exponentialfunktion und ihre
Verwandten
2.1
Exponentialfunktion
• ex = exp(x) =
∞
P
n=0
1 n
x
n!
= lim 1 +
n→∞
x n
n
• exp(·) ist stetig, monoton wachsend, bijektiv auf (0, ∞)
• Für |x| < 1 gilt: |ex − 1| ≤ (e − 1)|x|
• ln(·) ist Umkehrfunktion, bijektiv und streng monoton wachsend, stetig
• ax = ex·ln(a)
2.2
Trigonometrische Funktionen
• cos(x) = <(eix )
sin(x) = =(eix )
• Eulersche Formel:
eix = cos(x) + i sin(x)
• cos(x) = 12 (eix + e−ix )
• cos(x) =
∞
P
k=0
• tan(x) =
2k
x
(−1)k (2k)!
sin(x) =
sin(x) =
1
2i
(eix − e−ix )
∞
P
2k+1
x
(−1)k (2k+1)!
k=0
sin(x)
cos(x)
5
2.3
Wurzeln komplexer Zahlen
Jede komplexe Zahl z ∈ C lässt sich darstellen durch
z = reiϕ
Sei
z
|z|
r = |z| ϕ Argument

arccos(x) für y ≥ 0
= x + iy =⇒ ϕ =
− arccos(x) für y < 0
Sei u = reiϕ ∈ C. Dann gilt
√
p
u=
√
p
6
ϕ
rei p
Kapitel 3
Potenzreihen
∞
X
nennt man Potenzreihe
n=0
Eine Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius R mit
R = sup{r : p(z) konvergiert für alle |z| < r}
= sup{|z| : p(z) konvergiert absolut }
cn = lim n→∞ cn+1 =
1
lim sup
p
n
|cn |
n→∞
Dann gilt für |z| < R absolute Konvergenz und für |z| > R Divergenz.
7
Kapitel 4
Stetige Funktionen
4.1
Sätze und Eigenschaften
• Zwischenwertsatz
• Existenz von Minimum und Maximum auf einem abgeschlossenen Intervall
• Komposition und Verkettung stetiger Funktionen ist wieder stetig
• Gleichmäßige Stetigkeit:
∀ε : ∃δ : |x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ε
8
Kapitel 5
Differentialrechung
5.1
Ableitung
• Mittelwertsatz
∃x0 :
f (a) − f (b)
= f 0 (x0 )
a−b
• Verkettung und Komposition differenzierbarer Funktionen ist wieder differenzierbar
• Ableitung der inversen Funktion ist:
(f −1 )0 (y) =
1
f 0 (f −1 (y))
• Lipschütz stetig:
m ≤ f 0 (x) ≤ M =⇒ |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| ∀x, y
• Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung
• Taylorformel um x0 :
f (x) =
5.2
X 1
f (n) (x0 )(x − x0 )n
n!
Integration
• Stetige Funktionen sind integrierbar
• Stammfunktion und Fundamentalsatz
9
• Linearität des Integrals
• Mittelwertsatz des Integrals
• Substitutionsregel
• Partielle Integration
Z
Z
0
f (x)g(x) dx = f (x)g(x) −
5.3
f (x)g 0 (x) dx
Wichtige Ableitung und Integrale
Funktion
tan(x)
arctan(x)
arcsin(x)
arccos(x)
xx
ln(x)
Ableitung
1
cos2 (x)
1
x2 +1
√ 1
1−x2
1
− √1−x
2
xx (ln(x) + 1)
1
2
10
Integral
− ln(cos(x))
−
−
−
−
x(ln(x) − 1)
Kapitel 6
Differentialgleichungen
Gleichung
y 0 = ay
y 00 = −ωy
y 00 = a
Lösungsansatz
y(x) = Ceax
y 0 (0) = ωA
y(0) = B
y 0 (0) = b
y 0 = ay + b
y(x) = A sin(ωx) + B cos(ωx)
y(x) = a2 x2 + bx + c
y(x) = − ab + ab + C eax
y(0) = c
y(0) = C
y 0 = ay + by 2
y(0) = C
y(x) =
y 00 + ay 0 + by = c
y 0 + g(x)y = h(x)
g, h stetig
y 0 = f (x)g(y)
6.1
y
x
γ=
a
bC
−1
(siehe Theo, Ex und den ganzen Rest)
R
y0 = f
a
1
b 1+γeax
y(x) = C0 e−G(x) + e−G(x)
R ·
h(t)eG(t) dt
G(x) = g(t)dt
y(x) = G−1 (F (x))
y(x) = x · u(x) mit u Lösung von u0 =
f (u)−u
x
Lösungsstrategien
• Umstellen und Aufleiten
• Variation einer schon bekannten Lösung (Variation der konstanten Formel, z.B. das
C)
11
• Substitution
• Mit dx multiplizieren
12
Kapitel 7
Klausur
Von mir vermutete Aufgaben
(1) Rekursive Folge oder andere mit vollständiger Induktion zu lösende Aufgabe
(2) Reihen (Konvergenzverhalten bestimmen)
(3) Potenzreihen (Konvergenzradien bestimmen)
(4) Grenzwertbestimmung
(5) Anwendung des Mittelwertsatzes oder ähnlicher Beweis
(6) Funktionsfolgen (Konvergenzverhalten; Gleichmäßigkeit)
(7) Integrale berechnen oder Konvergenz nachweisen
(8) sonstige "kleine" Beweise
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