7 Starre Körper
7.1 Beschreibung des starren Körpers
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
7.3 Rotationsenenergie und Trägheitsmoment
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
7.5 Drehimpuls
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
7.7 Präzession
7.8 Hauptträgheitsachsen
R. Girwidz
1
7 Starre Körper
Schwerpunktsatz:
Der Schwerpunkt
eines Körpers bewegt
sich so, als ob die
Gesamtmasse im
Schwerpunkt vereinigt
wäre und die Summe
alle äußeren Kräfte
dort angreifen würde.
Ist die Summe der
äußeren Kräfte Null,
so bewegt sich der
Schwerpunkt
geradlinig und
gleichförmig.
R. Girwidz
2
–1
7.1 Beschreibung des starren Körpers
Kräfte an einem frei beweglichen starren Körper
reine Translation
reine Rotation
Translation + Rotation
F
i
i
 r  F 

i
i
i
3
R. Girwidz
7 Starre Körper
7.1 Beschreibung des starren Körpers
a) Freiheitsgrade
Massenpunkt:
ausgedehnter Körper:
3f
6f
(f: Freiheitsgrade)
b) Translation
c) Rotation
Die allg. Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus Translation und Rotation
zusammensetzen.
R. Girwidz
4
–2
Exkurs Dichte
M   mi  M   dm
i
V
V  Vi  V   dV
i
V
Dichte   lim
V 0
Berechnung d. Masse
aus der Dichte:
m dm

V dV
dM  dV  M   dV
V
 
 
M       dx dy dz


zyx
 
R. Girwidz
5
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
Drehmomentenscheibe
F2 greift zunächst
in SP an
Maßstab hochheben
Balkenwaage
Wirkungslinie an
Drehmomentscheibe
- Hebel bleibt in Ruhe, wenn: F1  l1  F2  l2
- Die drehbar gelagerte Scheibe bleibt auch in Ruhe, wenn die
Angriffspunkte der Kräfte vertikal verschoben werden.
R. Girwidz
6
–3
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
7
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
Am starren Körper kann man den Angriffspunkt einer Kraft beliebig
längs ihrer Wirkungslinie verschieben,
ohne das sich die Wirkung dieser Kraft ändert:
R. Girwidz
8
–4
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
Kräfte am starren Körper:
a)
Angriffspunkt der Kraft entscheidend (aber b)
b)
Kräfte am starren Körper sind „linienflüchtig“,
d.h. entscheidend ist der senkrechte Abstand von der Drehachse
c)
Kraftrichtung (Winkel) entscheidend
9
R. Girwidz
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
Def. Drehmoment:
M  r F
Betrag:
(“=Kraft x Hebelarm“)
Richtung:
M  r  F  sin 


Senkrecht auf r und F
" rechte - Hand - Regel"
Einheit:
Nm
Mehrere Drehmomente addieren sich vektoriell!
R. Girwidz
10
–5
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
Beispiel:
r2 = 2r1 ;
F1 = 5N ;
Wie groß muss F2 sein, damit der Körper im Gleichgewicht bleibt?
11
R. Girwidz
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
M 1  r 1  F 1;
M1  r1  F1
M 2  r 2  F 2;
M 2  r2  F2  sin 45  r2  F2  sin 
Wirkungskomp. von F
 r2  sin  F2
Abstand der Wirkungslinie
vom Drehpunkt
M1  M 2 ;
F2  F1
R. Girwidz
r1
r2  sin 45
 5N 
1
 3,5N;
2
12
–6
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
13
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
Der Schwerpunkt unregelmäßig geformter Körper lässt sich experimentell
bestimmen
(Schnittpunkt der Schwerlinien).
Schwerkraft greift an S an und bewirkt Drehmoment, bis S unter dem Drehpunkt liegt.
R. Girwidz
14
–7
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
Statik:
Summe aller Kräfte Null:
F
und Summe aller Drehmomente Null:
M
0
i
i
i
0
i
R. Girwidz
15
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
16
–8
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
17
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
18
–9
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
19
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
20
–10
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment
Dynamik
21
R. Girwidz
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment
Parallelversuch:
Gleiche Höhenenergie wird in
Rotationsenergie umgesetzt
Kinetische Energie des Massenelements:
1
1
E Kini  m i v 2  m i  ri 2 2
2
2
R. Girwidz
22
–11
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment
Parallelversuch:
Gleiche Höhenenergie wird in
Rotationsenergie umgesetzt
Kinetische Energie des Massenelements:
1
1
E Kini  m i v 2  m i  ri 2 2
2
2
Rotationsenergie des gesamten Körpers:
bei i Teilmassen:
ERot   EKini 
i
1 2
2
  mi  ri
2
i
bei kontinuierlicher
Massenverteilung:
23
R. Girwidz
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment
Parallelversuch:
Gleiche Höhenenergie wird in
Rotationsenergie umgesetzt
Kinetische Energie des Massenelements:
1
1
E Kini  m i v 2  m i  ri 2 2
2
2
Rotationsenergie des gesamten Körpers:
bei i Teilmassen:
ERot   EKini 
i
bei kontinuierlicher
Massenverteilung:
R. Girwidz
ERot 
1 2
2
  mi  ri
2
i
1 2 2
 r dm
2 V
24
–12
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment
Definition: Trägheitsmoment I
I   r 2  dm   r 2   dV
V
V
[ I ] = kg m²
25
R. Girwidz
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment
Definition: Trägheitsmoment I
I   r 2  dm   r 2   dV
V
V
[ I ] = kg m²
–
I ist ein Maß für die Massenverteilung des Körpers bezüglich einer
Rotationsachse
–
I bezieht sich immer auf eine Rotationsachse
–
Rotationsenergie:
analog zu:
R. Girwidz
1 2
I
2
1
 mv 2
2
ERot 
EKin
26
–13
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
27
R. Girwidz
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
Verschiedene
beschleunigende Massen

 ~M
Winkelbeschleunigung ~ Drehmoment
R. Girwidz
28
–14
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung

 ~M
Winkelbeschleunigung ~ Drehmoment
Fi  mi  ai
Beschleunigende Kraft auf Δmi:

 mi  ri  
29
R. Girwidz
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung

 ~M
Winkelbeschleunigung ~ Drehmoment
Beschleunigende Kraft auf Δmi:
Fi  mi  ai

 mi  ri  
Erforderliches Drehmoment:
R. Girwidz

Mi  Fi  ri  mi  ri  
2
30
–15
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung

 ~M
Winkelbeschleunigung ~ Drehmoment
Beschleunigende Kraft auf Δmi:
Fi  mi  ai

 mi  ri  

Erforderliches Drehmoment:
Mi  Fi  ri  mi  ri  
Für den ganzen Körper:
M   Mi
2



  mi  ri  
2
31
R. Girwidz
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
Für den ganzen Körper:



M   Mi
  mi  ri  
M
  r 2  dm  
2

allg.:
V
I

M  I 
R. Girwidz
32
–16
7.5 Drehimpuls
7.5 Drehimpuls
33
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls
Impuls eines Massenelements mi:
p i  mi  v i
R. Girwidz
34
–17
7.5 Drehimpuls
Impuls eines Massenelements mi:
p i  mi  v i
Definition: Drehimpuls
L   r i  pi
i
  mi  r i  v i
i
  mi  ri  
2
i
35
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls
Impuls eines Massenelements mi:
p i  mi  v i
Definition: Drehimpuls
L   r i  pi
i
  mi  r i  v i
i
  mi  ri  
2
i
L  I 
R. Girwidz
36
–18
7.5 Drehimpuls
Drehimpuls
L   r i  pi
i
L  I 
-
Einheit:
L  kg  m
-
Richtung:
L  r,v
R. Girwidz
2
s
 Nm  s  J  s;
(Einheit einer Wirkung)
37
7.5 Drehimpuls
Versuch
R. Girwidz
38
–19
7.5 Drehimpuls
Drehmoment und Drehimplusänderung

mit
M  I 

d
M  LL
dt
Andererseits:
Wenn kein Drehmoment wirkt, bleibt der Drehimpuls erhalten
Versuch
39
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls
Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Masse
m
Translationsenergie
Kraft
Ekin 
1
mv 2
2
F
F  ma
Impuls
p
F
dp
dt
p  m v
R. Girwidz
40
–20
7.5 Drehimpuls
Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Masse
m
Translationsenergie
Kraft
Winkelgeschwindigkeit
Ekin 
ω
1
mv 2
2
F
F  ma
Impuls
p
F
dp
dt
p  m v
41
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls
Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Trägheitsmoment
Translationsenergie
Kraft
Ekin 
ω
I
1
mv 2
2
F
F  ma
Impuls
p
F
dp
dt
p  m v
R. Girwidz
42
–21
7.5 Drehimpuls
Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Trägheitsmoment
Translationsenergie
Kraft
Ekin 
1
mv 2
2
ω
I
Rotationsenergie
Erot 
1 2
I
2
F
F  ma
Impuls
p
F
dp
dt
p  m v
43
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls
Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Trägheitsmoment
Translationsenergie
Kraft
Ekin 
1
mv 2
2
F  ma
Impuls
I
Rotationsenergie
Erot 
Drehmoment
F
ω
1 2
I
2
M  r F

M  I 
p
F
dp
dt
p  m v
R. Girwidz
44
–22
7.5 Drehimpuls
Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Trägheitsmoment
Translationsenergie
Kraft
Ekin 
1
mv 2
2
Erot 

M  I 
Drehimpuls
p
1 2
I
2
M  r F
F  ma
Impuls
I
Rotationsenergie
Drehmoment
F
ω
L
dp
F
dt
M
p  m v
L  I   r  p
dL
dt
45
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls
Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Trägheitsmoment
Translationsenergie
Kraft
Ekin 
1
mv 2
2
Erot 
F
dp
dt
R. Girwidz
L
M
p  m v
p2
Ekin 
2m
M  r F
M  I 
Drehimpuls
p
1 2
I
2

F  ma
Impuls
I
Rotationsenergie
Drehmoment
F
ω
dL
dt
L  I   r  p
L2
Erot 
2I
46
–23
7.5 Drehimpuls
für Zentralkräfte:
M  0 da F || r
 L  konst.
Drehscheml
R. Girwidz
47
7.5 Drehimpuls
Der Drehimpuls ist ein Vektor!
R. Girwidz
48
–24
7.5 Drehimpuls
R. Girwidz
49
7.5 Drehimpuls
R. Girwidz
50
–25
7.5 Drehimpuls
Definition des Drehimpulses ist nicht an Kreisbahn gebunden!
z. B. Ellipsenbahn
L r p
z. B. Hyperbelbahn
L r p
Zuwurf mit
Stoßparameter
R. Girwidz
51
7.5 Drehimpuls
R. Girwidz
52
–26
7.5 Drehimpuls
53
R. Girwidz
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
Einfache Beispiele zur Berechnung von Trägheitsmomenten:
a) Zweiatomiges Molekül
I A  m1  r1  m2  r2
2
R. Girwidz
2
54
–27
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
Einfache Beispiele zur Berechnung von Trägheitsmomenten:
a) Zweiatomiges Molekül
–
Trägheitsmoment bezüglich Molekülachse sehr klein
–
Molekülphysik beobachtet Rotationsspektren und bestimmt I
R. Girwidz
55
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
b) Homogene dünne Stange (Achse am Ende)
R. Girwidz
56
–28
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
b) Homogene dünne Stange (Achse am Ende)
l
m
I   r  dm    r  dV   r 2 A  dr 
V 0
K
K
2
2
l
l
l
m
m 2
m r 3 
2
r
A
dr
r
dr





A  l 0
l 0
l  3 0
1
m  l2
3
R. Girwidz
57
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
c) Hohlzylinder (Drehachse = Mittelachse)
R. Girwidz
58
–29
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
c) Hohlzylinder (Drehachse = Mittelachse)
Masse m; Radien R1, R2
Man zerlegt zur einfachen Berechnung den Hohlzylinder in dünne Röhren der Dicke dr (Radius r,
Höhe h) mit dem Volumenelement dV = 2πr dr h
Volumen V des Hohlzylinders: V = h π (R22-R12)
I
m 2
mR 2
r
dV


 hr 2r  dr
V R
VK
2
1
I





R
m
m
m 2h R2  R1
m R2  R1 R2  R1
r 4 

2h  r 3dr  2h   
;
2
2
2
2
V
V

4
4
2

h
R
R
R2  R1
R
 R
2
1
R2
2
1
I 


1
4
4

2
2

2
2


m 2
2
R2  R1 ;
2
59
R. Girwidz
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
c) Hohlzylinder (Drehachse = Mittelachse)
I

m 2
2
R2  R1
2

dünnwandig: R1  R2
=> I = m R2 ;
Vollzylinder: R1 = 0
=> I = 1/2 m R2 ;
Versuch
R. Girwidz
60
–30
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
d) Steinerscher Satz
- Wenn die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht
R. Girwidz
61
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
d) Steinerscher Satz
- Wenn die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht
R. Girwidz
62
–31
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
d) Steinerscher Satz
- Wenn die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht
1
1
2
Ekin  mv s  Is 2 ;
2
2
1
1
 ma 2 2  Is 2 ;
2
2
1
 (ma 2  Is )  2 ;
2
IB
63
R. Girwidz
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
d) Steinerscher Satz
- Wenn die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht
 IB  a 2  m  I A
R. Girwidz
64
–32
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
d) Steinerscher Satz
- Wenn die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht
I A   r 2  dm ;
V
IB   R 2  dm ;
V


2
  a  r dm ;
V
2
  a 2dm   r 2dm  2  a  r  dm
V
V
 
R  ar
2
V
0
 a  r  dm   a  x  dm
 a  x  dm
 IB  a 2  m  I A
 0 (Schwerpkt satz)
R. Girwidz
65
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
Steinerscher Satz:
Das Trägheitsmoment eines Körpers bei Rotation um eine
beliebige Achse B ist gleich dem Trägheitsmoment des Körpers
um eine zu B parallele Achse durch den Schwerpunkt plus das
Trägheitsmoment des Schwerpunkts.
R. Girwidz
66
–33
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
Rollender Zylinder auf schiefer Ebene
Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit hängen zusammen
ds  R  d ;
d
ds
R
;
dt
dt
vS  R   ;
67
R. Girwidz
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
Rollender Zylinder auf schiefer Ebene
Energiebetrachtung
E pot  mgh
(beim Start)
1
1
2
2
Ekin  mv h  ISh
2
2
(am Ziel)
Translations- Rotationsenergie
energie
 vh 
2
R. Girwidz
2gh
I
1 s
mR 2
68
–34
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
vh 
2
2gh
I
1 s
mR 2
homogener Vollzylinder:
1
IS  mR 2 
2
4
2
v sh  gh
3
dünnwandiger Hohlzylinder:
IS  mR 2

v sh  gh
2
69
R. Girwidz
7.7 Präzession
- Ein starrer Körper, der sich ohne Einschränkung um einen festen Punkt
drehen kann heißt Kreisel
- Wirkt auf einen rotierenden Kreisel ein Drehmoment so gilt:
M
dL
dt
Rad aufgehängt an
einer Schnur
R. Girwidz
70
–35
7.7 Präzession
Besonders „attraktiver“ Spezialfall:
– der Körper rotiert um die Figurenachse, d. h. (L || Fig.achse)
– und
M L
 Der Betrag von L bleibt konstant, aber die Richtung ändert sich
(und damit die Richtung der Figurenachse).
=> Der Körper beschreibt eine Präzessionsbewegung
R. Girwidz
71
7.7 Präzession
Berechnung der Präzessionsfrequenz ωp
R. Girwidz
72
–36
7.7 Präzession
Berechnung der Präzessionsfrequenz ωp
dL M  dt m  g  l  dt


L
L
L
d
mg l
 p 
dt
L
d 
Präzessionsfrequenz
73
R. Girwidz
7.7 Präzession
Berechnung der Präzessionsfrequenz ωp
dL M  dt m  g  l  dt


L
L
L
d
mg l
 p 
dt
L
d 
Präzessionsfrequenz
R. Girwidz
74
–37
7.7 Präzession
Versucht man, einen Kreisel durch ein Drehmoment zu kippen, so weicht die
Kreiselachse senkrecht zur angreifenden Kraft aus.
Beispiel Fahrradfahren:
Drehimpuls und Drehmoment
beim Lenken
75
R. Girwidz
7.7 Präzession
Präzession der Erde
TPr äz  26000 a;
Pr äz  M / L  2 / TPr äz ;
R. Girwidz
76
–38
7.7 Präzession
Zur Kernspinresonanz
Auch im mikroskopischen Bereich kann man Präzessionsbewegungen beobachten.
Atome, Atomkerne und Moleküle mit Eigendrehimpuls besitzen oft ein magnetisches
Moment. Bringt man sie in ein äußeres Magnetfeld, so entsteht ein Drehmoment und die
Drehimpulsachse präzediert mit eine charakteristischen Resonanzfrequenz um das
Magnetfeld.
Drehmoment M  µ  B
µ : magn. Moment
B : magn. Kraftflußdichte
Mit der Kernspinresonanz (nuclear magnetic resonance NMR) weist man Atome und
ihren speziellen chemischen Bindungszustand nach. In der Medizin sind Diagnosen
mit Hilfe von NMR-Computer-Tomographen möglich.
Film u. Dias von Haase
77
R. Girwidz
7.7 Präzession
Nutation
Versuch
R. Girwidz
78
–39
7.7 Präzession
Nutation
Nutation: Drehimpulsrichtung deckt sich nicht mit der Figurenachse
79
R. Girwidz
7.8 Hauptträgheitsachsen
Fotos, Versuche (Lassowerfer)
-
Um Hauptträgheitsachsen / freie Achsen drehen Körper ohne Unwucht, d. h.
die Lager werden nicht durch Kräfte belastet.
-
Hauptträgheitsachsen gehen durch den Schwerpunkt.
-
Jeder Körper hat 3 Hauptträgheitsachsen, die senkrecht aufeinander stehen.
-
Stabil drehen Körper nur um die Hauptträgheitsachsen mit dem größten und
dem kleinsten Trägheitsmoment.
R. Girwidz
80
–40
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7 Starre Körper 7.1 Beschreibung des starren Körpers 7.2 Kräfte am