Übung 3
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MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften HS2016 Dr. C. Luchsinger Übungsblatt 3 Abgabe: Mittwoch, 12.10.2016, vor der Vorlesung. MUST Aufgabe 1 a) Bitte überprüfen Sie mit den Vektoren 3 2 → − → − 5 a = 2 , b = 4 −1 −1 −c = 1 und → 1 die Regeln → − − − → − − −c + → • (→ a + b )·→ c =→ a ·→ b · −c → − − → − −c = → − −c + → • (→ a + b )×→ a ×→ b × −c → − → − − − • → a × b =− b ×→ a b) Stellen Sie die Gleichung der Geraden auf, die durch die Punkte A(1/2/3) und B(2/5/9) geht. c) Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch den Punkt A(1/5/9) geht 3 − und den Normalenvektor → n = 1 besitzt. 2 STANDARD Aufgabe 2 (4 Punkte) a) (2 Punkte) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Ebene E: x-4z+31=0 und der Geraden UV mit U(-5/-2/9) und V(-1/0/-1). b) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene E : 12x + 6y + 8z = 24 und F : x + y + z = 3. Aufgabe 3 (6 Punkte) −→ −→ Das Dreieck ABC sei gegeben durch die Vektoren AB = ~c und AC = ~b. a) (2 Punkte) Zeigen Sie vektoriell, dass die Mittellinie (Strecke MAC MBC ) im Dreieck parallel zur Grundlinie und halb so lang wie diese ist. 1 MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften HS2016 Dr. C. Luchsinger b) (4 Punkte) Beweisen Sie, dass für jedes Dreieck ABC mit dem Schwerpunkt S gilt: −→ −→ −→ SA + SB + SC = 0. Hinweis: Benutzen Sie die folgende Skizze und die angegebenen Punkte. Die Schwerlinien werden im Verhältnis 2:1 geteilt, siehe Serie 2 Aufgabe 5. C sb sa MAC MBC S A MAB B sc Aufgabe 4 (7 Punkte) a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Winkelhalbierenden der Geraden 2 8 2 12 g: ~r = 5 + u · 4 und h: ~r = 5 + v · 4 −9 1 −9 3 b) (5 Punkte) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der winkelhalbierenden Ebenen der Ebenen E und F. E: x + 4y + 8z + 50 = 0 und F: 3x + 4y + 12z + 82 = 0 Gehen Sie wie folgt vor: • (2 Punkte) Bestimmen Sie die Normalenvektoren der winkelhalbierenden Ebenen. • (1 Punkt) Bestimmen Sie einen gemeinsamen Punkt der Ebenen E und F. • (2 Punkte) Bestimmen Sie nun die winkelhalbierenden Ebenen. 2 HONOURS Aufgabe 5 (3 Punkte) (3 Punkte) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion y = f (x) = x5 mit Hilfe des Differentialquotienten f 0 (x0 ) = lim h→0 f (x0 + h) − f (x0 ) h 3
