Blatt 9

Stochastik II
Stochastische Prozesse
Wintersemester 2014/15
Prof. Dr. U. Rösler
C. Kleinschmidt
Blatt 9
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei X eine 3-dimensionale symmetrische Irrfahrt, d.h. Xn ist die n-te Partialsumme von unabhängigen identisch verteilten Zufallsgrößen Ym : Ω → Z3 ,
m ∈ N. Die Verteilung ist gegeben durch P(Y1 = ej ) = 61 = P(Y1 = −ej ),
j = 1, 2, 3 und ej bezeichne den j-ten Einheitsvektor in R3 . Zeigen Sie, dass
X transient ist.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Es sei X eine Zufallsvariable mit Werten in N0 und gX : [0, 1] → R die
erzeugende Funktion von X. Dann gilt
(a) gX ist nicht-negativ, monoton steigend und konvex auf [0, ∞),
(b) gX (t) = E(tX ),
(c)
dk
g (0)
dtk X
= k!P(X = k), k ∈ N0 ,
(d) gX (1−) = 1 und
d
dt gX (1−)
= E(X).
Folgern Sie, dass zwei N0 -wertige Zufallsvariablen mit identischer erzeugender Funktion bereits dieselbe Verteilung besitzen.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängige, N0 -wertige Zufallsvariablen mit zugehörigen erzeugenden Funktionen gX1 , . . . , gXn . Zeigen Sie, dass ihre Summe
Sn = X1 + . . . + Xn die erzeugende Funktion
gSn (t) = gX1 (t) · · · gXn (t)
besitzt.
Aufgabe 4 ((Casanova-Problem); 4 Punkte)
Eine Person hat n ∈
Lebensabschnittsgefährten und möchte jedem zum
Valentinstag einen Liebesbrief schreiben. Damit dies mit möglichst wenig
Arbeit verbunden ist, geht er/sie folgendermaßen vor:
N
• Er/Sie erstellt ein Muster des Briefes und kopiert diesen n-mal. Danach
fügt er/sie allen Exemplaren jeweils einen der n verschiedenen Namen
der Lebensabschnittsgefährten so hinzu, dass alle Namen verteilt sind.
• Er/sie beschriftet n Briefumschläge mit jeweils einer Adresse so, dass
alle Umschläge mit verschiedenen Adressen beschriftet sind.
• Er/sie steckt, ohne auf die Namen zu achten, in jeden Umschlag zufällig
einen Brief und schickt anschließend alle ab.
N
Für alle n ∈
bezeichne Xn die Anzahl der Briefe, die korrekt zugeordnet
wurden. Zeigen Sie:
(a) Für alle n ∈
N und j ∈ {0, ...., n} gilt
P (Xn = j) = (j + 1)P (Xn+1 = j + 1).
0
(b) Für die erzeugenden Funktionen gilt gX
= gXn für alle n ∈
n+1
N.
Aufgabe 5 ((Casanova-Problem, Fortsetzung); 4 Punkte)
Zeigen Sie in Fortsetzung der vorigen Aufgabe:
(a) Es gilt für alle n ∈
N, t ∈ [0, 1]
gXn (t) =
n
X
(t − 1)k
k=0
(b) Es gilt für n ∈
k!
.
N und j ∈ {0, ...., n}
1
P (Xn = j) =
j!
1
1
(−1)n−j
− + ... +
2! 3!
(n − j)!
.
(c) Wie groß ist insbesondere die Wahrscheinlichkeit, dass er/sie nach Verschicken der Briefe noch mindestens einen Lebensabschnittsgefährten
hat? Was passiert für n → ∞?
Abgabe bis Freitag, den 23.01.2015, 12.15 Uhr im Postfach „Kleinschmidt“ im
3. Stock.