4.4 Funktionen - Universität Leipzig

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4.4
Elementare Mengentheorie
Funktionen
[ Gamut 41-44, Partee 30-36, Chierchia 536-539 ]
Funktionen sind spezielle binäre Relationen bzw. spezielle Abbildungen und damit nichts
anderes als spezielle Mengen.
Funktionen werden gewöhnlich mit f , g , ... oder F , G , ... notiert.
D4.30 Eine binäre Relation (oder eine Abbildung) f ist eine Funktion von A nach B gdw
es für jedes x ∈ A genau ein y ∈ B gibt derart, dass x , y ∈ f , d.h. wenn f linkstotal
und rechtseindeutig ist.
Falls f ⊆ A2 , wird von einer Funktion in A gesprochen.
Beispiel:
Sei A = {Lisa,Bart,Maggie} und B = {Karlo,Pluto} , wobei jetzt gelte, dass Lisa
Karlo füttert und sowohl Bart als auch Maggie Pluto füttern. Die Relation des
Fütterns F ∗ ist dann eine Funktion von A nach B und lässt sich wie folgt
darstellen:
Lisa
Karlo
Bart
Maggie
Pluto
A
B
Der Vorbereich einer Funktion f von A nach B wird als Definitionsbereich (engl. ‚domain’)
DOM ( f ) , der Nachbereich als Wertebereich (engl. ‚range’) RNG ( f ) bezeichnet.
Es gilt: DOM ( f ) = A und RNG ( f )⊆ B .
Die Elemente des Definitionsbereichs DOM ( f ) nennt man Argumente von f , die Elemente
des Wertebereichs RNG ( f ) Funktionswerte von f .
Der spezifische Charakter von Funktionen gegenüber gewöhnlichen binären Relationen bzw.
gewöhnlichen Abbildungen wird durch eine eigene Notationsweise ausgedrückt.
Notation: y = f (x )
„y ist f von x “
(statt: x , y ∈ f )
Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig.
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4.4
Funktionen
Beispiel:
Sei A = {Lisa,Bart,Maggie} und B = {Homer,Marge} , wobei Homer der Vater
von Lisa, Bart und Maggie ist. Die Vater-von-Funktion v von A nach B lässt sich
wie folgt darstellen:
Lisa
Homer
Bart
Maggie
Marge
A
B
Spezifikation von Funktionen
(A) Aufzählung:
⎡a1 →b1 ⎤
⎢
⎥
⎢a →b ⎥
2⎥
⎢ 2
f =⎢
⎥
⎢a 3 →b3 ⎥
⎢
⎥
⎢⎢ ... ⎥⎥
⎣
⎦
„ f ist eine Funktion derart, dass a1 auf b1 , a2 auf b2 etc. abgebildet wird.“
Alternative Notation:
f = { a1,b1 , a2 ,b2 , a 3 ,b3 ,...}
Beispiel:
die Vater-von-Funktion v
⎡ Bart → Homer⎤
⎢
⎥
⎢ Lisa → Homer⎥
⎢
⎥
v=⎢
⎥
⎢Maggie → Homer⎥
⎢
⎥
...
⎢⎢
⎥⎥
⎣
⎦
= { Bart,Homer , Lisa,Homer , Maggie,Homer ,...}
(B) Beschreibung:
f :A→B,
x
f (x )
(statt: f ⊆ A × B )
„ f ist eine Funktion von A nach B derart, dass x auf f von x abgebildet wird.“
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Elementare Mengentheorie
Alternative Notation:
f = { x ,y |x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ y = f (x )}
Beispiel:
die Vater-von-Funktion v
v : {x | MENSCH (x )} → {x | MENSCH (x )} ,
x
v (x )
alternativ:
v = { x ,y | x ∈ {x |MENSCH (x )} ∧ y ∈ {x |MENSCH (x )} ∧ y = v(x )}
Differenzierung von Funktionen
D4.31 Eine Funktion f ist eine Funktion von A in B gdw RNG ( f )⊂ B , d.h. wenn der
Wertebereich von f eine echte Teilmenge von B ist.
Beispiel:
Sei A = {Lisa,Bart,Maggie} und B = {Homer,Marge} , wobei Marge die Mutter
von Lisa, Bart und Maggie ist. Die Mutter-von-Funktion ist eine Funktion von A
in B und lässt sich wie folgt darstellen:
Lisa
Bart
Maggie
A
Homer
Marge
B
D4.32 Eine Funktion f ist eine Funktion von A auf B gdw RNG ( f ) = B , d.h. wenn
f rechtstotal (oder surjektiv) ist.
Beispiel:
Die Sohn-von-Funktion s ist eine Funktion von A = {Homer,Ned,Marge,Kirk}
auf B = {Todd,Bart,Milhouse} und lässt sich wie folgt darstellen:
Homer
Ned
Kirk
Marge
A
Todd
Bart
Milhouse
B
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4.4
Funktionen
D4.33 Eine Funktion f ist ein-eindeutig (bijektiv oder eine Bijektion) gdw RNG ( f ) = B und
es für jedes y ∈ B höchstens ein x ∈ A gibt derart, dass y = f (x ) , d.h. wenn f
rechtstotal (surjektiv) und linkseindeutig (injektiv) ist.
Beispiel:
Sei A= {Homer,Ned} und B = {Marge,Maude} , wobei Homer mit Marge und
Ned mit Maude verheiratet ist. Dann ist die Ehefrau-von-Funktion e eine eineindeutige Funktion von A auf B und lässt sich wie folgt darstellen:
Homer
Marge
Ned
Maude
A
B
Wenn f : A → B eine ein-eindeutige Funktion ist, dann gibt es eine dazu inverse Funktion
(eine Umkehrfunktion) f −1 : B → A .
?
Ist die oben angegebene Funktion des Fütterns F ∗ rechtstotal, linkseindeutig und
damit ein-eindeutig?.
Komposition von Funktionen
Zwei Funktionen (und allgemeiner zwei Relationen) lassen sich miteinander verknüpfen.
Gegeben seien die Funktionen f : A → B und g : B → C . Das Ergebnis einer Komposition
von f mit g ist dann die Funktion g f : A → C , wobei gilt:
D4.34 [g f ](x ) =def g( f (x ))
„ g nach f von x “
(einfacher: g
f (x ) )
Dabei wird zunächst f auf jedes x in DOM ( f ) , danach g auf jedes f (x ) in DOM (g )
angewandt.
Im Allgemeinen gilt: g
Beispiel:
f ≠f
g.
Sei A = {a,b,c},B = {1,2,3} und C ={A,B,C} .
Seien außerdem folgende Funktionen f : A → B und g : B →C gegeben:
⎡1 → B ⎤
⎡a → 3⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
f = ⎢b →1⎥ , g = ⎢2 → C ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢3 → A⎥
⎢c → 2 ⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎣⎢
⎦⎥
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Elementare Mengentheorie
⎡a → A⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
Dann ist die Komposition beider: g f =⎢b → B⎥ .
⎢
⎥
⎢c → C ⎥
⎢⎣
⎥⎦
a
b
c
3
C
A
B
C
a
b
c
A
Beispiel:
A
1
2
B
A
B
C
B
Seien die Vater-von-Funktion v und die Mutter-von-Funktion m wie folgt
gegeben:
⎡Abe → Jackie ⎤
⎢
⎥
⎡Homer → Abe ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢Homer → Mona ⎥
⎢Bart → Homer ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
v=⎢
⎥ , m = ⎢⎢Bart → Marge ⎥⎥
⎢Lisa → Homer ⎥
⎢Lisa → Marge ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢Maggie → Homer⎥
⎢
⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎢⎢Maggie → Marge⎥⎥
⎣
⎦
Die Großmutter-väterlicherseits-von-Funktion (d.h. die Vater-Mutter-vonFunktion) vm ergibt sich dann durch Komposition von v mit m wie folgt:
⎡Homer → Jackie⎤
⎢
⎥
⎢Bart → Mona ⎥
⎢
⎥
vm = m v = ⎢
⎥
⎢Lisa → Mona ⎥
⎢
⎥
⎢Maggie → Mona⎥
⎣⎢
⎦⎥
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Funktionen
Charakteristische Funktionen
Mengen können mit Hilfe von Funktionen charakterisiert werden.
Eine Menge zu kennen, bedeutet, in der Lage zu sein, ihre Elemente zu identifizieren, d.h für
beliebige Objekte angeben zu können, ob sie zur Menge gehören oder nicht. Die
Voraussetzung dafür kann durch eine Funktion geliefert werden, die den Elementen dieser
Menge den Wert 1 (wahr) und allen anderen Objekten den Wert 0 (falsch) zuordnet.
Sei G eine Grundmenge und A eine Menge mit A ⊆ G . Die charakteristische Funktion von
A (notiert als χA ) ist dann wie folgt definiert:
D4.35 χA : G → {0,1} ,
⎧
⎪1, falls x ∈ A
x ⎪
⎨
⎪
0, falls x ∉ A
⎪
⎩
Beispiel:
Sei G = {Bierwisch,Euler,Gagarin,Montague,Roddenberry,Ross,Torvalds} und
A = {Bierwisch,Montague,Ross} die Menge der Linguisten in G . Dann ist die
charakteristische Funktion von A :
⎡ Bierwisch → 1⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
Euler → 0⎥
⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
Gagarin
0
→
⎢
⎥
⎢
χA = ⎢ Montague → 1⎥⎥
⎢
⎥
⎢Roddenberry → 0⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
→
Ross
1
⎢
⎥
⎢
⎥
Torvalds → 0⎥⎥
⎢⎢
⎣
⎦
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Elementare Mengentheorie
Übungen
Ü4.14 Es seien A = {a,b,c,d } und B = {1,2,3,4} . Sind folgende Relationen auf A×B auch
Funktionen? Wenn ja, sind sie ein-eindeutige Funktionen?
(4 P.)
{ a,1 , b,2 , d,3 }
(ii) { a,2 , b,3 , c,1 , d,4 }
(iii) { a,2 , b,2 , c,2 , d,2 }
(iv) { a,3 , b,2 , c,1 , d,1 , b,4 }
(i)
Ü4.15 Gib die charakteristische Funktion der Menge {i,o,u} an. Der Grundbereich sei
{a,e,i,u,o} .
(1 P.)
Ü4.16 Es seien C = {1,2,a } und D = {d,F ,47} . Es seien außerdem f :C → D und g : D →C
folgende Funktionen:
⎡1→ F ⎤
⎡ d →a ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
f = ⎢2 → d ⎥ , g = ⎢ F → 1 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢a → 47⎥
⎢47 → 2⎥
⎣⎢
⎦⎥
⎣⎢
⎦⎥
Gib f g und g f an.
(2 P.)
Zusatz:
Überprüfe, ob (g f )−1 = f −1 g −1 .
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