Vorbereitungsaufgaben für die ¨Ubungen
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Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen Vektoren und Analytische Geometrie des Raumes 2 −2 −1 1. Berechnen Sie für die Vektoren ~a = −1 , ~b = 2 , ~c = −1 . 1 0 1 a) ~a + ~b , ~a − ~b , 3~a − 5~b , |~a| , |~b| , |~b − 2~a| , ~a0 (Einheitsvektor in Richtung ~a) ; b) alle Winkel zwischen je zwei der Vektoren ~a , ~b , ~c ; c) die (orthogonale) Projektion von ~a auf (die Richtung von) ~b ; d) die Winkel zwischen ~b und den Koordinatenachsen; 0 e) den Einheitsvektor in Richtung der Winkelhalbierenden von ~b und d~ = 1 ; 1 f) ~a × ~b , ~a × ~c , ~c × ~a , (~a × ~b) · ~c , (~a × ~c) · ~b , (~c × ~a) · ~b , (~a × ~b) × ~c , ~a × (~b × ~c) ; 3 g) den reellen Parameter α so, daß ~a , ~b und ~g = α in einer Ebene liegen. −2 2. ~a und ~b seien Einheitsvektoren des Raumes, die einen Winkel von 600 einschließen. Zeigen Sie, daß ~x = 2~a − 3~b und ~y = 4~a + ~b aufeinander senkrecht stehen und bestimmen Sie die Winkel ](−~x, ~y − ~x) und ](−~y , ~x − ~y ) . 3. Ermitteln Sie Einheitsvektoren, die senkrecht auf ~b = e~1 + e~2 − e~3 einen Winkel von 300 einschließen. ~a = 3e~1 − e~2 + e~3 stehen und mit 4. Gesucht ist eine Parameterdarstellung der Geraden durch den Punkt P0 (3; 5; 2) und a) den Punkt P1 (−1; 3; 0), d) senkrecht zur y, z-Ebene, b) parallel zur z-Achse, e) parallel zur x, y-Ebene. c) durch den Ursprung, 5. Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare g1 , g2 zueinander? Berechnen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt, und Schnittwinkel. −1 −1 0 8 a) g1 : ~x = 5 + t 2 g2 : ~x = 3 + s 1 0 −1 1 4 −1 −1 2 4 b) g1 : ~x = 5 + t 2 g2 : ~x = −1 + s −8 0 −1 3 4 3 1 4 −4 c) g1 : ~x = −3 + t −2 g2 : ~x = 27 + s 8 4 1 3 −4 0 8 −4 0 d) g1 : ~x = 3 + t 1 g2 : ~x = 0 + s 2 1 4 3 −1 6. Für welche reellen λ, µ liegen die Punkte P0 (2; 3; 0), P1 (4; 1; 3) und P2 (0; λ; µ) auf einer Geraden? 7. Geben Sie eine Parameterdarstellung und eine parameterfreie Darstellung der Ebene E an. a) E enthält die Punkte P0 (1; 0; 1), P1 (1; 4; 0), P2 (−2; 1; −1), −1 3 b) E enthält P0 (2; −2; 1) und ist senkrecht zu der Geraden g : ~x = 4 + t −5 , 1 4 c) E enthält A(1; 2; 3), B(2; 3; 1) und ist senkrecht zu der Ebene E : z = 1 + x − 4y, d) E enthält P0 (4; −6; −2) und ist parallel zu der Ebene E : 3x − y + 2z = 1 . 0 1 1 8. Für die Ebene E : ~x = 1 + s 4 + t −2 berechne man den Normaleneinheitsvektor, 4 2 −2 gebe die Hessesche Normalform an und berechne den Abstand des Punktes Q(−2; −2; 3) . Wie lautet die Achsenabschnittsform der Ebene E ? 9. Die Ebene E sei bestimmt durch die Punkte A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) und C(1; 0; 1) . a) Berechnen Sie den Fußpunkt L des vom Punkt P (2; −1; 4) auf E gefällten Lotes und bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E . 2 3 b) In welchem Punkt und unter welchem Winkel durchstößt g : ~x = −2 + t −5 −1 8 die Eben E ? 10. Für welche Werte der reellen Parameter a, b sind die Ebenen E1 : 6x − 3z + 1 = 0 und E2 : ax + by + z − 3 = 0 parallel, für welche orthogonal? Berechnen Sie für a = b = 1 die Gleichung der Schnittgeraden und den Schnittwinkel von E1 und E2 und geben Sie Parameterdarstellungen für beide Ebenen an. 11. Bestimmen Sie die reellen Zahlen a, b so, daß sich die drei Ebenen E1 : x − y − z + 2 = 0 , E2 : 3x + y − z − b = 0 , E3 : ax + 8y + 2z − 7 = 0 in einer Geraden schneiden und geben Sie dafür eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden an. 12. Gegeben sind Punkte P1 (2; −1; 1), P2 (−1; 3; 1), Q(1; 0; 1) und die Ebene E : 4x + 3y − z = 6. Bestimmen Sie die Länge des Schattens der Strecke P1 P2 , den eine in Q angebrachte punktförmige Lichtquelle auf die Ebene E wirft. 13. Gegeben sind die Geraden 2 1 1 0 1 +s 3 g1 : ~x = , s ∈ R , und g2 : ~x = 2 + t 1 , t ∈ R . −1 2 1 1 a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E, die den Schnittpunkt der beiden Geraden enthält und zu g1 orthogonal ist. Geben Sie Richtungsvektoren an, die die Ebene E aufspannen. Wie muss man im Punkt P (2, γ, −2) die Koordinate γ wählen, damit der Abstand zwischen P und E den Wert 1 hat? b) Bestimmen Sie den Fußpunkt des Lotes von A(2, −3, −9) auf die Gerade g1 . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B(xB , yB , zB ) , der spiegelsymmetrisch zu A auf der anderen Seite von g1 liegt.
