9. Jahrgangsstufe - Gymnasium Neutraubling

Grundwissen Mathematik
Gymnasium Neutraubling:
Wissen und Können
9. Jahrgangsstufe
Aufgaben, Beispiele und Erläuterungen
Reelle Zahlen
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die nicht als Bruch (rationale Zahl) darstellbar sind. Eine irrationale Zahl hat eine
unendliche nicht periodische Dezimalbruchentwicklung.
Die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen ergeben
zusammen die reellen Zahlen.
Es ergeben sich damit folgende Zahlenmengen:
: Menge der natürlichen Zahlen
: Menge der ganzen Zahlen
: Menge der rationalen Zahlen
: Menge der reellen Zahlen
a heißt Quadratwurzel aus a, a ist der Radikand.
Bsp.: Die Diagonale eines Quadrates mit der
Seitenlänge 1 hat die Länge
Die Kreiszahl  ( 3,141592654...) ist eine irrationale Zahl.
81  9 ; 0  0 ;
90  3 10  9, 48683...  9,5 ;
Bsp.:
a ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert a
ergibt.
 49  7 ; Aber: √
Rechenregeln (vgl. Potenzgesetze):
ab  a  b ;
√
√
√
n  a  n  a (teilw. Radizieren)
2
√
√
√
(
 x  y
2
√
√
 x  y
 xy ;
96r 7  16r 4  6r 3  16r 4  6r 3
z3
13xz7
z6
z6
13xz : 832xz 



832xz
64
8
64
7
2
 xy
(Bin. Formeln)
Aufgaben:
(Rationalmachen des Nenners)
12x 3  3x  ;
Bsp.:
√
(p
(
;q
)
)
88x 3 y : 11x 5 y2  ;
a  b
z10  ;
1
n-te Wurzeln:
√
5u  180u  5u 180u  900u 2  30 u
 4r 2  6r 3  4 6 r 2 r 3
√
√ √
ist nicht definiert!
144x 4  144  x 4  12  x 2  12x 2 ;
Bsp.:
)
a , falls a  0
a2  a  
 a , falls a  0
2.
4
;
(L1)
1
x  x2 ; xn  n x ;
2
1
1


1
1
3
3
3
5  5 ; 5 3 ; 5 3
3 2
5
5
3
3
8  3 23  2 3  21  2
Aufgaben:
Schreibe als Potenz:
6
x3  ;
2
5
Schreibe als Wurzel: z  ; z
Potenzgesetze (Wdhg. 7.Klasse):
a r  a s  a r s
und a r : a s  a r s
a r  br   a  b 
r
a 
r s
 a rs
und a r : br   a : b 
3

2
5
x6  ;
; z
3

1
2
x 6 

(L2)
Aufgaben:
9

5
5
5
5
7 2  494  ; 2 3  2 3  ; 2 3  7 3  ;
r
( )
(L3)
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9. Jahrgangsstufe
Das rechtwinklige Dreieck
Satzgruppe des Pythagoras:
Aufgaben:
Berechne die Seitenlängen und den Flächeninhalt des
Dreiecks ABC. Gegeben: rechter Winkel bei B; Hypotenusenabschnitt mit Endpunkt A: p = 6,4 dm; Höhe auf
die Hypotenuse b: hb = 4,0 dm.
Berechne die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit
der Seitenlänge a.
Zeichne die Punkte P(-5|-2) und Q(2|3) in ein Koordinatensystem und bestimme ihren Abstand rechnerisch.
Im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c, dem an
a anliegenden Hypotenusenabschnitten p und dem an b
anliegenden Hypotenusenabschnitt q gilt:
a2  c  p
b  cq
2
2
a b c
2
(L4)

 (Kathetensätze)

hc  p  q
2
Zeige schrittweise, wie man die Raumdiagonale eines
Quaders mit l, b, h berechnen kann.
(Höhensatz)
2
(Satz des Pythagoras)
Kehrsatz zum Satz des Pythagoras:
Gilt in einem Dreieck a  b  c , so besitzt das Dreieck
einen rechten Winkel am Punkt C.
2
2
2
Aufgabe: Ist ein Dreieck mit den Seitenlängen
a = 13 cm, b = 5 cm und c = 12 cm rechtwinklig?
Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen
2
Eine Funktion der Form y  ax  bx  c  a  0  heißt
y  0,5x 2  x  1,5 mit Scheitel S 1 2 
quadratische Funktion (in Normalenform). Ihr Graph ist
eine Parabel. Der Graph der Funktion y  x heißt Normalparabel.
Weitere Schreibweisen für quadratische Funktionen:
Scheitelform:
2

y  a  x  d   e , mit Scheitel S  d e 
2

Ausgehend von der Normalparabel gibt d die Verschiebung des Scheitels in x-Richtung, e die Verschiebung des
Scheitels in y-Richtung an.
Nullstellenform (falls Nullstellen vorhanden sind):
y  a  x  x1    x  x 2  ,
 x1 und x 2 : Nullstellen 
Der Formfaktor a hat folgenden Einfluss auf die Öffnung
der Parabel:
a  0 : Die Parabel ist nach oben geöffnet.
a  0 : Die Parabel ist nach unten geöffnet.
a  1: Die Parabel ist enger als die Normalparabel.
a  1: Die Parabel ist weiter als die Normalparabel.
Scheitelform:
y  0,5   x  1  2
Nullstellenform:
y  0,5   x  1   x  3
2
Normalenform: y  0,5x  x  1,5
2
(L5)
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Gymnasium Neutraubling:
Aufgaben:
Bestimme die Scheitelform und die Nullstellenform:
Quadratische Ergänzung:
(
(
9. Jahrgangsstufe
)
Ausklammern
quadrat. Ergänzung
)
:2; hoch 2
[(
(
]
)
)
Ausmultiplizieren
(L6)
Eine Gleichung, bei der die Lösungsvariable quadratisch
auftritt, heißt quadratische Gleichung.
Quadratische Gleichungen der Form
ax  bx  c  0  a  0  werden mit der Lösungsfor2
mel für quadratische Gleichungen gelöst:
x1/ 2 

1
 b  b2  4ac
2a

Aufgaben:
Löse die Gleichungen:
5x 2  25x  30  0
3x 2  4x  5  0
0,5x 2  x  0,5
2s2  2  4s
D  b2  4ac heißt Diskriminante.
Dabei hat die quadratische Gleichung
 2 Lösungen, wenn D  0
 1 Lösung, wenn D  0
 keine Lösung, wenn D  0
(L7)
Sonderfälle:
Quadratische Gleichungen der Form ax  c  0
2
 a  0
werden leichter durch Auflösen und Wurzelziehen gelöst.
Quadratische Gleichungen der Form
ax 2  bx  0  a  0  werden leichter durch Ausklam-
mern von ax gelöst.
Aufgaben:
Löse die Gleichungen:
20x 2  4x  0
1 2
x 5  0
5
(L8)
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9. Jahrgangsstufe
Mehrstufige Zufallsexperimente
Zufallsexperimente, die aus mehreren Teilexperimenten
bestehen, heißen mehrstufige Zufallsexperimente.
1. Pfadregel:
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, indem man die
Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im
Baumdiagramm multipliziert.
Bsp.: In einer Urne liegen 3 rote, 2 weiße und 5 gelbe
Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander gezogen:
a) ohne Zurücklegen, b) mit Zurücklegen
a) ohne Zurücklegen
r
2
9
r
2. Pfadregel:
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die
Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Pfade bildet, die zu dem Ereignis gehören.
2
9
5
9
3
10
w
g
r
3
9
2
10
w
1
9
5
9
5
10
w
g
r
3
9
2
9
w
g
4
9
g
Ereignisse:
A: Eine rote und dann eine gelbe Kugel wird gezogen.
B: Zwei gleichfarbige Kugeln werden gezogen.
3 5 1
 
10 9 6
3 2 2 1 5 4 37
P  B       
10 9 10 9 10 9 90
P A 
(L9)
b) mit Zurücklegen (siehe Lösungen)
Gegenereignis:
A : „Nicht A“ ist das Gegenereignis von A.
Es gilt:
 
P A  1 P A
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim dreimaligen
Werfen eines Würfels mindestens einmal eine 6 zu erhalten?
A : mindestens einmal 6
A : keine 6
 
3
5 5 5
5
P A  1 P A  1      1   
6 6 6
6
125 91
 1

216 216
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9. Jahrgangsstufe
Trigonometrie
Die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck haben
besondere Namen:
Gegenkathete des Winkels 
sin   
Hypotenuse
Ankathete des Winkels 
cos   
Hypotenuse
Gegenkathete des Winkels 
tan   
Ankathete des Winkels 
Beispiel: Steigung 8 % auf dem Straßenschild:
Berghöhe
 0, 08
Bergbreite
Berghöhe  0, 08  Bergbreite
tan     0, 08 
Bergbreite : 750m  Höhe : 60m ;
Steigungswinkel :   4,59
Aufgaben:
Bemerkung: Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.
In einem bei C rechtwinkligen Dreieck ABC gilt a = 4,2
cm und α=30°: Berechne b und c.
Trigonometrische Formeln:
Eine Person der Größe 1,75 m steht im Abstand 150 m
vor einem Turm und sieht diesen unter einem Erhebungswinkel (Winkel gegen die Horizontale) von 42°.
Berechne die Turmhöhe. (Rechne mit Augenhöhe
1,60m.)
(
)
(
)
(
)
(
Berechne die Bogenlänge und den Flächeninhalt eines
Kreissektors zum Mittelpunktswinkel 80° und der Kreissehne der Länge 6 cm.
(L10)
)
Raumgeometrie
Gerades Prisma:
Allgemeine Bezeichnungen:
O = 2G + M
G:
M:
O:
V:
h:
r:
m:
V=Gh
Gerader Kreiszylinder:
Grundflächeninhalt
Mantelflächeninhalt
Oberflächeninhalt
Volumen
Höhe des Körpers
Grundkreisradius
Mantellinie
O = 2r (r + h)
Aufgaben:
V = r h
2
Eine 6cm hohe Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge 4cm. Berechne Oberfläche und
Volumen der Pyramide.
Pyramide:
Ein Kegel, dessen Höhe gleich dem Radius seines
Grundkreises ist, hat das Volumen 50cm³. Berechne
seinen Radius und seine Oberfläche.
O=G+M
V=
1
3
(L11)
Gh
Gerader Kreiskegel:
O = G + M = r  + rm 
r² + h²= m²
2
V =
1
3
r h
2
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9. Jahrgangsstufe
Lösungen:
L1:
12x 3  3x  36x 4  6x 2 ;
a  b
z10  z5 ;
4
88x 3 y
8
2


5 2
2
11x y
x y x
88x 3 y : 11x 5 y 2 
 a  b  a  b
2
2 2 2y

y
xy
2
L2:
6
x 
3
2
5
z
3
6
x

1
x2;
 z ; z
5
2

2
5
3
x 
6
 z
5
2
6
x3
x ;
3
2
x
6

6
x3
x

6
3
 x 2
1


1 
1 
1 
  5 2  ; z 2  z  

z

z 

L3:
9
9
13
7 2  49  7 2  72  74,52  76,5  7 2  713 ; 2
 2
 43
 23


2

1

5
3
5
 23  2
5 5
 
3 3
5
5
1
1
1
5
 4 5
4 5
5 5
51
3



3

 

2 
3
3
3
3
3
3
3 5  2 3 
  2   23   2   2   2   2   2  2





 

 
1
3
 23  2
1
 3
3
2

10
3
L4:
Dreieck
c
 6, 4dm    4, 0dm 
2
2
 56,96dm  7,5dm;
2
b  6, 4dm  2,5dm  8,9dm; a 
8,9dm 
2
gleichseitiges Dreieck
2
a
a
ha  a     a 2 

4
2
2
2
3 2 1
a  a 3
4
2
 4, 0dm 
q
6, 4dm
2
 2,5dm;
 56,96dm 2  22, 25dm 2  4, 7dm
1
1
A ABC   b  h b   8,9dm  4, 0dm  17,8dm 2
2
2
5
5
 20  1; 2 3  7 3   2  7  3  14 3  3 145
Gymnasium Neutraubling:
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9. Jahrgangsstufe
Abstand von P und Q
d
 x p  x q    y p  yq 
2
2
 49  25  74  8,6  LE 
Raumdiagonale
√
L5:
Ein Dreieck mit den Seitenlängen 13cm, 5cm und 12cm besitzt
wegen 12cm    5cm   13cm  bei A einen rechten Winkel
2
2
2
L6:
Normalenform
Scheitelform
(
Nullstellenform
(
)
(
(
(
)(
(
)
)
)
)
)
--(
)(
)
(
)(
)
L7:
5x 2  25x  30  0  x1  2 x 2  3
3x 2  4x  5  0  keine Lösung
0,5x 2  x  0,5  x1/ 2  1
2s2  2  4s  s2  2s  1  0  x1/ 2 
2  8
2  2 2
 x1/ 2 
 x1  1  2
2
2
L8:
20x 2  4x  0; 4x  5x 1  0  x1  0 x 2  0, 2
1 2
x  5  0; x 2  25  x1/ 2  5
5
x 2  1  2
Grundwissen Mathematik
Gymnasium Neutraubling:
L9:
3
10
r
2
10
3 5
3
 
10 10 20
3 3 2 2 5 5 19
P  B       
10 10 10 10 10 10 50
P A 
w
5
10
3
10
g
3
10
2
10
r
w
2
10
r
w
5
10
g
5
10
3
10
2
10
r
w
g
5
10
g
L10:
Dreieck
a
c
b
cos 
c
sin  
 c=
a = 4,2cm = 8,4 cm
sin30
sinα
 b = c  cos = 7,3 cm
Turmaufgabe
h
 h  tan 42150m  135, 06m
150m
135, 06m  1, 60m  136, 66m  137m
tan 42 
9. Jahrgangsstufe
Grundwissen Mathematik
Gymnasium Neutraubling:
Kreissektoraufgabe
Kreisbogen:
 AB
3cm
sin 
 r
 4, 7cm
2
r
sin 40
b

80

 b
 2r  6,5cm
u Kreis 360
360
Sektorfläche:
ASektor

80 2

 ASektor 
 r   15, 21cm2
A Kreis 360
360
L11:
Pyramide
√(
Höhe der Seitenfläche:
Oberfläche:
Volumen:
)
(
)
√
√
(
)
Kegel
√
9. Jahrgangsstufe