10. Übung zur Theoretischen Physik in zwei Semestern I

Prof. Dr. J. Krug
Dr. G. Wergen
Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln - SS 2013
10. Übung zur Theoretischen Physik in zwei Semestern I
Abgabe: Dienstag 25. Juni bis 12 Uhr im Kasten vor dem Institut für Theoretische Physik
Diskussion: Freitag 28. Juni in den Übungen
Termine: Klausur am 1.8., 14:15 Uhr in HS I, Nachklausur am 4.10., 13:30 Uhr in HS I
Internetseite: http://www.thp.uni-koeln.de/∼gw/
46. Bildladungsmethode
(i.)
( 2+4+6(+10) = 12(+10) Punkte )
y
(ii.)
q
x
d
y
d
q
d
x
Wir betrachten eine Punktladung mit Ladung q am Punkt (d, 0, 0) T vor einer unendlich ausgedehnten Leiterfläche in der y-z-Ebene (Siehe Skizze i.). Die Influenz erzeugt in der Metallplatte
eine Ladungsverteilung. Wir wollen diese Anordnung mit Hilfe der Bildladungsmethode untersuchen. Eine Bildladung ist eine Hilfskonstruktion, die es ermöglicht das elektrische Feld und
das Potential bei bestimmten Randwertproblemen zu ermitteln. Der Trick besteht darin, sich
eine weitere Ladung mit entgegengesetzter Ladung −q auf der anderen Seite der Leiterplatte
vorzustellen. Diese gedachte Bildladung befindet sich im Punkt (−d, 0, 0)T genau gegenüber der
tatsächlichen Ladung. Das elektrische Feld der Anordnung aus Metallplatte und realer Ladung
ist (im Halbraum x > 0) das gleiche, das durch Bildladung und reale Ladung erzeugt wird.
a) Geben Sie die Ladungsverteilung an die sich aus den beiden Punktladungen ergibt.
b) Wie lautet das elektrische Feld und das Potential dieser Ladungsverteilung? Geben Sie
damit das Feld und das Potential der realen Ladung in Anwesenheit der Leiterplatte an.
Zeigen Sie, dass das elektrische Feld überall senkrecht auf der Platte steht.
c) Berechnen Sie die induzierte Oberflächenladungsdichte σ (~r) auf der Leiterplatte. Skizzieren
Sie die Verteilung von σ (~r). Integrieren Sie nun σ (~r) über die gesamte Platte und zeigen
Sie, dass die gesamte induzierte Ladung −q beträgt. (Hinweis: Integrieren Sie mit Hilfe
von Polarkoordinaten in der Leiterplattenebene, das Integral dürfen Sie nachschlagen)
d) Bonus: Betrachten Sie nun die Punktladung am Ort (d, d, 0)T in der Ecke zwischen zwei
Leiterplatten, die die (y, z)- und (x, z)-Ebenen einnehmen (siehe Skizze ii.). Hier reicht eine
Hilfspunktladung nicht mehr aus um das elektrische Feld mit den vorgegebenen Randbedingungen zu bestimmen. Geben Sie eine Verteilung von Bildpunktladungen an, die das
Randwertproblem löst und bestimmen Sie damit wieder elektrisches Feld und Potential der
realen Ladung in Anwesenheit der Leiterplatten.
1
47. Zylinderkondensator
( 4+4+4+6 = 18 Punkte )
r1
r2
a) Wir betrachten zunächt einen Hohlzylinder der Länge L mit Durchmesser r1 ≪ L. Auf
dem Zylinder befinde sich eine Ladung Q. Berechnen Sie mit Hilfe des Satz von Gauß das
elektrische Feld innerhalb und außerhalb dieses Hohlzylinders. (Hinweis: Natürlich empfiehlt es sich nun auch für den Satz von Gauß ein zylinderförmiges Volumen zu betrachten.
Sie können annehmen, dass das elektrische Feld überall senkrecht zur Zylinderachse steht
und die Effekte an den Enden des Zylinders vernachlässigen.)
b) Nun betrachten wir eine Anordnung aus zwei Zylindern mit den Radien r1 und r2 , wobei
r2 > r1 gilt (siehe Skizze). Der innere Zylinder trage die Ladung Q und der äußere die Ladung −Q. Geben Sie die elektrische Feldstärke innerhalb des kleineren Zylinders, zwischen
den Zylindern und außerhalb der Zylinder an.
c) Die Kapazität dieses Zylinderkondensators ist durch C = Q/U definiert. Hierbei ist U die
Potentialdifferenz zwischen den beiden Elektroden (Zylindern). Berechnen Sie C.
d) Verifizieren Sie, dass die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie W = 21 CU 2 genau
der Energie des elektrischen Feldes (siehe Vorlesung) entspricht.
48. Unendliche lange Spule
( 10 Punkte )
Wir betrachten eine unendlich lange Spule mit N Windungen pro Länge l auf einem Kreiszylinder. Verwenden Sie die Zylinderkoordinaten r, ϕ, z. Die z-Achse ist dann die Symmetrieachse des
Zylinders. Die Spule sei dicht so gewickelt, dass die einzelnen Drahtwindungen näherungsweise
Kreise mit r = R und z = const. sind. Durch die Spule fließt ein Strom I. Nutzen Sie die Sym~ (~r) = B (r) ~ez zu rechtfertigen. Verwenden Sie dann das
metrie des Problems um den Ansatz B
Ampèresche Gesetz entlang der Wege S1 und S2 um B (r) zu bestimmen. (Hinweis: Sie können
annehmen, dass das Magnetfeld unendlich weit weg von der Spule verschwindet.)
~ez
S1
S2
R
L
2