LP Ma Gym 5 und 6

Lehrplan
Mathematik
Gymnasium
Klassenstufe 5 und 6
Schuljahr 2013/2014
Erprobungsphase
MBK G.B. 1.0.20-1 05/2013
Inhalt
Vorwort
Jahrgangsübergreifender Teil
Der Beitrag des Faches Mathematik zur gymnasialen Bildung
Zentrale Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichtes bis zum Abitur
Kompetenzen im Mathematikunterricht
Jahrgangsbezogener Teil
Zum Umgang mit dem Lehrplan
Didaktisches Vorwort zum Lehrplan der Klassenstufe 5
Lernbereiche für die Klassenstufe 5
Zum Umgang mit dem Lehrplan
Didaktisches Vorwort zum Lehrplan der Klassenstufe 6
Lernbereiche für die Klassenstufe 6
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Vorwort
Kompetenzorientierte Lehrpläne für das Gymnasium
Das saarländische Gymnasium als eine der beiden Säulen des allgemeinbildenden Sekundarbereichs bietet den Schülerinnen und Schülern in einem achtjährigen Bildungsgang eine
ihren Neigungen und Fähigkeiten entsprechende Erziehung und Bildung. Neben der Vermittlung fachlicher Kenntnisse sowie sozialer, methodischer, sprachlicher, interkultureller
und ästhetischer Kompetenzen liegt sein Auftrag in der Entwicklung und Stärkung der Persönlichkeit und einer Weltorientierung, die sich aus der Begegnung mit zentralen Gegenständen unserer Kultur ergibt. Mit dem Abschluss des gymnasialen Bildungsgangs sollen
die Schülerinnen und Schüler in der Lage sein, ihr privates und berufliches Leben sinnbestimmt zu gestalten und als mündige Bürgerinnen und Bürger verantwortungsvoll am gesellschaftlichen Leben sowie an demokratischen Willensbildungs- und Entscheidungsprozessen
mitzuwirken.
Der Bildungsgang am Gymnasium umfasst die Jahrgangsstufen 5 bis 12. Er ist wissenschaftspropädeutisch angelegt und führt zur Allgemeinen Hochschulreife. Aufbauend auf
den in der Grundschule erworbenen Fähigkeiten und Fertigkeiten vermittelt er Schülerinnen
und Schülern, die erhöhten Anforderungen gerecht werden, unabhängig von sozialen und
kulturellen Voraussetzungen eine vertiefte allgemeine Bildung. Die gymnasiale Bildung bereitet auf ein Hochschulstudium vor, befähigt aber ebenso zum Eintritt in berufsbezogene
Bildungsgänge.
Der Unterricht berücksichtigt individuelle Lern- und Entwicklungsvoraussetzungen der Schülerinnen und Schüler. Durch das Angebot verschiedener Profile sowie Wahl- und Zusatzangebote bietet das Gymnasium die Möglichkeit, eigene Schwerpunkte zu setzen. Dabei
kommt der Förderung leistungsschwächerer ebenso wie besonders leistungsstarker Schülerinnen und Schüler hohe Bedeutung zu. Der Unterricht soll so angelegt sein, dass die Kinder und Jugendlichen die Freude am Lernen und zunehmend auch die Anstrengungsbereitschaft, die Konzentrationsfähigkeit und die Genauigkeit entwickeln, die eine vertiefte Beschäftigung mit anspruchsvollen bis hin zu wissenschaftlichen Aufgabenstellungen ermöglichen.
Der stetige Zuwachs an wissenschaftlichen Erkenntnissen erfordert in zunehmendem Maße
lebenslanges Lernen. Der Unterricht trägt dem Rechnung durch die besondere Betonung
methodischer Kompetenzen und durch exemplarisches Lernen. Damit verbunden sind inhaltliche Reduktion sowie der zunehmende Einsatz schülerzentrierter Sozialformen, die eigenständiges Lernen und Teamfähigkeit fördern.
Auch die Verfügbarkeit moderner Medien zur Informationsbeschaffung und zur Kommunikation stellt an die Ausgestaltung des Unterrichts neue Anforderungen. Es ist grundsätzlich
Aufgabe aller Fächer, den Schülerinnen und Schülern einen sachgerechten und verantwortungsvollen Umgang mit den neuen Medien zu vermitteln.
Der Unterricht am Gymnasium berücksichtigt die im Rahmen der Kultusministerkonferenz
(KMK) vereinbarten Bildungsstandards. Die Standards umfassen neben inhaltsbezogenen
Kompetenzen auch allgemeine Kompetenzen wie zum Beispiel Beurteilungskompetenz und
Kommunikationskompetenz sowie methodische Kompetenzen und Lernstrategien, über die
die Schülerinnen und Schüler verfügen sollen, um die inhaltsbezogenen Kompetenzen erwerben zu können.
Die vorliegenden Lehrpläne gehen jeweils von einem fachspezifischen Kompetenzmodell
aus, um inhaltsbezogene und allgemeine Kompetenzerwartungen zu formulieren. Die verbindliche Festlegung der allgemeinen Kompetenzen eröffnet Chancen für eine Weiterentwicklung der Unterrichtskultur. Dabei kommt individuellen und kooperativen Lernformen, die
selbstorganisiertes Handeln sowie vernetzendes Denken fördern, besondere Bedeutung zu.
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Die Lehrpläne greifen die schulformübergreifenden Vorgaben der KMK-Bildungsstandards
auf und tragen gleichzeitig durch die Auswahl und den Anspruch der inhaltlichen Vorgaben
dem besonderen Anforderungsprofil des Gymnasiums Rechnung. Sie beschränken sich auf
wesentliche Inhalte und Themen, die auch Bezugspunkte für schulische und schulübergreifende Leistungsüberprüfungen sind, und enthalten darüber hinaus Hinweise und Vorschläge
zur Unterrichtsgestaltung.
Im Einklang mit den durch die KMK vereinbarten Bildungsstandards werden sukzessive für
alle Fächer kompetenzorientierte Lehrpläne entwickelt. Die Ausrichtung an Kompetenzen ist
entscheidend dadurch begründet, dass der Blick auf den Lernprozess und die zu erwerbenden Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler gerichtet wird. Damit wird
eine schülerzentrierte und offene Gestaltung des Unterrichtes gefördert.
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Lehrplan Mathematik
Gymnasium
Jahrgangsübergreifender Teil
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Der Beitrag des Faches Mathematik zur gymnasialen Bildung
Der Mathematikunterricht fördert maßgeblich die Persönlichkeitsentwicklung junger Menschen durch das Vermitteln von Methodenkompetenz, Sachwissen und inneren Haltungen
und stärkt so die vernunftbetonte Selbstbestimmung. Hiermit leistet der Mathematikunterricht
einen wesentlichen Beitrag zu einer vertieften Allgemeinbildung.
Schulische Mathematikkenntnisse sind somit wesentlicher Bestandteil der allgemeinen Studierfähigkeit und bilden die fachlichen Grundlagen für diejenigen jungen Menschen, die nach
der Schule ein durch mathematische Denkweisen geprägtes Studium oder Berufsfeld wählen. Neben den mathematischen, naturwissenschaftlichen und technischen Fächern sind
dies heute verstärkt auch Arbeitsgebiete im wirtschaftlichen und sozialwissenschaftlichen
Bereich.
Die Fähigkeit, Zusammenhänge und ihre Gesetzmäßigkeiten zu erkennen und mit ihnen
umzugehen, ist aber auch ein eigenständiger intellektueller Wert und stellt einen wichtigen
Beitrag der Mathematik zu unserer Kultur dar. Sie ermöglicht eine kritische Wertung von gesellschaftlichen Entwicklungen und leitet zu verantwortungsbewusstem Handeln an. In weiten Teilen des Alltagslebens und in nahezu allen Bereichen des Berufslebens, in denen höher qualifizierte Tätigkeiten ausgeübt werden, ist es von Bedeutung, quantitative Zusammenhänge und abstrakte Strukturen zu erfassen und weiter zu bearbeiten. Dabei kommen verstärkt heuristische Vorgehensweisen, Problemlösestrategien und Verfahren zum Tragen, die
weit über die elementaren Rechentechniken hinausgehen. Gerade der Einsatz von Computern macht es häufig nötig, die zu Grunde liegenden mathematischen Methoden zu verstehen, da es nur so gelingen kann, Möglichkeiten und Grenzen dieser Hilfsmittel zu beurteilen und sie sinnvoll einzusetzen.
Zentrale Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichtes bis zum Abitur
Die nachstehend genannten Aspekte beschreiben das Spannungsfeld und den Rahmen, in
dem sich der Mathematikunterricht bewegt.
§ Mathematik als Mittlerin zwischen materialer und formaler Welt
§ Mathematik als deduzierende, beweisende und als experimentelle, heuristische Wissenschaft
§ Mathematik als anwendungsbezogene alltagsrelevante Wissenschaft, auch vor dem Hintergrund außerschulischer Anforderungen
§ Mathematik als Spielwiese von Kreativität und Fantasie
§ Mathematik in ihrer historischen, kulturellen und philosophischen Entwicklung
§ Mathematik in der Vernetzung ihrer einzelnen Teildisziplinen und mit anderen Wissenschaften
§ Mathematik als Übungsfeld von Arbeitstechniken sowie als Entwicklungsfeld von kognitiven Strategien und von Persönlichkeitsmerkmalen.
Entsprechend ergeben sich die folgenden zentralen Ziele des Mathematikunterrichts im
Gymnasium.
§ Der Unterricht erzieht zu begrifflicher Präzision; er vermittelt die Fähigkeit, Aussagen exakt
zu formulieren und logische Schlussfolgerungen zu ziehen. Er fördert die Bereitschaft und
die Kompetenz zum Argumentieren und Kritisieren. Er verwendet verschiedene Stufen des
Argumentierens, vom beispielgebundenen Verdeutlichen bis zum formalen Beweisen.
§ Der Unterricht schult das Mathematisieren, d.h. die Fähigkeit, reale Situationen in die
Sprache der Mathematik zu übersetzen, die entwickelten Modelle mathematisch zu bearbeiten und die Ergebnisse zu interpretieren.
§ Der Unterricht fördert das entdeckende Lernen. Die Ausbildung heuristischer Strategien
beim Experimentieren und Probieren befähigt die Schülerinnen und Schüler, Beziehungen
und Strukturen zu entdecken und sie zu analysieren.
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§ Der Unterricht versetzt die Schülerinnen und Schüler in die Lage, aus einer Menge von Informationen die für eine anstehende Aufgabe wesentlichen Informationen heraus zu filtern.
§ Der Unterricht stärkt und erweitert das Kommunikationsvermögen. Mathematische Sachverhalte werden mündlich und schriftlich dargestellt oder graphisch veranschaulicht. Das
Übersetzen zwischen verschiedenen Darstellungsformen, das Formalisieren und das algorithmische und kalkülhafte Arbeiten sind spezifische Formen des mathematischen Ausdrucks. Die Beherrschung der Fachsprache öffnet den Zugang zu vielen Disziplinen, insbesondere den naturwissenschaftlichen, technischen und wirtschaftswissenschaftlichen
Fächern.
§ Der Unterricht fördert die Kreativität und Fantasie, indem er auch Elemente des Spielerischen aufweist und die Ästhetik von Darstellungen betont.
§ Der Unterricht gibt exemplarisch Einblicke in die historische Genese der Mathematik und
ihre Bedeutung für die Entwicklung unserer Gesellschaft.
§ Der Unterricht leitet die Schülerinnen und Schüler sowohl zum selbstständigen als auch
zum kooperativen Lernen an. Er trägt zur Entwicklung von Selbstbewusstsein und Selbstdisziplin, von Leistungsbereitschaft und Konzentrationsfähigkeit bei.
Nachhaltige und dauerhafte Lernerfolge setzen eine sorgfältige Auswahl und Variation
methodischer Vorgehensweisen voraus. Zu beachten ist insbesondere:
§ Der Unterricht trägt zum Aufbau angemessener Grundvorstellungen zu wesentlichen fachlichen Inhalten und Strategien bei.
§ Der Unterricht widmet dem Vernetzen der Inhalte und dem Herstellen von Querbezügen
auch zu anderen Fächern besondere Aufmerksamkeit und ermöglicht so Phasen des systematischen Wiederholens.
§ Im Unterricht kann der Einsatz zeitgemäßer Medien (z. B. graphikfähige Taschenrechner,
Taschencomputer, Computer, elektronische Whitebords) den Zugang zu mathematischen
Inhalten erleichtern. Die Schülerinnen und Schüler sind zu einem verständigen Umgang
anzuleiten.
§ Der Unterricht befasst sich verstärkt mit Aufgabenstellungen oder Lernumgebungen, die
einem situativen Kontext entspringen, wobei auch ergebnisoffene Formulierungen gewählt
werden.
Kompetenzen im Mathematikunterricht
Der fachspezifische Anspruch der Bildungsstandards im Fach Mathematik wird durch das
folgende Kompetenzschema abgebildet, auf das sich auch der Lehrplan bezieht.
inhaltsbezogene
mathematische Kompetenzen
(Leitideen)
L1 Zahl
L2 Messen
L3 Raum und Form
L4 Funktionaler Zusammenhang
L5 Daten und Zufall
L6 Grenzprozesse und Näherungsverfahren
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prozessbezogene
mathematische Kompetenzen
(allg. math. Kompetenzen)
K1 Mathematisch
argumentieren
K2 Probleme mathematisch
lösen
K3 Mathematisch
modellieren
K4 Mathematische Darstellungen verwenden
K5 Mit symbolischen, formalen
und technischen Elementen
der Mathematik umgehen
K6 Kommunizieren
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Anforderungsbereiche
A1 Reproduzieren
A2 Zusammenhänge
herstellen
A3 Verallgemeinern und Reflektieren
Die in diesem Schema genannten sechs prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen erfassen ein weites Spektrum mathematischen Arbeitens. Die kognitiven Fähigkeiten
und Fertigkeiten werden in aktiver Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben. Sie lassen sich dabei nicht scharf voneinander abgrenzen, da beim mathematischen
Arbeiten oftmals mehrere Kompetenzen zugleich angesprochen werden.
Für den Erwerb der Kompetenzen ist im Unterricht auf eine Vernetzung der Inhalte der Mathematik ebenso zu achten wie auf eine Vernetzung mit anderen Fächern. Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden Leitideen zugeordnet und können damit zur Vernetzung
der traditionellen Stoffgebiete beitragen.
Im Sinne eines spiralförmigen Vernetzens wechseln sich die Leitideen in der Abfolge aufbauend und wiederholend ab. Soweit keine fachlichen Erfordernisse einer veränderten Abfolge entgegenstehen, bleibt die Reihenfolge der unterrichtlichen Erfüllung des Lehrplans der
Lehrkraft überlassen
Die Berücksichtigung von Anforderungsbereichen trägt wesentlich dazu bei, ein ausgewogenes Verhältnis der Anforderungen zu erreichen. Bei der Einordnung sind Alter, Reifegrad und Vorerfahrungen der Lernenden zu beachten.
Anforderungsbereich 1: Reproduzieren
umfasst in der Regel leichtere Aufgaben wie
§ die Wiedergabe von Daten, Fakten, Regeln, Formeln, Sätzen usw. aus einem abgegrenzten Gebiet im gelernten Zusammenhang,
§ die Beschreibung und Verwendung gelernter und geübter Arbeitstechniken und Verfahrensweisen in einem begrenzten Gebiet und in einem wiederholenden Zusammenhang.
Anforderungsbereich 2: Zusammenhänge herstellen
umfasst in der Regel mittelschwere Aufgaben wie
§ selbstständiges Auswählen, Anordnen und Darstellen bekannter Sachverhalte unter vorgegebenen Gesichtspunkten in einem durch Üben bekannten Zusammenhang und ähnlich
zu Vorgehensweisen im Unterricht,
§ Selbstständiges Übertragen des Gelernten auf vergleichbare neue Situationen, wobei es
entweder um veränderte Fragestellungen oder um veränderte Sachzusammenhänge oder
um abgewandelte Verfahrensweisen geht.
Anforderungsbereich 3: Verallgemeinern und Reflektieren
umfasst in der Regel schwierigere Aufgaben wie
§ planmäßiges und kreatives Bearbeiten komplexer Problemstellungen mit dem Ziel, selbstständig zu Lösungen, Deutungen, Wertungen und Folgerungen zu gelangen,
§ bewusstes und selbstständiges Auswählen und Anpassen geeigneter gelernter Methoden
und Verfahren in neuartigen Situationen.
Im vorliegenden Lehrplan Mathematik durchzieht der ständige Abgleich mit den Kompetenzen alle Fachgebiete der Sekundarstufe I (Arithmetik, Algebra, Geometrie und Stochastik)
und wird dann in der Sekundarstufe II (Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik)
weitergeführt. In der Sekundarstufe II bilden die „Allgemeinen Prüfungsanforderungen in der
Abiturprüfung“ den Rahmen, in den sich die Unterrichtsgegenstände und das Anforderungsprofil einfügen.
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Lehrplan Mathematik
Gymnasium
Jahrgangsbezogener Teil
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Zum Umgang mit dem Lehrplan
Die jahrgangsbezogenen Teile des Lehrplans sind nach Lernbereichen gegliedert, denen
jeweils erläuternde Einleitungstexte vorangestellt sind.
Daran anschließend sind in zwei Spalten das verbindliche Fachwissen und die verbindlichen
Kompetenzschwerpunkte aufgeführt. Die Schwerpunkte knüpfen an die allgemeinen mathematischen Kompetenzen der Bildungsstandards an. Die im Lehrplan beschriebenen Schülertätigkeiten sind geeignet, die jeweils zugeordnete Kompetenz zu fördern. Die Zuordnung
schließt nicht aus, dass weitere Kompetenzen angesprochen werden können. Etwaige fakultative Inhalte finden sich unter den Hinweisen am Ende eines jeden Lernbereichs.
Die Kompetenzschwerpunkte sind bewusst detailliert beschrieben. Dies geschieht mit dem
Ziel, die Intensität der Bearbeitung möglichst präzise festzulegen. So kann vermieden werden, dass Lernbereiche entweder zu intensiv oder zu oberflächlich behandelt werden. Die
detaillierte Darstellung darf hierbei nicht als Stofffülle missverstanden werden. Der Lehrplan
beschränkt sich vielmehr auf wesentliche Inhalte und Themen, die auch Bezugspunkte für
schulische und schulübergreifende Leistungsüberprüfungen sind.
Als Richtwerte für die Gewichtung der verbindlich zu behandelnden Lernbereiche bei der
Planung des Unterrichts sind Prozentwerte angegeben. Darüber hinaus lässt der Lehrplan
Zeit für Vertiefungen, individuelle Schwerpunktsetzungen, fächerübergreifende Bezüge und
die Behandlung aktueller Themen.
Die Reihenfolge der Lernbereiche ist nur insoweit verbindlich, wie es sachlogisch geboten
erscheint. Darüber hinaus nimmt sie aber die methodisch-didaktischen Entscheidungen der
Lehrkraft nicht vorweg.
Jede Beschreibung eines Lernbereichs schließt im Lehrplan mit Hinweisen ab. Die Hinweise
sind inhaltlich gegliedert nach den Gesichtspunkten:
§ Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
§ Querverbindungen im Lehrplan
§ Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
§ Einsatz elektronischer Medien
§ Fakultative Inhalte
§ Tipps zur Informationsbeschaffung
Didaktisches Vorwort zum Lehrplan der Klassenstufe 5
Nach dem Übergang aus der Grundschule ins Gymnasium geht es in der Klassenstufe 5
zunächst darum, Arbeitstechniken der Grundschule aufzugreifen, daraus gemeinsame Arbeits- und Lernformen zu entwickeln und ein einheitliches Niveau in Bezug auf inhaltliche
Anforderungen, auf das Arbeitstempo und auf den Gebrauch der mathematischen Fachsprache anzustreben.
Gleichzeitig gilt es, für ein Arbeitsklima zu sorgen, in dem sich soziale Kompetenzen wie
z. B. Kommunikationsfähigkeit und Kooperationsbereitschaft im neuen schulischen Umfeld
einspielen und weiter entwickeln können.
In jeder Phase des Unterrichts sollten nach Möglichkeit Bezüge zur Alltagswelt und zum Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler hergestellt werden. Nicht zuletzt dadurch ist
schon frühzeitig eine sowohl prognostizierende als auch kritisch reflektierende Haltung gegenüber Ergebnissen zu wecken. Der Unterricht muss geeignete Kontrollverfahren bereitstellen.
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Lernbereiche der Klassenstufe 5
Lernbereiche Klassenstufe 5
Mathematik
1. Natürliche Zahlen
etwa 35 Prozent der Unterrichtszeit
1.1. Eigenschaften der natürlichen Zahlen
Grundrechenarten
Anzahlen
Zahlenfolgen
Zahlenmengen
Potenzen mit Exponenten größer 1
Stellenwertsysteme
Anordnung
Hinweise
1.2. Rechnen mit natürlichen Zahlen
Eigenschaften von Addition und Multiplikation
Rechnen mit 0 und 1
Vorrangregeln
Rechenterme
Hinweise
2. Größen
etwa 25 Prozent der Unterrichtszeit
2.1. Größen im Alltag
Größen
Messen von Größen
Ober- und Untereinheiten
Umrechnungen
Sachaufgaben
Hinweise
2.2. Bruchteile
Bruchteile von Größenwerten
Darstellen desselben Bruchteils
Hinweise
3. Geometrische Grundbegriffe
etwa 25 Prozent der Unterrichtszeit
3.1. Grundbausteine
Punkt und Strecke
Gerade und Strahl
Schnittpunkte und Lagebeziehungen
Abstandsbegriffe
Kreis und Winkel
Hinweise
3.2. Betrachtungen am Rechteck
Rechteck
Flächeninhalt und Umfang des Rechecks
Hinweise
4. Teilbarkeit der natürlichen Zahlen
etwa 15 Prozent der Unterrichtszeit
Teiler und Vielfache
Teilbarkeit von Summe und Differenz
Endstellen- und Quersummenregeln
Gemeinsame Teiler und Vielfache
Hinweise
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1. Natürliche Zahlen
Mathematik 5
Betrachtungen zum Aufbau und zur Struktur der natürlichen Zahlen fördern in Verbindung
mit dem Dezimalsystem das Zahlverständnis; die Kenntnisse aus der Grundschule werden
systematisiert und vertieft. Die Schülerinnen und Schüler werden mit Zählverfahren und deren Darstellungsmöglichkeiten vertraut. Tabellen und Diagramme sind dabei an geeigneten
Stellen einzusetzen.
Mit den Rechengesetzen rücken allgemeine Eigenschaften der Grundrechenarten in den
Vordergrund; sie dienen als Erklärungsmuster für Kalküle und bieten Vorteile beim Umformen von Rechenausdrücken. Die Schülerinnen und Schüler verwenden in zunehmendem
Maße Variablen, um Sachverhalte und Problemstellungen allgemein zu beschreiben und
mathematisch zu bearbeiten. Begriffe und Symbole der Mengensprache werden im notwendigen Umfang eingeführt.
Angesprochen ist in diesem Lernbereich in erster Linie die Leitidee „Zahl“. An einigen Stellen treten weitere Leitideen hinzu, auf die dann in der linken Spalte gesondert hingewiesen
wird.
1.1. Eigenschaften der natürlichen Zahlen
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Grundrechenarten
Die Schülerinnen und Schüler
• Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
• Kopfrechnen und Kopfrechenhilfen
• schriftliche Verfahren
• Runden
• Überschlagsrechnen
• Einschränkungen beim Subtrahieren und
beim Dividieren
• Rechnen mit Null
Grundrechenarten
Die Schülerinnen und Schüler
• verwenden die Bezeichner Summe, Differenz, Produkt und Quotient sowie die lateinischen Namen der zugehörigen Rechenglieder und beschreiben bzw. übersetzen damit Rechenausdrücke
(K6)
• rechnen in den vier Grundrechenarten im
Kopf im Zahlbereich bis 500
(K5)
• nutzen Kopfrechenhilfen wie das Multiplizieren mit bzw. das Dividieren durch
5 und 10
(K5)
• führen schriftliche Algorithmen der Grundrechenarten (maximal zweistellige Divisoren) aus
(K5)
• formulieren Umkehraufgaben und machen
die Probe
(K6)
• identifizieren Rechenfehler, z. B. durch
Endziffernkontrolle oder durch Überschlagsrechnung
(K1)
• runden Rechenergebnisse sinnvoll entsprechend dem gegebenen Sachverhalt
(K3)
• belegen an Hand von Beispielen, dass
Subtraktion und Division nur eingeschränkt
möglich sind
(K1)
Anzahlen
Die Schülerinnen und Schüler
• Daten
Grundrechenarten
Die Schülerinnen und Schüler
• erheben Daten aus ihrem Alltag und stellen
sie in Diagrammen der Situation angemessen dar
(K4)
Dieser Abschnitt stellt eine Verbindung zur
Leitidee „Daten und Zufall“ her.
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1. Natürliche Zahlen
Mathematik 5
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Zahlenfolgen
Zahlenmengen
Die Schülerinnen und Schüler
• stellen Zahlenfolgen in Tabellen dar (K4)
• erstellen und beschreiben Bildungsgesetze, z. B. lineares Wachstum
(K6)
• ermitteln Gesetzmäßigkeiten in Zahlenfolgen und setzen die Folgen begründend
fort
(K1)
• geordnete Aufzählung
• Bildungsgesetze, ohne Formalisierung
als Zuordnung Ð → Ð
Die Leitidee „Funktionaler Zusammenhang“
zeigt sich in der Beziehung zwischen aufeinander folgenden Gliedern einer Zahlenfolge.
Zahlenmengen
Zahlenmengen
Die Schülerinnen und Schüler
• unterscheiden zwischen Zahl und Zahlpunkt
(K3)
• nutzen Zahlpunkte auf dem Zahlenstrahl
als Modell für die natürlichen Zahlen
(K3)
• nennen zu natürlichen Zahlen n den Vorgänger n - 1 ( n ≠ 0 ) und den Nachfolger
(K4)
n +1
• begründen, dass es unbegrenzt viele natürliche Zahlen gibt
(K1)
• fassen Zahlen mit bestimmten Eigenschaften zu Mengen zusammen, z. B. die
geraden Zahlen
(K4)
• bezeichnen Mengen mit großen lateinischen Buchstaben
(K4)
• wandeln aufzählende in beschreibende
Mengenschreibweise um und umgekehrt
(K4)
• Zahlenstrahl
• Symbole Ð = {0; 1; 2; … }
und Ð* = Ð \ {0}
• Nachfolger und Vorgänger
• aufzählende und beschreibende Mengenschreibweise
• Symbole ∈ und ∉
• leere Menge, Symbol { }
Beim Arbeiten am Zahlenstrahl soll auch der
Bezug zur Leitidee „Messen“ hergestellt
werden, z. B. beim Festlegen einer geeigneten Einheit.
Potenzen mit Exponent größer 1
Die Schülerinnen und Schüler
• grenzen Potenzieren und Multiplizieren
voneinander ab
(K5)
• berechnen Potenzen
(K5)
• nennen die Quadratzahlen bis 20 2 und die
Zweierpotenzen bis 210 auswendig (K5)
• stellen Potenzen in den Zusammenhang
mit geometrischen Objekten, z. B. Aufbau
von Würfeln mit Einheitswürfeln
(K3)
• arbeiten bei Potenzen auch mit Variablen,
z. B. 2 k und 10 k und a 3
(K5)
• Potenz, Basis, Exponent
• Definition: Ein Produkt mit gleichen Faktoren heißt Potenz.
• Quadratzahlen, Kubikzahlen, Zweierpotenzen, Dreierpotenzen, Zehnerpotenzen
• Namen der Zehnerpotenzen bis 1012
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1. Natürliche Zahlen
Mathematik 5
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Die Behandlung von Quadratzahlen und
Kubikzahlen öffnet den Blick auf die Leitideen „Raum und Form“ und „Messen“.
Stellenwertsysteme
Die Schülerinnen und Schüler
• lesen und schreiben Zahlen bis 1 Billiarde
in Worten und in Ziffern
(K6)
• unterscheiden die Begriffe Zahl und Ziffer
und geben in der Zifferndarstellung die
Stellenwerte jeder Ziffer an
(K6)
• schreiben Zahlen bis 1 Million als Zehnerpotenzsummen
(K4)
• wenden die Rundungsregel an
(K5)
• entnehmen Zahlenangaben aus Diagrammen
(K4)
• stellen Zahlen bis 1024 im Dualsystem dar
(K5)
• übersetzen römische Zahlzeichen ins Dezimalsystem und umgekehrt
(K5)
• Dezimalsystem
− Stufenzahl und Stellenwert
− Rundungsregeln
• Dualsystem als alternative Zahldarstellung
• Kontrast: römisches Zahlensystem
Anordnung
Die Schülerinnen und Schüler
• tragen Zahlpunkte auf einem vorgegebenen oder einem geeignet zu skalierenden Zahlenstrahl ein bzw. lesen die
Zahl am Zahlpunkt ab
(K5)
• vergleichen große Zahlen auf der Grundlage der Zifferndarstellung
(K4)
• nutzen Bilddiagramme zum anschaulichen
Vergleich von Zahlen
(K4)
• veranschaulichen den arithmetischen Mittelwert zweier Zahlen am Zahlenstrahl
(K5)
• Definition: Eine Zahl a heißt kleiner als
eine Zahl b, wenn sich der Zahlpunkt von
a auf dem Zahlenstrahl links vom Zahlpunkt von b befindet.
• Symbole < , > , = , ≤ , ≥
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1. Natürliche Zahlen
Mathematik 5
Hinweise
zu Lernbereich 1.1 (Eigenschaften der natürlichen Zahlen)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
−
−
−
−
Bei Zwischenrechnungen ist auf eine korrekte algebraische Verwendung des Gleichheitszeichens zu achten.
Die Behandlung weiterer Stellenwertsysteme ist nicht vorgesehen.
Der Lehrplan thematisiert nicht die Anordnung im Sinne der Addition einer (positiven)
Zahl, um von der kleineren zur größeren Zahl zu gelangen.
allmähliche Einführung von Variablen, z. B. zur Erleichterung der Kommunikation
Internationalität mathematischer Symbolik
exponentiell wachsende Zahlenfolgen als Vorbereitung zum Potenzbegriff
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
Lernbereich 4: Teilermengen, Vielfachenmengen
Klassenstufe 7: Anzahlen als absolute Häufigkeiten
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
−
−
−
−
historische Zahlensysteme, z. B. der Ägypter, Babylonier und Maya
Zahlennamen in den Fremdsprachen
In den USA wird das Zahlwort Billion für Milliarde verwendet.
Geschichte der Zahl 0
Fibonacci-Folgen
Einsatz elektronischer Medien
−
Rechentrainer
Fakultative Inhalte
−
Anzahl 2 n der Teilmengen n-elementiger Mengen
Tipps zur Informationsbeschaffung
−
Internet-Recherche mit Suchfeld “On-Line Encyclopedia of Integer Sequences”
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1. Natürliche Zahlen
Mathematik 5
1.2. Rechnen mit natürlichen Zahlen
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Eigenschaften
von Addition und Multiplikation
Die Schülerinnen und Schüler
• veranschaulichen Grundrechenarten und
ihre Eigenschaften geometrisch, z. B.:
- Kommutativität der Addition an der Länge
einer unterteilten Strecke
- Kommutativität der Multiplikation am
Flächeninhalt von Rechtecken
(K4)
• formulieren die Eigenschaften in Worten,
z. B.: Wenn man in einer Summe Summanden vertauscht, dann bleibt der Wert
der Summe erhalten.
(K6)
• verschaffen sich Rechenvorteile durch
Nutzen der Eigenschaften
(K5)
• belegen an Zahlenbeispielen, dass Subtraktion und Division nicht assoziativ sind
(K5)
• nutzen die Eigenschaften beim Lösen von
Textaufgaben
(K3)
• Bedeutung der Rechenklammern
• Kommutativität der Addition:
Für alle natürlichen Zahlen a , b gilt:
a+b = b+a
• Kommutativität der Multiplikation:
Für alle natürlichen Zahlen a , b gilt:
a ⋅b = b ⋅a
• Assoziativität der Addition:
Für alle natürlichen Zahlen a , b , c gilt:
(a +b )+c = a +(b +c )
• Assoziativität der Multiplikation:
Für alle natürlichen Zahlen a , b , c gilt:
( a ⋅ b )⋅ c = a ⋅( b ⋅ c )
• Distributivität:
Für alle natürlichen Zahlen a , b , c gilt:
a ⋅( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅c
und, falls b > c ist, gilt auch:
a ⋅( b − c ) = a ⋅ b − a ⋅c
Rechnen mit 0 und 1
Die Schülerinnen und Schüler
• berechnen Zahlenterme, in denen 0 und 1
als Teilergebnisse auftreten
(K5)
• erstellen Verknüpfungstafeln mit 0 und 1
(K5)
• legen anhand von Folgen von Potenzen
die Werte von Potenzen mit Exponent 0
oder 1 fest
(K1)
• erläutern, dass der Wert der Potenz 0 0
nicht eindeutig festgelegt werden kann
(K1)
• berechnen Potenzen, in denen 0 oder 1 als
Basis und/oder Exponent auftreten (K5)
• belegen an Zahlenbeispielen, dass das Potenzieren nicht kommutativ und nicht assoziativ ist
(K1)
• Neutrales Element der Addition:
Das neutrale Element der Addition ist 0.
Für alle natürlichen Zahlen a gilt:
a+0 = a
• Neutrales Element der Multiplikation:
Das neutrale Element der Multiplikation
ist 1. Für alle natürlichen Zahlen a gilt:
1⋅ a = a
• Nullproduktsatz: Wenn (mindestens) ein
Faktor eines Produktes den Wert 0 hat,
dann hat auch das Produkt den Wert 0
(und umgekehrt)
• Unmöglichkeit der Division durch 0
• Definition der Potenzen a 1 und a 0
Vorrangregeln
Die Schülerinnen und Schüler
• berechnen Zahlenterme mit höchstens
zwei Klammerebenen und höchstens sieben Zahlen unter Einhaltung der Vorrangregeln
(K5)
• Vorrangregeln (Prioritätsregeln):
− Klammern werden zuerst berechnet
− innere Klammern werden vor äußeren
Klammern berechnet
− Potenzieren vor Punktrechnen
− Punktrechnen vor Strichrechnen
− bei gleicher Rechenart (Punkt- bzw.
Strichrechnung) wird von links nach
rechts vorgegangen
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1. Natürliche Zahlen
Mathematik 5
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Rechenterme
Die Schülerinnen und Schüler
• beschreiben Rechenausdrücke unter Verwendung der Fachbegriffe
(K6)
• stellen Rechenterme zu verbal beschriebenen Rechenausdrücken auf
(K2)
• verschaffen sich Rechenvorteile
(K5)
• erstellen Terme zu Sachaufgaben
(K3)
• formulieren zu einfachen Termen Sachaufgaben
(K3)
• stellen unterschiedliche Terme zu Anzahlen bei geometrischen Figurierungen
auf
(K3)
• lösen Zahlenrätsel durch Operationsumkehr (Rückwärtsarbeiten)
(K2)
• schätzen Werte einfacher Terme ab und
begründen ihr Vorgehen
(K1)
• Umgang mit Rechentermen
− Gliedern
− Beschreiben
− Auswerten
− Umformen
− Aufstellen
− Abschätzen
• Umstellungssatz: Rechenglieder dürfen
bei gleicher Rechenart (Punkt- bzw.
Strichrechnung) unter Mitnahme des Rechenzeichens umgestellt werden.
Hinweise
zu Lernbereich 1.2 (Rechnen mit natürlichen Zahlen)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
Rechenbäume verwenden
Bei einigen Anwendungen sollen Variablen in die Terme einfließen.
Querverbindungen im Lehrplan
−
Klassenstufe 8: Terme
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
−
Schätzen bei Sachaufgaben aus dem Alltag, z. B. Sport
Adam Ries (1492-1559)
Fakultative Inhalte
−
Minusklammerregel und Plusklammerregel
Tipps zur Informationsbeschaffung
−
amtliche Statistiken, z. B. www.statistik.saarland.de
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2. Größen
Mathematik 5
Das aus der Grundschule und dem Alltag vorhandene Wissen der Schülerinnen und Schüler
wird systematisiert und erweitert. Sie erkennen in Größen das Hilfsmittel, reale Gegebenheiten mathematisch zu beschreiben. Dabei erfahren sie die Notwendigkeit, eine Grundeinheit
festzulegen und unterscheiden Maßzahl und Maßeinheit. Somit ergeben sich Verbindungen
zur Leitidee „Messen“.
Mit Hilfe von Größen und Figuren werden Grundvorstellungen von Bruchteilen und Brüchen
entwickelt. Eine systematische Behandlung von Bruchzahlen ist hier nicht vorgesehen.
Die Schülerinnen und Schüler ermitteln aus tabellarischen oder graphischen Darstellungen
Informationen, die sie analysieren, formalisieren oder interpretieren. Umgekehrt können sie
Zusammenhänge inhaltlich angemessen, verständlich und ästhetisch ansprechend wiedergeben.
2.1. Größen im Alltag
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Größen
Die Schülerinnen und Schüler
• begründen, dass die Einheit einer Größe
willkürlich gewählt werden kann und dass
es zweckmäßig ist, eine allgemein verbindliche Einheit zu vereinbaren
(K1)
• beurteilen die historischen Festlegungen
über Urmeter, Urkilogramm und Sekundenpendel
(K1)
• unterscheiden Zeitpunkte und Zeitspannen
(K6)
•
•
•
•
•
Länge mit der Grundeinheit 1 m
Masse mit der Grundeinheit 1 kg
Zeit mit der Grundeinheit 1 s
Geldwert mit der Grundeinheit 1 €
Speicherplatz in einem digitalen Speicher mit der Grundeinheit 1 Byte = 1 B
• Festlegungen der Grundeinheiten
1 m, 1 kg, 1 s, 1 € und 1 B
Messen von Größen
Die Schülerinnen und Schüler
• unterscheiden zwischen Größe, Maßzahl
und Maßeinheit
(K6)
• messen eine Größe, indem sie zählen, wie
oft die Einheit in dem zu messenden Größewert enthalten ist
(K3)
• vereinfachen Schreibweisen,
z. B. 7 ⋅ 1 m = 7 m
(K5)
• schätzen Größen in Alltagssituationen
(K3)
• Wert einer Größe als Produkt aus der
Maßzahl und der Maßeinheit
Ober- und Untereinheiten
Die Schülerinnen und Schüler
• stellen Zusammenhänge zwischen den
Ober- und Untereinheiten und der jeweiligen Grundeinheit her, z. B.
1 t = 1000 kg,
1 h = 3600 s,
1 km = 1000 m
aber 1 kB = 1024 B
(K5)
• erläutern den Begriff Umrechnungszahl
(K6)
• Bedeutung und Abkürzungen der Vorsilben mikro-, milli-, zenti-, dezi- sowie
deka-, hekto-, kilo-, mega-, giga-, tera• Ober- und Untereinheiten der
− Längeneinheit 1 m:
1µm, 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 km
− der Masseneinheit 1 kg:
1 mg, 1 g, 1 t
− der Zeiteinheit 1 s:
1 ms, 1 min, 1 h, 1 d
• Obereinheiten der Speicherplatzeinheit 1B:
1 kB, 1 MB, 1GB, 1 TB
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18
2. Größen
Mathematik 5
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Umrechnungen
Die Schülerinnen und Schüler
• rechnen einen vorgegebenen Wert in eine
Untereinheit bzw. eine Obereinheit um,
z. B. 3,09 m = 309 cm;
89 min = 1 h 29 min
(K5)
• stellen zum Ordnen, Addieren oder Subtrahieren ggf. dieselbe Einheit her
(K5)
• ordnen Listen von bis zu vier Größenangaben
(K1)
• berechnen den Wert von Rechenausdrücken mit bis zu vier Größenangaben
(K5)
• führen in einfachen Fällen Kommaverschiebungen durch
(K5)
• finden zu gegebenen Geldbeträgen mögliche Stückelungen
(K2)
• berechnen eine Zeitspanne innerhalb einer
Woche, wenn Anfangs- und Endzeitpunkt
bekannt sind
(K5)
• führen elementare Rechnungen im Kopf
aus
(K5)
• Kommaschreibweise
• Ordnen von Größenwerten
• Addieren und Subtrahieren von Größenwerten
Der Umgang mit Maßzahlen stellt den Zusammenhang zur Leitidee „Zahl“ her.
Sachaufgaben
Die Schülerinnen und Schüler
• übersetzen Sachsituationen gegebenenfalls
in aussagekräftige Skizzen
(K3)
• entnehmen Texten relevante Größen (K6)
• lösen einfache Sachaufgaben
(K2)
• prüfen die Plausibilität eines Ergebnisses
durch eine Überschlagsrechnung
(K3)
• formulieren einen an der Situation orientierten Antwortsatz
(K3)
• verwenden bei Ergebnissen sinnvolle Einheiten und runden sachgerecht
(K3)
• unterscheiden Verteilen und Aufteilen
(K6)
• Multiplikation einer Größe mit einer Zahl
• Verteilen: Division einer Größe durch eine Zahl
• Aufteilen: Division einer Größe durch eine Größe derselben Einheit
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2. Größen
Mathematik 5
Hinweise
zu Lernbereich 2.1 (Größen im Alltag)
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
−
−
Stellentafel, Stellenwertsysteme
Vorsilben bei Obereinheiten und entsprechende Zehnerpotenzen.
Größen in Tabellen und Diagrammen
Man beschränke sich beim Ordnen und Rechnen auf höchstens vier Größenangaben.
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
−
Maßstäbe von Landkarten
Historische, aber noch gebräuchliche Einheiten wie z. B. Pfund, Zentner, Meile, Fuß,
Fass (barrel)
Fakultative Inhalte
−
Gemischte Schreibweise von Größen im Rahmen des Alltagsgebrauchs
Tipps zur Informationsbeschaffung
−
Physikalisch-technische Bundesanstalt in Braunschweig als Hüterin der Einheiten
in Deutschland: www.ptb.de
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2. Größen
Mathematik 5
2.2. Bruchteile
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Bruchteile von Größenwerten
Die Schülerinnen und Schüler
• stellen Brüche in Balken-, Rechteck-, oder
Kreisdiagrammen zeichnerisch dar (K4)
3
• verwenden echte Brüche, z. B. m (K4)
5
• interpretieren einen Bruch als mehrere
2
Teile eines Ganzen, z. B. bedeutet kg :
5
„Teile 1 kg in 5 gleiche Teile und nimm
2 davon.“
(K1)
• interpretieren einen Bruch als ein Teil
2
mehrerer Ganzer, z. B. bedeutet kg :
5
„Teile 2 kg in 5 gleiche Teile.“
(K1)
• rechnen Bruchteile in Untereinheiten mit
ganzzahliger Maßzahl um,
2
z. B. h = 40 min
(K5)
3
• rechnen Größen mit ganzzahligen Maßzahlen in Bruchteile einer Obereinheit um,
3
z. B. 75 cm = m
(K5)
4
• Einführung der Bruchschreibweise für
Stammbrüche als den n-ten Teil eines
Ganzen
• echter Bruch, unechter Bruch
• Zähler und Nenner
Brüche in Verbindung mit Bruchteilen sprechen die Leitidee „Zahl“ an.
Unterschiedliche Darstellungen
eines Bruchteils
Die Schülerinnen und Schüler
• nennen alle Teiler von 100
(K5)
• veranschaulichen Erweitern und Kürzen an
Rechteckdiagrammen bzw. Kreisdiagrammen bei Brüchen, deren Nenner Teiler von 100 oder von 24 sind
3
6
2 4
=
=
z. B.
bzw.
(K4)
5 10
3 6
• wechseln bei Brüchen mit auf 100 erweiterbaren Nennern zwischen Bruch- und
Dezimalbruchschreibweise
(K4)
• Erweitern und Kürzen im Zusammenhang mit Zehnerbrüchen
• Bezeichnung: Erweitern eines Bruches
bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben Zahl ≠ 0 multiplizieren.
• Bezeichnung: Kürzen eines Bruches bedeutet, Zähler und Nenner durch einen
gemeinsamen Teiler dividieren.
• Darstellen eines Bruchteils
− als Bruch mit dem Nenner 100
− in der Dezimalbruchschreibweise
• Kreisdiagramme für Vielfache von
1 1 1 1 1 1
, , , , ,
2 3 4 6 8 12
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2. Größen
Mathematik 5
Hinweise
zu Lernbereich 2.2 (Bruchteile)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
−
Die Darstellungen mit Säulen-, Rechteck-, Balkendiagrammen und Tabellen sollen weitgehend in den einzelnen Abschnitten integriert werden.
Die Verwendung von quadratischen Rechteckdiagrammen bietet sowohl einfache enaktive Zugänge als auch die Anschlussfähigkeit zu Punkten mit rationalen Koordinaten in
kartesischen Koordinatensystemen.
Projekt: Erheben, Auswerten und Präsentieren von Daten aus dem schulischen Umfeld
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
−
Klassenstufe 6: rationale Zahlen (mit weiteren Grundvorstellungen, Rechenregeln)
Klassenstufe 7: Prozentrechnung
Geometrische Grundbegriffe, Einsatz des Geodreiecks
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
Prozentangaben bei Bankgeschäften
Einsatz elektronischer Medien
−
Präsentieren von Daten in Säulen- und Balkendiagrammen
Fakultative Inhalte
−
−
Vergleichen und Ordnen bei gleichem Nenner und gleicher Einheit (Nenner ≤ 100)
Vergleichen und Ordnen bei gleichem Zähler und gleicher Einheit (Zähler ≤ 20),
maximal drei Größenwerte
Mai 2013
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3. Geometrische Grundbegriffe
Mathematik 5
Durch das Betrachten und Untersuchen konkreter Gegenstände aus ihrem Erfahrungsbereich lernen die Schülerinnen und Schüler die geometrischen Begriffe Punkt, Strecke,
Strahl und Gerade sowie die Beziehungen "senkrecht" und "parallel" als Idealisierungen und
Modellierungen der Wirklichkeit kennen. Gleichzeitig wird ihnen die Bedeutung dieser Begriffe als Grundbausteine und Grundbeziehungen geometrischer Objekte bewusst. In diesem
Sinne trägt die Leitidee „Raum und Form“ die Unterrichtsinhalte. Die Bezeichnungen und
Definitionen beschränken sich in Klassenstufe 5 auf ebene Geometrie.
Der allgemein gebräuchliche Abstandsbegriff wird im Rahmen eines Extremalprinzips mathematisch gefasst. Mit Hilfe der neuen Begriffe können die Schülerinnen und Schüler ebene Figuren erkennen, voneinander unterscheiden und exakt beschreiben.
Die zeichnerischen und konstruktiven Fertigkeiten bei der Handhabung von Lineal, Geodreieck und Zirkel werden weiter entwickelt und gefestigt. Auf sauberes und genaues Arbeiten ist zu achten. Eine wichtige Ergänzung stellen dynamische Geometriesysteme
(DGS) dar, die durch ihre Möglichkeiten der Veranschaulichung von Sachverhalten und des
entdeckenden Lernens in besonderer Weise zum eigenständigen Arbeiten der Schülerinnen
und Schüler anregen. Formale Schreibweisen sollten sparsam eingesetzt werden.
Die Kenntnisse von Größen werden um Flächeninhalt und Winkelmaß erweitert. Damit erschließen sich wichtige Anwendungsbereiche der Mathematik. Die Sachaufgaben zum
Thema Flächeninhalt und Umfang im Lernbereich 3.2 bieten einen sinnvollen Kontext zur
propädeutischen Behandlung von Gleichungen. Eine systematische Behandlung ist in der
Klassenstufe 6 vorgesehen.
3.1. Grundbausteine
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Punkt und Strecke
Die Schülerinnen und Schüler
• identifizieren in ihrer Umwelt geometrische
Körper und deren Ecken, Kanten und Flächen
(K3)
• beschreiben Situationen, in denen Strecken als Modell nützlich sind
(K3)
• verwenden mathematische Symbolik für
Punkte, Strecken und Streckenlängen
(K6)
• nutzen Gitterpunkte eines rechtwinkligen
Koordinatensystems für genaue Ortsangaben
(K5)
• markieren Punkte mit gegebenen Koordinaten im Koordinatensystem und zeichnen
die Verbindungsstrecken mit Lineal oder
Geodreieck
(K5)
• bestimmen die Koordinaten von Punkten
aus geometrischen Bedingungen, z. B. als
Eckpunkte symmetrischer Figuren, Mittelpunkte oder Schnittpunkte von Strecken
(K2)
• zeichnen Figuren mit bestimmten Eigenschaften und geben die Koordinaten ausgezeichneter Punkte an
(K2)
• zeichnen alle Diagonalen eines konvexen
Vielecks und ermitteln deren Anzahl (K1)
• Punkte als geometrische Grundobjekte
• Symbole A, B, C, ... P, Q, R, . .. (lateinische Großbuchstaben)
• Strecke als geradlinige Verbindung
zweier Punkte
• Strecke als kürzeste Verbindung zweier
Punkte
• Strecke als unendliche Punktmenge
• Symbol PQ für die Strecke mit den Endpunkten P und Q
• Symbole a, b, c,... für Strecken
(lateinische Kleinbuchstaben)
• Streckenlänge als Größe
• Festsetzung: Der Abstand zweier Punkte
ist die Länge ihrer Verbindungsstrecke.
• Symbol PQ für die Länge von PQ
• Symbole a, b, c,... auch für die Streckenlänge
• Koordinatensystem
• Bezeichner: Ursprung, erste und zweite
Achse, erste und zweite Koordinate bzw.
x- und y-Achse, x- und y-Koordinate
• Symbol O für Ursprung (lat.: origo)
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3. Geometrische Grundbegriffe
Mathematik 5
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
• zeichnen Strecken und messen deren
Längen mit Lineal oder Geodreieck (K5)
• nutzen ein Geometriesystem zum Zeichnen von Figuren und zum Messen von
Längen
(K5)
Gerade und Strahl
Die Schülerinnen und Schüler
• zeichnen Geraden mit Lineal oder Geodreieck
(K5)
• zeichnen durch einen Punkt mehrere Geraden
(K5)
• zeichnen die durch zwei gegebene Punkte
eindeutig bestimmte Gerade
(K5)
• ermitteln zeichnerisch, ob Punkte auf gegebenen Geraden liegen, z. B. bestimmte
Orte auf einer Landkarte
(K2)
• verwenden die Bezeichnung Element und
die Symbole ∈ und ∉, um die Lage eines
Punktes zu einer Geraden formal wiederzugeben
(K4)
• Geraden als beidseitig unbegrenzte gerade Linien
• Symbole g, h, ... k, l, m, n, ... (lateinische
Kleinbuchstaben) bzw. g AB oder AB für
die Gerade durch die Punkte A und B
• Grundaussage: Eine Gerade ist durch
zwei ihrer Punkte eindeutig festgelegt.
• Halbgeraden bzw. Strahlen
Kreis und Winkel
Die Schülerinnen und Schüler
• benennen in ihrer Umwelt kreisförmige Objekte
(K3)
• identifizieren Kreise am Globus
(K3)
• wenden die „Gärtnerkonstruktion“ beim
Zeichnen von großen Kreisen an
(K5)
• zeichnen Kreise und Kreisornamente mit
dem Zirkel und mit Hilfe von Geometriesystemen
(K5)
• ermitteln zeichnerisch die Punkte, die von
zwei festen Punkten bestimmte Abstände
haben
(K5)
• messen und zeichnen Winkel mit Geodreieck und mit Geometriesystemen
(K5)
• schätzen Winkelmaße ohne Hilfsmittel
(K1)
• unterscheiden R ASB und R BSA
(K5)
• berechnen zu gegebenen Bruchteilen die
im Kreisdiagramm zugehörigen Mittelpunktswinkel und zeichnen passende
Kreissektoren
(K5)
• bezeichnen die Innenwinkel in Vielecken
mit Hilfe je dreier Eckpunkte
(K4)
• Definition: Die Menge aller Punkte, die
den Abstand r vom Punkt M haben, heißt
der Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem
Radius r.
• Durchmesser eines Kreises als größter
Abstand zweier Kreispunkte
• Definition: Eine Punktmenge, die von
zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird, heißt Winkel.
• Scheitel und Schenkel
• Symbole α , β , γ , ... (kleine griechische
Buchstaben) oder mit Hilfe von drei
Punkten, z. B. R ASB
• Winkelarten: spitze, rechte, stumpfe, gestreckte, überstumpfe und volle Winkel
• Gradmaß eines Winkels: Unterteilung
des vollen Winkels in 360 gleich große
Teilwinkel von je 1°
• R ASB für das Maß von R ASB
• Symbole α , β , γ ,... auch für das Winkelmaß
• Kreissektor und Mittelpunktswinkel
Das Arbeiten mit Winkelmaßen setzt die
Leitidee „Messen“ um.
Mai 2013
24
3. Geometrische Grundbegriffe
Mathematik 5
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Schnittpunkte und Lagebeziehungen
Die Schülerinnen und Schüler
• begründen, dass zwei verschiedene Geraden höchstens einen Schnittpunkt haben
können
(K1)
• stellen durch zweimaliges Falten des Zeichenblattes zwei Geraden her, die sich so
schneiden, dass vier maßgleiche Winkel
entstehen.
(K5)
• benennen in ihrer Umwelt zueinander
senkrechte und parallele gerade Linien
(K3)
• stellen zueinander senkrechte und parallele Linien durch Falten von Papier her (K5)
• zeichnen zueinander senkrechte und parallele Geraden mit Hilfe eines Geodreiecks
(K5)
• prüfen mit Hilfe eines Geodreiecks, ob Geraden zueinander senkrecht oder parallel
sind
(K5)
• konstruieren die Senkrechte zu einer Geraden durch einen Punkt auf bzw. außerhalb der Geraden mit Hilfe des Geodreiecks
(K5)
• konstruieren die Parallele zu einer Geraden durch einen Punkt außerhalb der Geraden mit Hilfe des Geodreiecks, indem sie
als Hilfslinie eine Senkrechte zeichnen
(K5)
• nutzen ein Geometriesystem zur Untersuchung von Schnittpunkten und Lagebeziehungen
(K2)
• beschreiben die Konstruktion von Senkrechten und Parallelen
(K6)
• zeichnen Senkrechten und Parallelen,
auch im Koordinatensystem
(K5)
• ermitteln, wie viele Schnittpunkte endlich
viele Geraden höchstens haben können
(K2)
• Definition: Zwei Geraden heißen zueinander senkrecht, wenn sie einander so
schneiden, dass vier maßgleiche Winkel
entstehen.
• Definition: Zwei Geraden heißen zueinander parallel, wenn sie eine gemeinsame Senkrechte haben.
• Symbole ⊥ und || für senkrecht bzw. parallel
• Existenz und Eindeutigkeit von Schnittpunkten zweier nichtparalleler Geraden
(in der Ebene)
Abstandsbegriffe
Die Schülerinnen und Schüler
• messen Abstände von Punkten mit Hilfe
eines Lineals oder Geodreiecks, auch im
Koordinatensystem
(K5)
• messen den Abstand von Punkten auf
Landkarten
(K3)
• messen den Abstand eines Punktes von
einer Geraden, auch in Sachzusammenhängen
(K5)
• bestimmen die Menge aller Punkte, die von
einer gegebenen Geraden den gleichen
Abstand haben
(K5)
• nutzen auch Geometriesysteme zur Bestimmung von Abständen
(K5)
• Lot von einem Punkt auf eine Gerade als
senkrechte Verbindungsstrecke
• Festsetzungen:
− Der Abstand eines Punktes von einer
Geraden ist die Länge des Lotes.
− Der Abstand zweier paralleler Geraden
ist der Abstand eines Punktes der einen Geraden von der anderen Geraden.
Mai 2013
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3. Geometrische Grundbegriffe
Mathematik 5
Hinweise
zu Lernbereich 3.1 (Grundbausteine)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
−
−
−
Begriffe und Beziehungen handlungsorientiert durch Betrachten und selbstständiges Untersuchen von Objekten aus der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler erarbeiten
lassen
Die Kompetenz K 5 verweist hier in vielen Fällen auf die Handhabung der geometrischen
Werkzeuge.
Größen aus dem Alltag in Schülerarbeitsphasen messen lassen
Bedeutung von Definitionen herausstellen, z. B. Minimalität von Abständen
Mengensprache behutsam gebrauchen
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
Lernbereich 2.1: Größen im Alltag
Lernbereich 2.2: Kreisdiagramm
Einsatz elektronischer Medien
−
Dynamische Geometriesysteme
Fakultative Inhalte
−
−
−
Beschreiben von Punktmengen durch Beziehungen zwischen den Koordinaten
Schrägbilder von Quadern
Projekt: Vermessen des Schulhofes
Tipps zur Informationsbeschaffung
−
Internetrecherchen zu Längen und Abständen von Bauwerken, technischen Anlagen,
geographischen und astronomischen Gegebenheiten
Mai 2013
26
3. Geometrische Grundbegriffe
Mathematik 5
3.2. Betrachtungen am Rechteck
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Rechteck
Die Schülerinnen und Schüler
• identifizieren in ihrer Umwelt Rechtecke
(K3)
• unterscheiden zwischen den definieren
den Merkmalen und den daraus folgenden
Eigenschaften
eines Rechtecks
(K1)
eines Rechtecks
sind zueinander
• begründen, weshalb jedes Rechteck einen
Umkreis hat
(K1)
• zeichnen Rechtecke mit vorgegebenen
Seitenlängen mit Hilfe eines Geodreiecks
• beschreiben die Konstruktion
(K6)
• zeichnen Rechtecke auch in Koordinatensystemen und geben die Koordinaten der
Eckpunkte an
(K5)
• nutzen Geometriesysteme zum Zeichnen
von Rechtecken
(K5)
• können beim Rechteck die Symmetrieachsen und das Zentrum der Drehsymmetrie angeben
(K2)
• Definition: Ein Viereck mit vier rechten
Innenwinkeln heißt Rechteck.
• Eigenschaften des Rechtecks:
− Die gegenüber liegenden Seiten sind
gleich lang.
− Die Diagonalen eines Rechtecks sind
gleich lang und halbieren einander.
− Ein Rechteck hat einen Umkreis.
• Definition: Ein Rechteck mit vier gleich
langen Seiten heißt Quadrat.
Flächeninhalt und Umfang
des Rechtecks
Die Schülerinnen und Schüler
• vergleichen Flächeninhalte von Figuren
durch Auslegen mit Quadraten und Auszählen
(K5)
• ergänzen und zerlegen Flächenstücke
zum Vergleich von Flächeninhalten (K2)
• zeichnen Rechtecke mit vorgegebenem
Flächeninhalt
(K5)
• schätzen den Inhalt von Flächen in ihrer
Umwelt
(K2)
• nennen Beispiele aus ihrer Umwelt für Flächeninhalte, die die Größenordnung der
Flächeneinheiten haben
(K3)
• bestimmen den Inhalt rechteckiger Flächen
aus dem Alltag durch Messen der Seitenlängen
(K5)
• verwenden sinnvolle Einheiten bei der Angabe von Flächeninhalten
(K4)
• rechnen Flächeneinheiten um
(K5)
• erläutern die Herleitung der Formel für den
Flächeninhalt eines Rechtecks
(K1)
• berechnen Flächeninhalt und Umfang von
Rechtecken und von Flächen, die sich in
Rechtecke zerlegen lassen
(K5)
• Flächeninhalt, Symbol A
• Definition: Das Quadrat mit der Seitenlänge 1 m hat den Flächeninhalt 1 Quadratmeter (1 m²).
• Untereinheiten der Einheit 1 m2:
1 dm2, 1 cm2 und 1 mm2
• Obereinheiten der Einheit 1 m2:
1 a, 1 ha und 1 km2
• Umrechnungszahl 100
• dezimale Schreibweise bei Flächeninhaltsangaben
• Satz: Das Rechteck mit den Seitenlängen a und b hat den Flächeninhalt A
mit A = a ⋅ b .
• Quadrat mit der Seitenlänge a :
A = a ⋅a = a 2
• Umfang eines Rechtecks als Summe der
Längen seiner Seiten, formal:
• U = a+b+a+b = 2⋅a+2⋅b = 2⋅(a+b)
Quadrat mit der Seitenlänge a :
U = 4⋅a
Mai 2013
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paralle
(K5)
3. Geometrische Grundbegriffe
Mathematik 5
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Flächeninhalt und Umfang
des Rechtecks (Fortsetzung)
Die Schülerinnen und Schüler
• berechnen aus dem Flächeninhalt bzw.
dem Umfang und der Angabe einer Seitenlänge die fehlende Seitenlänge
(K2)
• stellen zum Berechnen von Seitenlängen
Gleichungen auf, die sie durch Anwenden
von Rechenregeln und durch Umkehroperationen der Grundrechenarten lösen
(K2)
• bearbeiten Sachaufgaben zum Thema Flächeninhalt und Umfang
(K3)
• bestimmen in geeigneten Fällen bei gegebenem Flächeninhalt das Rechteck
mit dem kleinsten Umfang
(K2)
• bestimmen bei gegebenem Umfang das
Rechteck mit dem größten Inhalt
(K2)
• Variation von Flächeninhalt und Umfang
bei Rechtecken
• Satz: Unter allen Rechtecken mit gegebenem Flächeninhalt hat das Quadrat
den kleinsten Umfang.
• Satz: Unter allen Rechtecken mit gegebenem Umfang hat das Quadrat den
größten Flächeninhalt.
Das Bestimmen von Flächeninhalt und Umfang ist ein wesentlicher Bestandteil der
Leitidee „Messen“.
Hinweise
zu Lernbereich 3.2 (Betrachtungen am Rechteck)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
siehe Hinweise zum Lernbereich 3.1
Formeln stellen stets auch funktionale Zusammenhänge dar, z. B. ist der Flächeninhalte
eines Rechtecks funktional abhängig von Länge und Breite.
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
−
Lernbereich 4: euklidisches Parkettieren, ggT und kgV
Klassenstufe 6: Netze von Quadern
Klassenstufe 6: Symmetrische Figuren
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
Maße von Spielfeldern im Sport
Fakultative Inhalte
−
−
−
rechtwinklige Dreiecke
regelmäßiges Sechseck und Achteck
Umfang und Flächeninhalt des Kreises
(„Gittermethode“, „Kuchenmethode“, Messen mit dem Maßband)
Mai 2013
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4. Teilbarkeit der natürlichen Zahlen
Mathematik 5
Teilbarkeitsprobleme treten in vielen Bereichen der Alltagswelt auf. Sie sind Ausgangspunkt
der mathematischen Untersuchungen zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen, was das Verständnis über die Struktur dieses Zahlbereichs festigt und erweitert. Gleichzeitig werden wichtige
Grundlagen für das spätere Rechnen mit Brüchen geschaffen. In erster Linie ist somit die
Leitidee „Zahl“ angesprochen.
Den Schülerinnen und Schülern wird die zentrale Rolle der Primzahlen beim Aufbau der natürlichen Zahlen bewusst. Diese bestimmen die Teilerstruktur und alle davon abhängigen
Größen wie ggT und kgV. Zur Bestimmung von ggT und kgV wird bei großen Zahlen der
euklidische Algorithmus angewendet.
Bei der Behandlung der Teilbarkeitskriterien gewinnen die Schülerinnen und Schüler Einblick in das Begründen und Beweisen.
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Teiler und Vielfache
Die Schülerinnen und Schüler
• verwenden die Fachbegriffe und Fachsymbolik zur Teilbarkeit
(K6)
• verwenden ikonische Darstellungen zur
Veranschaulichung
(K4)
• erstellen Teilermengen in Tabellen durch
Hinzunahme des Ergänzungsteilers (K4)
• verwenden die aufzählende Mengenschreibweise für Teilermengen
(K4)
• zerlegen Zahlen bis 500 in Primfaktoren
(K2)
• weisen an Beispielen nach, dass die Primfaktorzerlegung bis auf die Reihenfolge der
Faktoren eindeutig ist
(K1)
• wenden das Sieb des Erathostenes zum
Auffinden der Primzahlen an und erläutern
das Vorgehen
(K5)
• nennen die Primzahlen bis 100
(K6)
• begründen, dass jede Zahl außer 1 mindestens zwei verschiedene Teiler hat
(K1)
• begründen, dass 1 keine Primzahl ist
(K1)
• geben die Teilermenge und die Vielfachenmenge der Zahl 0 an
(K2)
• Teiler und Teilermengen
• Bezeichnung: Eine natürliche Zahl a
nennt man Teiler der natürlichen Zahl b,
wenn b ohne Rest durch a dividiert werden kann.
• Symbol für „teilt“ bzw. „ist Teiler von“
• Definition: Eine natürliche Zahl p mit genau zwei Teilern heißt Primzahl.
• Unbegrenztheit der Primzahlenmenge
• Begriff des Primteilers
• Primfaktorzerlegung und deren Eindeutigkeit
• Vielfache und Vielfachenmengen
Mai 2013
29
4. Teilbarkeit der natürlichen Zahlen
Mathematik 5
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Teilbarkeit von Summe und Differenz
Die Schülerinnen und Schüler
• belegen die Teilbarkeitsregeln für Summe
und Differenz an Hand selbst gewählter
Zahlen
(K1)
• erläutern die Teilbarkeitsregeln für Summen anhand ikonischer Darstellungen
(K1)
• wenden die Teilbarkeitsregeln für Summe
und Differenz an
(K5)
• belegen, dass die Kehraussagen der Teilbarkeitsregeln für Summe und Differenz
falsch sind
(K1)
• zerlegen Zahlen geeignet in Summen bzw.
Differenzen, um eine Nichtteilbarkeit nachzuweisen
(K1)
• erläutern, dass eine Aussage durch die
Angabe eines Gegenbeispiels widerlegt
werden kann
(K1)
• verallgemeinern in Beispielen festgestellte
Eigenschaften zu Vermutungen
(K1)
• Teilbarkeit von Summen:
Wenn alle Summanden einer Summe
durch eine Zahl teilbar sind, dann ist die
Summe durch diese Zahl teilbar.
• Nichtteilbarkeit von Summen:
Wenn die Summanden einer Summe bis
auf einen durch eine Zahl teilbar sind,
dann ist die Summe durch diese Zahl
nicht teilbar.
• Aussagenwerte wahr (w) oder falsch (f)
Endstellen- und Quersummenregeln
Die Schülerinnen und Schüler
• wenden die Kriterien zur Teilbarkeit und
Nichtteilbarkeit an
(K5)
• testen Zahlen bis 500 auf Primzahleigenschaft
(K2)
• erstellen begründend auf den elementaren
Teilbarkeitsregeln weitere Regeln zur Teilbarkeit, z. B. durch 6 und 15
(K2)
• erläutern die Bedeutung der Wenn-dannStruktur am Beispiel der Teilbarkeitsregeln
(K1)
• Kriterien zur Teilbarkeit und Nichtteilbarkeit durch 2, 3, 5, 9, 10, z. B.:
- Wenn die Quersumme einer Zahl
durch 9 teilbar ist, dann ist auch die
Zahl selbst durch 9 teilbar
(und umgekehrt).
- Wenn die Endziffer einer Zahl 0 oder 5
ist, dann ist die Zahl durch 5 teilbar
(und umgekehrt).
Gemeinsame Teiler und Vielfache
Die Schülerinnen und Schüler
• finden in unterschiedlichen Teilermengen
die gemeinsamen Teiler
(K5)
• finden in unterschiedlichen Vielfachenmengen die gemeinsamen Vielfachen
(K5)
• erläutern, weshalb die Ausdrücke „kgT“
und „ggV“ unsinnig sind
(K1)
• finden den ggT zweier Zahlen bis 100
durch Probieren
(K2)
• setzen den euklidischen Algorithmus zur
Bestimmung des ggT zweier Zahlen (bis
5000) ein
(K5)
• finden das kgV zweier Zahlen bis 25 durch
Probieren
(K2)
• lösen Sachaufgaben zu ggT und kgV
(K3)
• gemeinsamer Teiler 1
• größter gemeinsamer Teiler (ggT)
• euklidischer Algorithmus:
arithmetisch und geometrisch
• teilerfremde Zahlen: ggT(a ; b ) = 1
• gemeinsames Vielfaches a ⋅ b
• kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Mai 2013
30
4. Teilbarkeit der natürlichen Zahlen
Mathematik 5
Hinweise
zu Lernbereich 4 (Teilbarkeit der natürlichen Zahlen)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
−
−
Sieb des Erathostenes an Hand einer 6-spaltigen Auflistung aller natürlicher Zahlen
euklidisches Parkettieren
gezieltes Durchmustern von Teilermengen und Vielfachenmengen
Die Begründungen der Teilbarkeitsregeln erfolgen an Hand der Umformung einfacher
Zahlenterme.
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
−
Klassenstufe 6: Vollständiges Kürzen von Brüchen, Hauptnenner
Klassenstufe 8: Irrationalitätsbeweise durch Widerspruch zur Eindeutigkeit der PFZ
Klassenstufe 9: (Linear)Faktorzerlegung von Polynomen
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
−
−
Schaltjahre und Schalttage im gregorianischen Kalender
Erathostenes (um 276 - um 197 v. Chr.)
Euklid (um 360 - um 300 v. Chr.)
Fakultative Inhalte
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Exemplarischer Zugang zum indirekten Beweis des Satzes von Euklid
„Es gibt unendlich viele Primzahlen“
über die Suche nach einem Primteiler der Zahl a = p1 ⋅ p2 ⋅ ... ⋅ pn + 1
Anzahl aller Teiler einer Zahl
Primzahlen > 3 sind Vorgänger oder Nachfolger von Vielfachen von 6
Goldbach-Vermutung: Jede gerade natürliche Zahl ist Summe zweier Primzahlen
ggT und kgV durch Betrachtung der Primfaktorzerlegungen finden
Formel: ggT( a; b ) ⋅ kgV( a; b ) = a ⋅ b
Menge der gemeinsamen Teiler als Teilermenge des ggT
Menge der gemeinsamen Vielfachen als Vielfachenmenge des kgV
Teilbarkeitsregeln für Teilbarkeit durch 4, 6, 8, 11
Tipps zur Informationsbeschaffung
−
−
Internetrecherche zu Primzahlen; größte bekannte Primzahl
Teilbarkeitsnachweise für Teilbarkeit durch 7 erkunden und anwenden
Mai 2013
31
Zum Umgang mit dem Lehrplan
Die jahrgangsbezogenen Teile des Lehrplans sind nach Lernbereichen gegliedert, denen
jeweils erläuternde Einleitungstexte vorangestellt sind.
Daran anschließend sind in zwei Spalten das verbindliche Fachwissen und die verbindlichen
Kompetenzschwerpunkte aufgeführt. Die Schwerpunkte knüpfen an die allgemeinen mathematischen Kompetenzen der Bildungsstandards an. Die im Lehrplan beschriebenen Schülertätigkeiten sind geeignet, die jeweils zugeordnete Kompetenz zu fördern. Die Zuordnung
schließt nicht aus, dass weitere Kompetenzen angesprochen werden können. Etwaige fakultative Inhalte finden sich unter den Hinweisen am Ende eines jeden Lernbereichs.
Die Kompetenzschwerpunkte sind bewusst detailliert beschrieben. Dies geschieht mit dem
Ziel, die Intensität der Bearbeitung möglichst präzise festzulegen. So kann vermieden werden, dass Lernbereiche entweder zu intensiv oder zu oberflächlich behandelt werden. Die
detaillierte Darstellung darf hierbei nicht als Stofffülle missverstanden werden. Der Lehrplan
beschränkt sich vielmehr auf wesentliche Inhalte und Themen, die auch Bezugspunkte für
schulische und schulübergreifende Leistungsüberprüfungen sind.
Als Richtwerte für die Gewichtung der verbindlich zu behandelnden Lernbereiche bei der
Planung des Unterrichts sind Prozentwerte angegeben. Darüber hinaus lässt der Lehrplan
Zeit für Vertiefungen, individuelle Schwerpunktsetzungen, fächerübergreifende Bezüge und
die Behandlung aktueller Themen.
Die Reihenfolge der Lernbereiche ist nur insoweit verbindlich, wie es sachlogisch geboten
erscheint. Darüber hinaus nimmt sie aber die methodisch-didaktischen Entscheidungen der
Lehrkraft nicht vorweg.
Jede Beschreibung eines Lernbereichs schließt im Lehrplan mit Hinweisen ab. Die Hinweise
sind inhaltlich gegliedert nach den Gesichtspunkten:
§ Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
§ Querverbindungen im Lehrplan
§ Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
§ Einsatz elektronischer Medien
§ Fakultative Inhalte
§ Tipps zur Informationsbeschaffung
Didaktisches Vorwort zum Lehrplan der Klassenstufe 6
Im Mittelpunkt des Unterrichts in der Klassenstufe 6 steht die Einführung der rationalen Zahlen. Die Schülerinnen und Schüler gewinnen Einsicht in die sachliche Notwendigkeit von
Zahlbereichserweiterungen. Dabei sollen Sinn tragende Vorstellungen sowohl von den
Bruchzahlen als auch von den negativen Zahlen entwickelt werden. Die Rechenregeln in den
neuen Zahlbereichen genügen der Forderung, dass die bereits behandelten Rechengesetze
und Verfahren erhalten bleiben (Permanenzprinzip). Neu hinzu kommen die Gesetze zu
Kehrzahl und Gegenzahl.
Im Bereich der Geometrie wird der Übergang von der Ebene in den Raum vielfältig durch
selbst gebastelte Modelle, zeichnerische Darstellungen, verbale und formale Beschreibungen und rechnerische Auswertungen begleitet. Die an den ebenen Figuren entwickelten
Grundbausteine, Erschließungsmuster und Begrifflichkeiten finden neue Anwendung. Besonderes Augenmerk wird auch auf die Entwicklung von Raumvorstellungen gelegt.
In Klassenstufe 6 wird ein wissenschaftlicher Taschenrechner (Grundrechenarten, Potenzen,
Kehrwerttaste, Gegenzahltaste, mehrere Klammerebenen, mehrere Zwischenspeicher,
Brucharithmetik) verpflichtend eingeführt. Hierauf kann nur dann verzichtet werden, wenn an
der Schule in der Klassenstufe 7 ein graphikfähiger Taschenrechner eingeführt wird.
Mai 2013
32
Lernbereiche der Klassenstufe 6
Lernbereiche Klassenstufe 6
Mathematik
1. Bruchzahlen
etwa 30 Prozent der Unterrichtszeit
1.1. Zahlbereichserweiterung von IN nach IB
Brüche
Erweitern und Kürzen von Brüchen
Dezimalbruchdarstellung
Hinweise
1.2. Rechnen mit Bruchzahlen
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Addieren und Subtrahieren von endlichen Dezimalbrüchen
Eigenschaften der Addition
Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
Multiplizieren und Dividieren von endlichen Dezimalbrüchen
Eigenschaften der Multiplikation
Verbinden der Rechenarten
Dichtheit von IB
Hinweise
2. Geometrische Körper
etwa 15 Prozent der Unterrichtszeit
Elementare Körper
Beschreibung und Eigenschaften von Körpern
Quader
Rauminhalt und Oberflächeninhalt des Quaders
Hinweise
3. Symmetrie
etwa 15 Prozent der Unterrichtszeit
Achsensymmetrie
Drehsymmetrie
Hinweise
4. Rationale Zahlen
etwa 40 Prozent der Unterrichtszeit
4.1. Zahlbereichserweiterung von IB nach Q
Größen mit negativen Maßzahlen
Positive und negative Zahlen
Rationale Zahlen
Anordnung der rationalen Zahlen
Zahl und Gegenzahl
Betrag
Erweiterung des Koordinatensystems auf vier Quadranten
Hinweise
4.2. Rechnen mit rationalen Zahlen
Addieren rationaler Zahlen
Subtrahieren rationaler Zahlen
Multiplizieren rationaler Zahlen
Dividieren rationaler Zahlen
Verbinden der Rechenarten
Hinweise
4.3. Terme, Gleichungen, Ungleichungen
Terme
Aussagen und Aussageformen
Gleichungen der Form a ⋅ x + b = c ⋅ x + d
Ungleichungen der Form a ⋅ x + b > c und a ⋅ x + b < c
Hinweise
Mai 2013
33
1. Bruchzahlen
Mathematik 6
Die Behandlung der Bruchzahlen hat überleitenden Charakter, da zentrale Lernbereiche aus
Klassenstufe 5 wieder aufgegriffen, jetzt aber von einem neuen übergeordneten Standpunkt
her systematisiert und erweitert werden.
Die Zahlbereichserweiterung von der Menge der natürlichen Zahlen zur Menge der Bruchzahlen wird getragen vom Leitgedanken des Permanenzprinzips und stützt sich auf die
Grundvorstellung von Bruchteilen. Ausgehend von anschaulichen Problemstellungen erkennen die Schülerinnen und Schüler den Nutzen des neuen Zahlbereichs – auch hinsichtlich
der Lösbarkeit von Gleichungen. Das Zurückstellen des negativen Vorzeichens hat dabei
den Vorteil, das verständige Verankern der neuen Zahlen im Alltag zu erleichtern (z. B. über
das Denken in Proportionalitäten), bevor eher formale Routinefertigkeiten greifen.
Angesprochen ist in diesem Lernbereich somit in erster Linie die Leitidee „Zahl“, im Rahmen
konkreter Visualisierungen auch die Leitidee „Messen“.
1.1. Zahlbereichserweiterung von IN nach IB
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Brüche
Die Schülerinnen
• Bruchteile von Größenwerten
(Wiederholung aus Klassenstufe 5)
• ein Bruch als
− mehrere Teile eines Ganzen
− ein Teil mehrerer Ganzer
− als Vorschrift zum Bilden von Anteilen
− die Lösung einer Gleichung der Form
b ⋅x = a , b ≠ 0
• Brüche und
− Punkte auf dem Zahlenstrahl
− Ergebnisse der Division natürlicher
a
Zahlen: a : b =
,b ≠0
b
• keine Einschränkung beim Dividieren
(Divisor ≠ 0)
• Bezeichnungen: echter und unechter
Bruch, Stammbruch
• gemischte Schreibweise
Die Schülerinnen und Schüler
• bestimmen Anteile und stellen sie graphisch dar
(K5)
• zeichnen in einfachen Fällen Zahlpunkte
zu Brüchen auf dem Zahlenstrahl ein
bzw. lesen Brüche zu Zahlenpunkten ab
(K5)
• formulieren Sachaufgaben zu Gleichungen der Form b ⋅ x = a
(K3)
• geben den Wert eines Quotienten als
Bruch an
(K4)
• wandeln unechte Brüche in die gemischte
Schreibweise um und lesen den ganzzahligen Anteil ab
(K5)
n
• identifizieren
mit n für alle natürlichen
1
Zahlen n
(K4)
Erweitern und Kürzen von Brüchen
• Erweitern eines Bruches bedeutet, Zähler
und Nenner mit derselben Zahl ≠ 0 multiplizieren
• Kürzen eines Bruches bedeutet, Zähler
und Nenner durch einen gemeinsamen
Teiler dividieren
• vollständig gekürzte Brüche
• verschiedene Brüche als Repräsentanten
der gleichen Bruchzahl
• gleichnamige Brüche
• Hauptnenner als kgV der Nenner von vollständig gekürzten Brüchen
• Anordnen von Brüchen bzw. Bruchzahlen
• Menge IB der Bruchzahlen
• Ð als Teilmenge von IB
Mai 2013
34
Die Schülerinnen und Schüler
• nutzen die Teilbarkeitskriterien beim Kürzen
(K5)
• untersuchen, ob zwei Brüche dieselbe
Bruchzahl repräsentieren
(K5)
• begründen, dass jede Bruchzahl durch
unendlich viele Brüche repräsentiert
werden kann
(K1)
• erläutern Erweitern und Kürzen am Kreisund am Rechteckdiagramm
(K4)
• bringen bis zu fünf Brüche auf den
Hauptnenner
(K5)
• skalieren den Zahlenstrahl geeignet im
Hinblick auf den Hauptnenner
(K3)
• ordnen Brüche bei gleichem Nenner oder
gleichem Zähler
(K1)
1. Bruchzahlen
Mathematik 6
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Dezimalbruchdarstellung
• Zehnerbrüche
• Erweitern der Stellenwerttafel,
Begriff der Dezimale
• Anordnen von Dezimalbrüchen
• Fortführen des Divisionsalgorithmus mittels
Kommaschreibweise
• endliche und periodische Dezimalbrüche
• Satz: Bei Verzicht auf die Periode 9 und
die Enddezimale 0 gilt: Für jede Bruchzahl
gibt es genau eine (entweder endliche oder periodische) Darstellung als Dezimalbruch.
• natürliche Zahlen in Dezimalbruchdarstellung
• Runden von Dezimalbrüchen
• Umwandeln der Darstellungen von Bruchzahlen
Die Schülerinnen und Schüler
• erweitern vollständig gekürzte Brüche,
deren Nenner nur die Primfaktoren 2 oder
auch 5 besitzen, auf Zehnerbrüche (K5)
• geben die Dezimalbruchdarstellungen der
1 1 1 1 1 1 1 1
Brüche
; ; ; ; ; ; ; an
(K5)
10 9 8 6 5 4 3 2
• wandeln einen Zehnerbruch in einen
endlichen Dezimalbruch um und umgekehrt
(K5)
• begründen, warum man bei einem Dezimalbruch am Ende Nullen weglassen
oder hinzufügen darf
(K1)
• verwenden das Periodensymbol
(K5)
• begründen, dass bei einem vollständig
gekürzten Bruch mit Nenner m die Periodenlänge der Dezimalbruchdarstellung
höchstens m − 1 beträgt
(K1)
• identifizieren periodische Dezimalbrüche
mit der Periode 9 mit dem zugehörigen
endlichen Dezimalbruch,
z. B. 2,39 = 2,4
(K1)
• bewerten die vom Taschenrechner angezeigte Ziffernfolge bei der Darstellung
von Dezimalbrüchen
(K1)
• wechseln von der Bruchdarstellung in die
Dezimalbruchdarstellung
(K4)
Hinweise
zu Lernbereich 1.1 (Zahlbereichserweiterung von IN nach IB )
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
−
−
−
Bei der Einführung der Brüche über die Gleichung b ⋅ x = a ist keine allgemeine
Behandlung des Themas „Gleichungen“ durchzuführen.
Der Abschnitt „Gleichungen“ wird nach der Einführung der rationalen Zahlen behandelt.
In passenden Kontexten können Brüche auch als Eintrittschance gedeutet werden.
Stammbrüche können auch als Quasi-Ordinalzahlen (z. B. jeder Dritte – im strikten und im
statistischen Sinne) interpretiert werden.
Das Umwandeln von unechten Brüchen in die gemischte Schreibweise kann über die Division mit Rest erfolgen.
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
Klassenstufe 5: Bruchteile, ggT und kgV, Teilbarkeitskriterien
Klassenstufe 8: Hauptnenner von Bruchtermen
Einsatz elektronischer Medien
−
Einfacher Taschenrechner zur Ergebniskontrolle
Fakultative Inhalte
−
Umwandlung von periodischen Dezimalbrüchen in Brüche
Mai 2013
35
1. Bruchzahlen
Mathematik 6
1.2. Rechnen mit Bruchzahlen
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Die Schülerinnen und Schüler
• verbalisieren die Additions- und Subtraktionsregeln und wenden sie an
(K6)
• veranschaulichen das Addieren und Subtrahieren an geeigneten Diagrammen
(K4)
• führen einfache Rechnungen im Kopf aus
(K5)
• Additionsregel und Subtraktionsregel für
gleichnamige und für ungleichnamige
Brüche
• Einschränkung beim Subtrahieren
Addieren und Subtrahieren von endlichen
Dezimalbrüchen
Die Schülerinnen und Schüler
• verbalisieren die Additions- und Subtraktionsregeln und wenden sie an
(K6)
• führen das Addieren und Subtrahieren auf
das Rechnen mit Zehnerbrüchen zurück
(K1)
• Additions- und Subtraktionsregel
• Einschränkung beim Subtrahieren
Eigenschaften der Addition
Die Schülerinnen und Schüler
• führen die Eigenschaften der Addition von
Brüchen und Dezimalbrüchen auf die
Eigenschaften der Addition natürlicher
Zahlen zurück
(K1)
• verschaffen sich Rechenvorteile
(K5)
• wählen beim Rechnen mit Brüchen oder
Dezimalbrüchen eine geeignete Zahldarstellung
(K4)
• Kommutativität (K+)
• Assoziativität (A+)
• Neutrales Element (N+)
Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
• Multiplikation einer natürlichen Zahl mit
einem Bruch als wiederholte Addition
• Bilden des Bruchteils durch Multiplikation
mit dem entsprechenden Bruch
• Multiplikation zweier Brüche
• Potenzen mit Brüchen als Basis und natürlichen Exponenten (Exponent > 1)
• Begriff des Kehrbruchs
• Division durch eine natürliche Zahl als
gleichmäßiges Aufteilen oder Verteilen
• Division durch einen Bruch über das Lösen
der Umkehraufgabe
• Division als Multiplikation mit dem Kehrbruch
• Division eines Bruchs durch eine natürliche
Zahl und die Division durch einen Bruch
• keine Einschränkung der Division in IB
(Divisor ≠ 0)
• Division einer Summe durch eine Zahl
• einfache Doppelbrüche
Mai 2013
36
Die Schülerinnen und Schüler
• veranschaulichen das Produkt aus einem
Bruch und einer natürlichen Zahl als
Bruchteil der natürlichen Zahl
(K4)
• veranschaulichen das Produkt zweier
Brüche geometrisch
(K4)
• verbalisieren die Multiplikationsregeln
und wenden sie an
(K6)
• kürzen in Produkten mit mehreren Faktoren
(K5)
• grenzen Potenzieren und Multiplizieren
voneinander ab
(K5)
• verbalisieren die Divisionsregeln und
wenden sie an
(K6)
p
• identifizieren p :q mit
für alle Brüche
q
(K4)
p und q ( q ≠ 0 )
• berechnen die Werte von Doppelbrüchen
(K5)
• kontrollieren Ergebnisse durch Überschlagsrechnung
(K3)
1. Bruchzahlen
Mathematik 6
1.2. Rechnen mit Bruchzahlen
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Multiplizieren und Dividieren von
endlichen Dezimalbrüchen
• Multiplizieren mit und Dividieren durch
Zehnerpotenzen
• Produkte aus endlichen Dezimalbrüchen
• Quotienten aus endlichen Dezimalbrüchen
Eigenschaften der Multiplikation
•
•
•
•
•
Die Schülerinnen und Schüler
• verschaffen sich Rechenvorteile, auch
durch Ausklammern und Ausmultiplizieren
(K5)
• begründen durch Gegenbeispiele, dass
die Division durch eine Summe nicht
distributiv ist
(K1)
• wählen beim Rechnen mit Brüchen oder
Dezimalbrüchen eine geeignete Zahldarstellung
(K4)
•
Kommutativität (K )
Assoziativität (A•)
Neutrales Element (N•)
Distributivität
Kehrbruch:
a
Zu jedem Bruch
≠ 0 gibt es den
b
b
a b
Kehrbruch
mit
⋅ =1 .
a
b a
Verbinden der Rechenarten
Die Schülerinnen und Schüler
• begründen in allen vier Grundrechenarten
an Hand von Beispielen, dass die Ergebnisse unabhängig von der Darstellung der
Bruchzahlen sind
(K1)
• vereinfachen Terme mit allen vier Grundrechenarten
(K3)
• lösen Textaufgaben, bei denen mehrere
Rechenarten und Zahldarstellungen vorkommen
(K5)
• Unabhängigkeit von der Darstellung
− Verträglichkeit mit dem Rechnen in IN
− Unabhängigkeit der Ergebnisse von der
Zahldarstellung
• Terme mit mehreren Rechenarten und
unterschiedlichen Zahldarstellungen
Dichtheit von IB
Die Schülerinnen und Schüler
• veranschaulichen am Zahlenstrahl den
arithmetischen Mittelwert
(K5)
• begründen, dass man zwischen zwei
verschiedenen Zahlen aus IB immer
eine weitere Bruchzahl findet
(K1)
• arithmetischer Mittelwert
− zweier Zahlen
− mehrerer Zahlen
• Abgeschlossenheit der Mittelwertbildung
in IB im Vergleich zu IN
Die Mittelwertbildung greift die Leitidee „Daten
und Zufall“ auf.
Mai 2013
Die Schülerinnen und Schüler
• entwickeln die Regeln, z. B. durch vergleichendes Bruchrechnen
(K3)
• verbalisieren die Kommasetzungs- und
Kommaverschiebungsregeln und wenden
sie an
(K5)
• erläutern Kommasetzung und Kommaverschiebung an geeigneten Beispielen
(K6)
37
1. Bruchzahlen
Mathematik 6
Hinweise
zu Lernbereich 1.2 (Rechnen mit Bruchzahlen)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
−
−
−
−
Die Addition sollte an konkreten Modellen, u. a. Pizzamodell und Fliesengitter, veranschaulicht werden.
Die zusammenhängende Behandlung der Rechenoperationen betont inhaltliche Aspekte
gegenüber den Kalkülen.
Das Permanenzprinzip dient als grundlegendes Element bei Zahlbereichserweiterungen.
Die Addition bzw. Subtraktion von Brüchen ist in geeigneten Fällen auch ohne Bestimmung des Hauptnenners durchzuführen.
Im Lehrplan werden die folgenden Sprechweisen verwendet: Ein Bruch und ein Dezimalbruch sind unterschiedliche „Darstellungen“ einer Bruchzahl; zwei verschiedene Brüche
sind unterschiedliche „Repräsentanten“ einer Bruchzahl.
Unter „Verteilen“ versteht man eine Division von Größen, bei der Dividend und Divisor die
gleiche Maßeinheit haben. Beim „Aufteilen“ ist der Divisor dimensionslos.
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
Klassenstufe 5: Eigenschaften der Addition und der Multiplikation in IN
Klassenstufe 5: Potenzbegriff
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
Mittelwertbildung beim Auswerten von Messreihen, z. B. von Temperaturtabellen
Einsatz elektronischer Medien
−
−
Taschenrechner zur Ergebniskontrolle
Wikis mit realmath.de zum selbstständigen Üben
Fakultative Inhalte
−
−
harmonischer Mittelwert zweier Zahlen
Nummerieren bzw. Abzählen der Bruchzahlen, z. B. nach Georg Cantor (1845-1918)
Mai 2013
38
2. Geometrische Körper
Mathematik 6
Sowohl die anschauliche als auch die formale Erfassung der dritten Dimension stellt für viele
Schülerinnen und Schüler eine Herausforderung dar. Diese liegt in inhaltlichen und begrifflichen Analogien, aber auch in Neuerungen zu den ebenen Figuren – oftmals verbunden mit
dem Wunsch nach einer zweidimensionalen Darstellung von Körpern – und in der Auseinandersetzung mit konkreten Situationen. Ikonische Vorstellungen und Beschreibungen
korrespondieren hier mit manuellen Erfahrungen beim Basteln und Hantieren mit Modellen.
In wirklichkeitsnahen Aufgaben sind die Schülerinnen und Schüler gefordert, die verschiedenen Mittel flexibel einzusetzen.
Dieser Lernbereich wird von den Leitideen „Raum und Form“ sowie „Messen“ getragen.
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Elementare Körper
Die Schülerinnen und Schüler
• ordnen Gegenstände des Alltags und
Grundkörper einander zu
(K3)
• benennen in ihrer Umwelt einfache geometrische Körper
(K3)
• unterscheiden Polyeder von Körpern, die
von gekrümmten Flächen begrenzt sind
• vergleichen Körper anhand gemeinsamer
und unterschiedlicher Eigenschaften
(K3)
• Einfache Polyeder
− Quader, Würfel
− Prisma
− Pyramide
• Einfache Körper mit gekrümmten Flächen
− Zylinder
− Kegel
− Kugel
Beschreibung und Eigenschaften
von Körpern
Die Schülerinnen und Schüler
• verwenden die Fachbegriffe bei der
Beschreibung von Körpern
(K6)
• beschreiben bei Polyedern die begrenzenden Flächen, deren Anzahlen und
Deckungsgleichheiten
(K2)
• bauen Kantenmodelle von Polyedern
(K5)
• zeichnen Netze von Quadern, Prismen
und Pyramiden und bauen damit Flächenmodelle
(K5)
• entdecken und überprüfen an geeigneten
Polyedern die Eulersche Polyederformel
(K1)
• Grundbegriffe
− Ecke, Kante, Fläche
− Seitenfläche, Grundfläche, Mantel,
Oberfläche
− Raumdiagonalen, Flächendiagonalen
− Netz (von Polyedern)
• Eulersche Polyederformel: e + f = k + 2
• Nichtabwickelbarkeit der Kugeloberfläche
Quader
• Definition: Ein Körper, der von genau
sechs Rechtecken begrenzt wird, heißt
Quader.
• Eigenschaften des Quaders
− in jeder Ecke stoßen drei Kanten
(paarweise) senkrecht aufeinander
− gegenüberliegende Rechtecke sind
parallel und deckungsgleich
− jeweils vier Kanten sind parallel
und gleich lang
• Schrägbilder von Quadern
• Definition: Ein Quader, dessen begrenzende Flächen Quadrate sind, heißt Würfel.
Mai 2013
39
Die Schülerinnen und Schüler
• zeichnen unterschiedliche Netze des
selben Quaders
(K2)
• identifizieren in Quadernetzen aufeinander fallende Ecken und Kanten (K2)
• zeichnen Schrägbilder von Quadern vorgegebener Kantenlängen
(K5)
• ermitteln die elf unterschiedlichen Netze
von Würfeln
(K2)
• nutzen Geometriesysteme zum Zeichnen
von Schrägbildern
(K5)
2. Geometrische Körper
Mathematik 6
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Rauminhalt und Oberflächeninhalt
des Quaders
• Raum und Rauminhalt
(Volumen, Symbol V )
• Definition: Ein Kubikmeter (Symbol 1 m3)
ist der Rauminhalt des Würfels mit der
Kantenlänge 1 m.
• Untereinheiten der Einheit 1 m3:
1 dm3, 1 cm3, 1 mm3
• Umrechnung mit 1000,
Kommaverschiebung um 3 Stellen
• Obereinheit der Einheit 1 m3: 1 km3
• Literskala: 1 l = 1 dm3 ; 1ml = 1 cm3 ;
1hl = 100 l ; 1 dl = 0,1 l ; 1 cl = 0,01 l
• Additivität des Rauminhaltes
• Satz: Der Quader mit den Kantenlängen
a , b und c hat das Volumen V mit
V = a ⋅b ⋅c
• Rauminhalt eines Quaders als Produkt von
Grundflächeninhalt und Höhe: V = G ⋅ h
• Satz: Der Würfel mit der Kantenlänge a
hat das Volumen V mit V = a 3 .
• Oberflächeninhalt des Quaders als Summe
der Flächeninhalte seiner Seitenflächen
O = 2 ⋅ a ⋅ b + 2 ⋅ a ⋅c + 2 ⋅ b ⋅c
= 2 ⋅ (a ⋅ b + a ⋅ c + b ⋅ c )
• Oberflächeninhalt des Würfels mit der Kantenlänge a
O = 6 ⋅a 2
• Nichtadditivität des Oberflächeninhaltes
beim Zusammensetzen von Körpern
Jede Formel ist Ausdruck der Leitidee „Funktionaler Zusammenhang“.
Mai 2013
40
Die Schülerinnen und Schüler
• bestimmen Rauminhalte von Körpern
durch Ausfüllen mit Würfeln und Auszählen
(K5)
• begründen den Satz über den Rauminhalt
eines Quaders
(K1)
• bestimmen den Rauminhalt quaderförmiger Körper aus dem Alltag mittels Messen
der Kantenlängen
(K5)
• verwenden angemessene Einheiten bei
der Angabe von Rauminhalten
(K4)
• rechnen das Volumen eines Körpers in
unterschiedliche Volumeneinheiten um
(K5)
• nennen Beispiele aus ihrer Umwelt für
Körper, die näherungsweise das Volumen
der Einheitskörper haben
(K3)
• schätzen den Rauminhalt von Körpern in
ihrer Umwelt
(K2)
• berechnen aus dem Rauminhalt und dem
Grundflächeninhalt die Höhe sowie aus
dem Rauminhalt und der Höhe den
Grundflächeninhalt
(K2)
• berechnen aus dem Oberflächeninhalt
und zwei Kantenlängen die fehlende
Kantenlänge
(K2)
• bestimmen aus dem Oberflächeninhalt
und einer Kantenlänge mögliche Längen
der beiden fehlenden Kanten
(K2)
• beschreiben die Änderungen des Rauminhaltes bei Änderungen von Kantenlängen
(K2)
• berechnen den Rauminhalt und den
Oberflächeninhalt von Quadern und von
Körpern, die sich in Quader zerlegen
oder zu Quadern ergänzen lassen (K2)
• bearbeiten Sachaufgaben zum Thema
Rauminhalt und Oberflächeninhalt (K3)
• erfinden Sachaufgaben zum Thema
Rauminhalt und Oberflächeninhalt (K3)
2. Geometrische Körper
Mathematik 6
Hinweise
zu Lernbereich 2 (Geometrische Körper)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
Bei der Beschreibung der Körper beschränke man sich auf gerade Prismen, gerade
Zylinder, regelmäßige Pyramiden und gerade Kegel.
Bei Schrägbildern bewähren sich die Kabinettprojektionen mit Winkel vom Maß 45°.
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
−
−
Klassenstufe 5: ggT und kgV
Klassenstufe 5: Flächeninhalt des Rechtecks
Lernbereich 4.3: Terme und Gleichungen
Klassenstufe 10: Stereometrie
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
−
−
−
Projektionen der Erdoberfläche bei Landkarten
perspektivische Darstellungen in Gemälden, insbesondere als Kontrastierung zu den
Schrägbildern
Bedeutung von Volumen und Oberfläche für den Energiehaushalt von Lebewesen und bei
Gebäuden; Verdunstung
Leonhard Euler (1707-1783)
Einsatz elektronischer Medien
−
Programme zu 3 D-Darstellungen
Fakultative Inhalte
−
−
−
−
Projekt: Erstellen des Pappemodells einer fiktiven Stadt
Volumenvergleiche durch Umfüllen: Prisma – Pyramide, Zylinder – Kegel – Halbkugel
bei gleicher Höhe und Grundfläche, z. B.
1
2
V Kegel = ⋅V Zylinder , V Halbkugel = ⋅V Zylinder
3
3
Symmetrieeigenschaften des Quaders
Würfel als Quader mit extremalen Eigenschaften
Mai 2013
41
3. Symmetrie
Mathematik 6
Der Unterricht orientiert sich am Leitbegriff „Symmetrie“ und folgt damit sowohl abbildungsals auch kongruenzgeometrischen Ansätzen. Es gilt, den Blick der Schülerinnen und Schüler
für geometrische Strukturen ihrer Umwelt zu schärfen und die Zusammenhänge logisch zu
begründen, ohne in eine strenge Axiomatik zu verfallen. Bezogen auf die Bildungsstandards
tritt an dieser Stelle die Leitidee „Funktionaler Zusammenhang“ neben die Leitidee „Raum
und Form“.
Die Anwendung dynamischer Geometriesoftware fördert dabei das lokale Ordnen. Der Einsatz des Computers ergänzt und erweitert das händische Arbeiten (z. B. mit Papier und
Schere bzw. mit Geodreieck und Zirkel). Die Schwierigkeiten in der manuellen Ausführung
und in der sprachlichen Begleitung dürfen nicht unterschätzt werden.
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Achsensymmetrie
Die Schülerinnen und Schüler
• stellen achsensymmetrische Figuren
durch Falten, Färben oder Ausschneiden
her
(K5)
• identifizieren achsensymmetrische
Figuren aus dem Alltag
(K3)
• untersuchen die Achsensymmetrie von
Figuren mit Hilfe eines Spiegels
(K2)
• zeichnen mit Hilfe des Geodreiecks
Symmetrieachsen von Figuren
(K2)
• folgern den Basiswinkelsatz aus der
Definition der Achsensymmetrie
(K1)
• erläutern die logische Struktur des Satzes
über die Mittelsenkrechte durch Aufgliedern in zwei Wenn-dann-Aussagen (K6)
• errichten mit Zirkel und Lineal die Senkrechte auf einer Geraden in einem Punkt
der Geraden
(K5)
• fällen mit Zirkel und Lineal das Lot auf
eine Gerade von einem Punkt außerhalb
der Geraden
(K5)
• spiegeln Punkte an Geraden
(K5)
• halbieren Strecken und Winkel
(K5)
• führen Grundkonstruktionen auch mit
einem Geometriesystem durch
(K5)
• Definition: Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie durch Umklappen um
eine Gerade mit sich zur Deckung gebracht werden kann.
• Symmetrieachse
• Mittelsenkrechte der Strecke PP ' als
Symmetrieachse der Figur aus den Punkten P und P ′ , Symbol m
PP '
• gleichschenklige Dreiecke als achsensymmetrische Dreiecke
• Basis, Schenkel, Basiswinkel, Winkel an
der Spitze
• Basiswinkelsatz: Im gleichschenkligen
Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.
• gleichseitige Dreiecke
• Satz: Die Mittelsenkrechte m PP' ist die
Menge aller Punkte, die von P und P ′
gleich weit entfernt sind.
• Grundkonstruktion: Mittelsenkrechte
• Konstruktion von Lotgeraden, Mittel- und
Spiegelpunkten und Winkelhalbierenden
Drehsymmetrie
Die Schülerinnen und Schüler
• identifizieren drehsymmetrische Figuren
aus dem Alltag
(K3)
• bestimmen das Drehzentrum Z und die
Maße der Drehwinkel
(K3)
• untersuchen die Drehsymmetrie von
Rechtecken und Quadraten
(K2)
• prüfen Figuren mit Zirkel und Winkelmesser auf Drehsymmetrie
(K2)
• erzeugen punktsymmetrische Figuren
mit Zirkel und Lineal
(K5)
• erzeugen drehsymmetrische Figuren
auch mit Hilfe eines Geometriesystems
(K5)
• Definition: Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn sie durch eine Drehung mit
einem Zentrum Z um einen Winkel mit
dem Maß α ( α ≠ 0 0 , α ≠ 360 0 ) mit sich
zur Deckung gebracht werden kann.
• Drehzentrum, Drehwinkel
• Definition: Eine drehsymmetrische Figur
heißt punktsymmetrisch, wenn ein Drehwinkel das Maß 180° hat.
Mai 2013
42
3. Symmetrie
Mathematik 6
Hinweise
zu Lernbereich 3 (Geometrische Abbildungen)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
Die Definition von „achsensymmetrisch“ bezieht sich auf konkrete reale Figuren;
der abbildungsgeometrische Ansatz wird nicht thematisiert.
Beispielhaft können behandelt werden:
- Symmetrie von Großbuchstaben des Alphabets (Schrifttyp beachten)
- symmetrische Figuren auf dem Geobrett
- näherungsweise Symmetrie von Gesichtern
- Experimente mit Spiegel, Zylinderlinse, Spirograph.
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
−
Klassenstufe 7: Kongruenz
Klassenstufe 8: Symmetrien im Haus der Vierecke
Klassenstufe 9: Symmetrie von Funktionen
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
−
−
Reflexionsgesetz, Fermat-Prinzip der Lichtausbreitung, Pierre de Fermat (1601-1665)
Rosetten und andere Symmetriemuster in der Architektur
Analysieren von Symmetrie-Mustern von Maurits Cornelis Escher (1898-1972)
Einsatz elektronischer Medien
−
Geometriesysteme
Fakultative Inhalte
−
−
Sternvielecke (Bezüge zur Teilbarkeit)
Verschiebungssymmetrie
Mai 2013
43
4. Rationale Zahlen
Mathematik 6
Negative Zahlen begegnen Schülerinnen und Schülern im Alltag sowie in etlichen Sachgebieten der Schule. Die mit der eingeschränkten Durchführbarkeit von Subtraktionen verbundene Unmöglichkeit der mathematischen Beschreibung gewisser realer Gegebenheiten
stellt einen erkennbaren Mangel der Bruchzahlen dar. Das bisher nur als Rechenzeichen
bekannte Minuszeichen wird nun auch als Vorzeichen sowie als Zeichen für die Gegenzahl
verwendet. Die begriffliche Arbeit erfordert hier besondere Sorgfalt.
Die Zahlbereichserweiterung von der Menge IB der Bruchzahlen zur Menge Q der rationalen Zahlen wird wieder vom Permanenzprinzip geleitet; dabei ist eine der Klassenstufe gemäße Balance zwischen Anschaulichkeit und Strenge zu finden. Bei der Festlegung der Rechenregeln sollten anschauliche Modelle vorrangig eingesetzt werden. Am Beispiel des Produktes zweier negativer Zahlen werden jedoch die Unverzichtbarkeit und die Mächtigkeit
formalen Vorgehens nach dem Permanenzprinzip deutlich.
Der Umgang mit den neuen Zahlen in Termen, Gleichungen und Ungleichungen lässt sich
kontextbezogen festigen. Die Interpretation von Aufgabentexten und das Entwickeln der
passenden mathematischen Modelle sind ebenso Gegenstand der Betrachtungen wie der
Kalkül. Die Komplexität von Rechenaufgaben sollte auf ein angemessenes Maß beschränkt
bleiben.
Die Leitidee „Zahl“ prägt die Inhalte dieses Lernbereichs.
4.1. Zahlbereichserweiterung von IB nach Q
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Größen mit negativen Maßzahlen
Die Schülerinnen und Schüler
• interpretieren Sachtexte, Tabellen und
Diagramme, in denen negative Maßzahlen auftreten
(K3)
• veranschaulichen negative Maßzahlen an
geeigneten Skalen
(K4)
• erstellen Kontotabellen zu vorgegebenen
Einzahlungen und Auszahlungen (K4)
• lösen und stellen Textaufgaben zu Größen mit negativen Maßzahlen im Kontext
(K3)
• negative Maßzahlen bei Temperatur, Höhenlage, Wasserpegel, Kontostand
Positive und negative Zahlen
• Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengeraden
• Punkte auf der Zahlengeraden
• Minuszeichen und Pluszeichen als Vorzeichen (Zahlzeichen)
• positive und negative Zahlen
Rationale Zahlen
Die Schülerinnen und Schüler
• weisen Zahlen den Mengen Q, 9 bzw. Ð
zu und umgekehrt
(K1)
• erstellen ein Venn-Diagramm zu den
Zahlenmengen Q, IB , 9, Ð
(K4)
• identifizieren Brüche mit negativen Zählern und positiven Nennern als negative
−2
2
Zahl, z. B.
(K5)
=−
3
3
• Menge Q der rationalen Zahlen
• Menge 9 der ganzen Zahlen
9 = { . . . ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . . }
• Einbettung der Menge 9
• Einbettung der Menge IB , Symbol Q 0+
• Einbettung der Menge Ð , Symbol 9 0+
Mai 2013
Die Schülerinnen und Schüler
• ordnen Zahlpunkte der Zahlengeraden
positiven und negativen Zahlen zu (K4)
• unterscheiden zwischen Vorzeichen und
Rechenzeichen
(K4)
• unterscheiden zwischen Zahlklammern
und Rechenklammern
(K4)
44
4. Rationale Zahlen
Mathematik 6
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Anordnung der rationalen Zahlen
• Vergleichsrelationen bei rationalen Zahlen
• Vorgänger und Nachfolger ganzer Zahlen
Zahl und Gegenzahl
• Begriff der Gegenzahl
• Symbol −a , Gegenzahlzeichen
• Gegenzahl der Gegenzahl: − ( − a
Die Schülerinnen und Schüler
• spiegeln Zahlpunkte am Nullpunkt (K4)
• beschreiben die Lage der Zahlpunkte von
Zahl und Gegenzahl auf der Zahlengeraden
(K6)
• erklären, warum − a entweder eine
positive oder eine negative Zahl oder die
Zahl 0 darstellen kann
(K1)
• erläutern die Bedeutung von Identitäten
wie − (+ 5 ) = − 5 und − (− 5 ) = 5
(K6)
)=a
Betrag
Die Schülerinnen und Schüler
• bestimmen den Betrag von Zahlen (K5)
• erläutern, dass Zahl und Gegenzahl den
gleichen Betrag haben
(K1)
• Definition: Der Betrag einer Zahl a ist die
Maßzahl des Abstandes des Zahlpunktes
zum Nullpunkt. Symbol a
 a , falls a positiv

• a =  0 , falls a = 0
 − a , falls a negativ
Erweiterung des Koordinatensystems
auf vier Quadranten
• negative Koordinaten
• Nummerierung der Quadranten
• erste und zweite Winkelhalbierende
Mai 2013
Die Schülerinnen und Schüler
• lesen Zahlen zu Zahlpunkten auf der Zahlengeraden ab
(K4)
• zeichnen die Zahlpunkte zu negativen
Zahlen auf der Zahlengeraden ein (K4)
• bestimmen Vorgänger und Nachfolger
ganzer Zahlen
(K1)
• ermitteln anhand der Zahlengeraden den
Mittelwert zweier Zahlen
(K2)
• ordnen (bis zu fünf) Zahlen, auch in
unterschiedlichen Darstellungen
(K1)
• erläutern Widersprüche bei umgangssprachlichen Größenvergleichen (z. B.
höhere Schulden, größere Tiefe)
(K6)
Die Schülerinnen und Schüler
• lesen die Koordinaten von Punkten in den
vier Quadranten ab
(K4)
• tragen Punkte mit vorgegebenen Koordinaten ins Koordinatensystem ein (K4)
• spiegeln und verschieben Punkte im Koordinatensystem
(K5)
• veranschaulichen zeitliche Größenänderungen in Diagrammen (z. B. Temperaturverlauf an einem Wintertag)
(K3)
45
4. Rationale Zahlen
Mathematik 6
Hinweise
zu Lernbereich 4.1 (Zahlbereichserweiterung von IB nach Q)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
Es empfiehlt sich zunächst die durchgängige Verwendung von Zahlklammern, insbesondere auch für positive Zahlen.
Die Gegenzahl wird vorerst lediglich als Spiegelzahl ohne Bezugnahme auf Rechenoperationen thematisiert.
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
−
−
−
−
Klassenstufe 5:
Lernbereich 1.1:
Lernbereich 1.4:
Lernbereich 3:
Lernbereich 4.3:
Klassenstufe 8:
Anordnen von natürlichen Zahlen
Anordnen von Bruchzahlen
Dichtheit von IB
Symmetrie
Gleichungen
Betragsfunktion
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
−
−
−
Gradnetz der Erde
Höhenprofile, z. B. Jordangraben mit Totem Meer, Marianengraben
Stollentiefe im Bergbau
John Venn (1834-1923)
Einsatz elektronischer Medien
−
Koordinatensysteme bei dynamischen Geometriesystemen
Mai 2013
46
4. Rationale Zahlen
Mathematik 6
4.2. Rechnen mit rationalen Zahlen
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Addieren rationaler Zahlen
• Additionsregel:
− Zwei Zahlen mit gleichen Vorzeichen
werden addiert, indem man ihre Beträge
addiert und das gemeinsame Vorzeichen
setzt.
− Zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden addiert, indem man vom
größeren Betrag den kleineren subtrahiert und das Vorzeichen der betragsgrößeren Zahl setzt.
• Eigenschaften (K+), (A+), (N+)
• Gegenzahl als inverses Element (I+):
Zu jeder Zahl a gibt es eine Gegenzahl
− a mit a + (− a ) = 0 .
• Gegenzahl einer Summe:
− ( a + b ) = ( − a ) + (− b )
Subtrahieren rationaler Zahlen
• Subtraktion als Addition der Gegenzahl
• Subtraktionsregel:
Eine Zahl wird subtrahiert, indem man ihre
Gegenzahl addiert.
a − b = a + (− b )
• keine Einschränkung beim Subtrahieren
• Lösungen von Gleichungen der Form
a + x = b mit a , b ∈ IB , auch für b < a
• anschauliche Bedeutung des Betrags der
Differenz zweier Zahlen als Maßzahl des
Abstandes ihrer Zahlpunkte
Mai 2013
47
Die Schülerinnen und Schüler
• veranschaulichen die Additionsregel mit
Hilfe von Pfeilen an der Zahlengeraden
(K4)
• geben die Additionsregeln im Wortlaut
wieder
(K6)
• bestätigen, dass die Additionsregel im
Falle positiver Summanden den vertrauten Summenwert liefert
(K1)
• bestätigen die Kommutativität und Assoziativität der Addition an Zahlenbeispielen
(K5)
• vergleichen in konkreten Fällen die Gegenzahl einer Summe mit der Summe
der Gegenzahlen
(K5)
• übersetzen verbal beschriebene Terme
zu Summe und Gegenzahl in die Symbolsprache und umgekehrt
(K6)
Die Schülerinnen und Schüler
• entwickeln die Subtraktionsregel mit Hilfe
von Pfeilen an der Zahlengeraden (K1)
• geben das Vorzeichen des Wertes einer
Differenz ohne Umschweife an
(K1)
• berechnen Differenzen rationaler Zahlen
(K5)
• ergänzen Subtraktions- und Additionstabellen, auch in der Eingangszeile oder
in der Eingangsspalte
(K5)
• identifizieren in (Zahlen)Termen die
unterschiedlichen Minuszeichen
(K6)
• unterscheiden in Termen die unterschiedliche Bedeutung von Minuszeichen (K5)
• verschmelzen Vorzeichen, Gegenzahlzeichen und Rechenzeichen soweit wie
möglich
(K5)
• lösen Gleichungen der Form a + x = b
(K5)
• stellen Gleichungen der Form a + x = b
bei vorgegebener Lösung auf
(K2)
4. Rationale Zahlen
Mathematik 6
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Multiplizieren rationaler Zahlen
Die Schülerinnen und Schüler
• geben die Multiplikationsregel im Wortlaut
wieder
(K6)
• bestätigen, dass die Multiplikationsregel
im Falle positiver Faktoren den vertrauten
Produktwert liefert
(K1)
• erläutern, dass die Multiplikationsregel für
Produkte mit mindestens einem negativen
Faktor vereinbar mit dem Distributivgesetz ist (Permanenz)
(K1)
• erläutern, wie man bei Produkten mit
mehreren Faktoren das Vorzeichen des
Produktes bestimmt
(K1)
• berechnen Potenzen mit natürlichem
Exponenten und rationaler Basis
(K5)
• führen Rechnungen aus, in denen Gegenzahlbildung und Multiplikation auftreten
(K5)
• erweitern mit negativen Zahlen und
kürzen durch negative Zahlen
(K5)
• erläutern, dass die Regeln für Multiplikation und Gegenzahlbildung vereinbar mit
dem Distributivgesetz sind (Permanenz)
(K1)
• bilden die Kehrzahlen rationaler Zahlen
(K5)
• unterscheiden die Begriffe Kehrzahl und
Gegenzahl
(K6)
• bestätigen an Beispielen, dass Kehrzahlbildung und Gegenzahlbildung ver1
1
tauschbar sind, z. B.
(K1)
= −
−3
3
• Multiplikationsregel:
Zwei Zahlen mit gleichen (verschiedenen)
Vorzeichen werden multipliziert, indem
man ihre Beträge multipliziert und das
positive (negative) Vorzeichen setzt.
• Eigenschaften (K⋅), (A⋅), (N⋅)
• Vorzeichen bei Mehrfachprodukten und
Potenzen mit natürlichen Exponenten
(Exponent > 1)
• Regeln für Multiplikation und Gegenzahlbildung:
(− 1) ⋅ a = − a , (− a ) ⋅ (− b ) = a ⋅ b ,
(− a ) ⋅ b = a ⋅ (− b ) = − ( a ⋅ b ) = − a ⋅ b
• Nullproduktsatz für rationale Zahlen
• Begriff der Kehrzahl, Symbol
1
a
• Kehrzahl als inverses Element (I ⋅):
Zu jeder Zahl a ≠ 0 gibt es eine Kehrzahl
1
1
mit a ⋅ = 1 .
a
a
• Kehrbruch als Repräsentant der Kehrzahl
• Kehrzahl der Kehrzahl
• Kehrzahl der Gegenzahl
Dividieren rationaler Zahlen
• Division als Multiplikation mit der Kehrzahl
• Divisionsregel:
Durch eine rationale Zahl ( ≠ 0 ) wird dividiert, indem man mit ihrer Kehrzahl multipliziert.
Mai 2013
48
Die Schülerinnen und Schüler
• machen die Probe bei Divisionen über die
Umkehraufgabe
(K1)
• begründen die Vorzeichenregeln beim
Dividieren mit Hilfe der Multiplikationsregeln und den Regeln für das Bilden der
Kehrzahl
(K1)
4. Rationale Zahlen
Mathematik 6
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Verbinden der Rechenarten
• Erhalt der Recheneigenschaften aus IB
• Plusklammerregel:
Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer,
so kann man die Klammer weglassen.
a + ( b +c ) = a + b +c
a + ( b −c ) = a + b −c
• Minusklammerregel:
Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer,
so kann man die Klammer nur weglassen,
wenn man in der Klammer das Rechenzeichen „+“ durch „-“ ersetzt und umgekehrt.
a − ( b +c ) = a − b −c
a − ( b −c ) = a − b +c
• Vorrangregel
• Distributivität
a ⋅( b +c ) = a ⋅ b + a ⋅c
a ⋅( b −c ) = a ⋅ b − a ⋅ c
• Ausmultiplizieren und Ausklammern
Die Schülerinnen und Schüler
• führen die Minusklammerregel auf die
Eigenschaften der Gegenzahl zurück
(K1)
• verschaffen sich Rechenvorteile durch
Anwenden der Klammerregeln
(K5)
• klammern negative Faktoren aus
(K5)
• berechnen Terme mit bis zu zwei geschachtelten Klammern
(K5)
• berechnen Terme mit bis zu sechs rationalen Zahlen
(K5)
• erläutern beim Berechnen von Termen
ihr Vorgehen
(K6)
• lösen und stellen Textaufgaben
(K2)
Hinweise
zu Lernbereich 4.2 (Rechnen mit rationalen Zahlen)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
−
−
In diesem Lernbereich wird das Rechnen in IB immanent wiederholt.
Besonderes Augenmerk sollte auf die Erläuterung der Art vorkommender Minuszeichen
gelegt werden; insbesondere liegt beim Term − a stets ein Gegenzahlzeichen vor.
Additions- und Subtraktionsregel im Pfeilmodell:
Zwei Pfeile werden addiert, indem man den Anfang des zweiten Pfeils an die Spitze
des ersten legt. Die Summe ist der Pfeil, der vom Anfang des ersten bis zur Spitze des
zweiten Pfeils reicht.
Ein zweiter Pfeil wird von einem ersten subtrahiert, indem man die Spitze des zweiten
Pfeils an die Spitze des ersten legt. Die Differenz ist der Pfeil, der vom Anfang des ersten
bis zum Anfang des zweiten Pfeils reicht.
Die in diesem Lernbereich eingeforderten Argumentationen sollten stets durch mehrere
prototypische Beispiele rechnerisch begleitet werden.
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
Lernbereich 1.2: Grundrechenarten bei Bruchzahlen
Klassenstufe 12: Subtraktion eines Vektors als Addition des Gegenvektors
Einsatz elektronischer Medien
−
−
Ergebniskontrollen mit einfachen Taschenrechnern
Auf die am Taschenrechner verfügbaren Tasten für das Minuszeichen sollte hingewiesen
werden.
Mai 2013
49
4. Rationale Zahlen
Mathematik 6
4.3. Terme, Gleichungen, Ungleichungen
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Terme
•
•
•
•
Die Schülerinnen und Schüler
• erstellen Terme auf der Grundlage verbaler Beschreibungen
(K5)
• beschreiben die Struktur eines Terms
(mit angemessener Komplexität) in
Worten
(K6)
• vereinfachen Terme (mit höchstens drei
Variablen) schrittweise unter Angabe der
verwendeten Regeln
(K1)
• berechnen den Wert eines Terms durch
Einsetzen
(K5)
• beschreiben eine im Kontext gegebene
Problemstellung mit Hilfe von Termen
(K3)
Aufstellen und Analysieren
Vereinfachen und Auswerten
gleichwertige Terme, Symbol =
Modellieren mit Termen
Aussagen und Aussageformen
Die Schülerinnen und Schüler
• identifizieren sprachliche und formale
Gebilde als Aussagen und bestimmen
deren Wahrheitswert
(K6)
• identifizieren sprachliche und formale
Gebilde in einer Variablen im mathematischen Kontext als Aussageform, z. B.
(K6)
2 ⋅ (a + 3 ) = 0 , a 12 , a 2 < 4
• finden Lösungen zu Aussageformen durch
Probieren
(K2)
• belegen an Beispielen, dass die Lösungsmenge von der Grundmenge abhängt
(K1)
• untersuchen, ob vorgegebene Aussageformen allgemeingültig oder unerfüllbar
sind
(K1)
• Aussagen und Wahrheitswerte
• mathematische Aussageformen mit einer
Lösungsvariablen
• Grundmenge, Symbol G
• Lösung und Lösungsmenge, Symbol L
• allgemeingültige Aussageformen,
unerfüllbare Aussageformen
Gleichungen der Form a ⋅ x + b = c ⋅ x + d
Die Schülerinnen und Schüler
• finden Lösungen durch Probieren (K2)
• bestimmen Lösungsmengen durch Äquivalenzumformungen
(K5)
• führen die Probe in Text und Gleichung
durch
(K2)
• begründen, warum die Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit 0 keine
Äquivalenzumformung ist
(K1)
• formulieren Zahlenrätsel zu vorgegebenen Gleichungen mit höchstens einer
Klammerebene
(K1)
• erstellen und lösen Gleichungen in Kontexten
(K3)
• Äquivalenzumformungen, Symbol ⇔
• Lösen durch Äquivalenzumformungen
• allgemeingültige und unerfüllbare Gleichungen
• Aufstellen von Gleichungen zum Bearbeiten inner- und außermathematischer
Probleme
• Zahlenrätsel und Sachaufgaben
Mai 2013
50
4. Rationale Zahlen
Mathematik 6
Verbindliches Fachwissen
Verbindliche Kompetenzschwerpunkte
Ungleichungen der Form
a ⋅ x + b > c und a ⋅ x + b < c
• Äquivalenzumformungen
• Lösen durch Äquivalenzumformungen
Die Schülerinnen und Schüler
• erläutern Gemeinsamkeiten und Unterschiede bei den Äquivalenzumformungen
von Gleichungen und Ungleichungen
(K6)
• ändern das Relationszeichen bei einer
Multiplikation mit einer negativen Zahl
oder einer Division durch eine negative
Zahl
(K5)
• begründen Änderungen des Relationszeichens an der Zahlengerade
(K1)
• stellen Lösungsmengen auf der Zahlengeraden dar
(K4)
• testen die Lösungsmenge durch Stichproben
(K1)
Hinweise
zu Lernbereich 4.3 (Terme, Gleichungen, Ungleichungen)
Methodische und fachdidaktische Erläuterungen
−
−
−
Mengensymbole schreibt man nur dann mit Doppelstrich, wenn es sich um fest definierte
Mengen wie z. B. die Zahlenmengen handelt.
Bei der Behandlung von Gleichungen und Ungleichungen empfiehlt sich der Einsatz einer
Balken- oder Tafelwaage.
Bei Termumformungen sollte von „Gleichwertigkeit“, beim Umformen von Gleichungen
und Ungleichungen von „Äquivalenz“ gesprochen werden.
Querverbindungen im Lehrplan
−
−
−
−
Lernbereich 4.1: Anordnung der rationalen Zahlen
Klassenstufe 5: Rechnen mit natürlichen Zahlen
Klassenstufe 7: Graphen linearer Funktionen
Klassenstufe 8: Termumformungen
Fächerverbindende und -übergreifende Aspekte
−
−
Bewegungsaufgaben
Stromtarife
Einsatz elektronischer Medien
−
−
Taschenrechner zur Überprüfung von Lösungen
Entdecken von Wertgleichheit mit Hilfe einer Tabellenkalkulation
Fakultative Inhalte
−
−
−
einfache Betragsgleichungen und Betragsungleichungen
Lösungsalgorithmus als Flussdiagramm
Lösen von Gleichungen mit Parametern, z. B. a ⋅ x = b
Mai 2013
51