Gleichungen

Gleichungen
1 Gleichungen grafisch lösen
Gleichungen
430
Beim Lösen von Gleichungen mit einer Variablen können verschiedene Lösungsfälle auf­
treten.
a)Zeige, dass die Gleichung 10 x – 5 = 0 in R genau eine Lösung hat.
Gib die Lösungsmenge an.
b)Zeige, dass für die Gleichung 10 x – 5 = 0 in N die Lösungsmenge leer ist.
Schreibe: L = { }
c)Zeige in R, dass die Gleichung 10 x – 5 = 5 · (2 x – 1) auf eine wahre Aussage führt und
daher jede reelle Zahl x Lösung ist. Schreibe: L = R
d)Zeige in R, dass die Gleichung 10 x – 5 = 5 · (2 x – 3) auf eine falsche Aussage führt und
daher keine reelle Zahl Lösung sein kann. Schreibe: L = { }
e)Zeige, dass die Gleichung 100 = r2 π in N keine Lösung, in R+ eine Lösung und in R
zwei Lösungen hat. Gib jeweils die Lösungsmenge an.
Vergleiche anschließend deine Ergebnisse mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler.
431
Die Gleichung x3 – 3 x2 – 6 x + 8 = 0 hat im Intervall [– 3; 5] drei ganzzahlige Lösungen x1,
x2 und x3.
a) Ermittelt die Lösungen durch Probieren.
b)Legt für die Funktion f (x) = x3 – 3 x2 – 6 x + 8 im Intervall [– 3; 5] eine Tabelle für alle ganzzahligen Argumente (x-Werte) an. Kennzeichnet die Zeilen mit den Lösungen der Gleichung x3 – 3 x2 – 6 x + 8 = 0.
c)Zeichnet den Graph der Funktion f (x) = x3 – 3 x² – 6 x + 8 in ein geeignetes Koordinatensystem. Markiert die Lösungen der Gleichung x3 – 3 x2 – 6 x + 8 = 0. Wie werden diese
Stellen einer Funktion bezeichnet?
Vergleicht anschließend mit einer anderen Zweiergruppe eure Ergebnisse.
432
Die Gleichung x2 + 2 x – 3 = – 0,5 x + 3 besitzt im Intervall [– 5; 3] zwei reelle Lösungen x1
und x2. Um diese Gleichung zu lösen, gibt es zwei Strategien. Untersucht paarweise jeweils
eine der beiden Vorgangsweisen Strategie Nullstellen bzw. Strategie Schnittpunkte und
erklärt sie anschließend den anderen Gruppenmitgliedern.
(1) Strategie Nullstellen:
Die Gleichung wird auf die Form f (x) = 0 gebracht.
– Gebt die Umformungsschritte an: x2 + 2,5 x – 6 = 0
–Ergänzt in der Tabelle die fehlenden Werte und kennzeichnet die Lösungen der Gleichung in der Tabelle.
–In der grafischen Darstellung entsprechen die Lösungen der Gleichung den Nullstellen
der Funktion.
–Zeichnet die Lösungen x1 und x2 der Gleichung in der grafischen Darstellung ein und
beschriftet sie.
1 Gleichungen grafisch lösen
Um Gleichungen zu lösen, können verschiedene Methoden angewandt werden:
–Du kannst durch (systematisches) Einsetzen mithilfe von Tabellen versuchen, eine Lösung zu
­finden.
–Du kannst eine Gleichung auf geeignete Weise umformen.
–Du wirst in diesem Abschnitt erfahren, wie Gleichungen grafisch gelöst werden können.
Außerdem gibt es Verfahren, die vor allem von elektronischen Rechnern verwendet werden, bei
denen Gleichungen näherungsweise gelöst werden.
Gleichungen kommen in einer Variablen oder in mehreren Variablen vor. Je nach Gleichung gibt es
eine Lösung, mehrere Lösungen oder gar keine Lösung.
Vorwissen
429
Ordne den Gleichungen durch Probieren alle möglichen Lösungen zu.
Gleichung
3 x + 6 = 0
A
1
x=2
(3 x)2 = 36
B
2
x=0
​√ 11 + x ​ = 3
C
3
x = – 2
x2 – 2 x = 0
D
4
Es gibt keine Lösung.
x=x+1
E
5
Jede reelle Zahl ist Lösung.
| x |2 = x2
F
6
x = 12 und y = 1
x – 2 y = 10
G
7
x = 10 und y = – 5
y = 3 x – 35
H
8
Es gibt unendlich viele Lösungen.
__
.
Lösung(en)
Neues Wissen
Beim Lösen von Gleichungen werden drei verschiedene Mengen unterschieden:
– Die Grundmenge enthält jene Zahlen, für die die Gleichung gelöst werden soll.
–Die Definitionsmenge D enthält jene Zahlen der Grundmenge, für die die Gleichung oder ein
­Teilausdruck der Gleichung definiert ist.
–Die Lösungsmenge L enthält jene Zahlen, die die Gleichung erfüllen und in der Definitionsmenge
enthalten sind.
x
– 5
– 4
– 3
– 2
– 1
0
1
2
3
Zahlen, die eine Gleichung erfüllen und in der Definitionsmenge enthalten sind, heißen Lösungen.
Hat eine Gleichung mit der Variablen x zwei oder mehr Lösungen, so werden diese Lösungen nummeriert und mit x1, x2, x3, … bezeichnet.
Die Aufgaben 430 bis 433 können im mehrstufigen Verfahren (Einzel-, Partner-, Gruppenarbeit und
Präsentation) bearbeitet werden.
Hinweise zur
Lernmethode Mehrstufiges Verfahren findst du auf der CD.
429
118
430
431
432
y
f (x)
6,5
2
x
–6
–4
–2 O
2
4
–2
– 6
f (x)
–4
–6
10,5
119