Aufgaben zum 21. ISM-Frühjahrsrunde, Oberstufe

21. Internationaler Mathematik-Städtewettbewerb,
Frühjahr 2000
Aufgaben für die Oberstufe
Aufgabe 1: [3 P.]
Die natürlichen Zahlen n, m seien teilerfremd, d.h. sie besitzen keinen gemeinsamen Teiler
größer als 1. Der Bruch
kann möglicherweise gekürzt werden, indem man Zähler und Nenner durch einen
gemeinsamen Teiler d teilt. Welches ist der größtmögliche Wert für d?
Aufgabe 2: [5 P.]
In einem Kreis mit Mittelpunkt 0 schneiden sich die Sehnen mit den Endpunkten A, C und B,
D in einem Punkt K. M sei der Umkreismittelpunkt des Dreiecks AKB, N sei der
Umkreismittelpunkt des Dreiecks CKD. Beweisen Sie OM = KN.
Aufgabe 3: [5 P.]
Bei einem Kartenstapel liegen einige der Karten mit dem Bild nach oben, andere mit dem
Bild nach unten. Von Zeit zu Zeit greift Peter sich irgendeinen Stapel heraus, dessen oberste
und unterste Karte mit dem Bild nach oben zeigt. Diesen Stapel dreht er herum und legt ihn in
die gleiche Lücke zurück. (Hierbei kann der herausgenommene Stapel auch aus nur einer
Karte bestehen.) Beweisen Sie, dass bei diesem Vorgehen irgendwann alle Karten mit dem
Bild nach unten liegen müssen.
Aufgabe 4: [5 P.]
Auf einem Blatt Karopapier sei ein konvexes Polygon p gezeichnet, dessen Eckpunkte alles
Karoeckpunkte sind und das keine senkrechten oder waagerechten Randstücke hat. Zeigen Sie,
dass stets die Längen der waagerechten und der senkrechten Karoseiten, die innerhalb von p
liegen, übereinstimmen.
Aufgabe 5: [7 P.]
Finden Sie die größte Zahl N mit folgender Eigenschaft: es gibt eine natürliche Zahl n mit: 1
teilt die Quersumme von n + 1, 2 teilt die Quersumme von n + 2, 3 teilt die Quersumme von
n + 3, u.s.w. bis N teilt die Quersumme von n + N.
Aufgabe 6:
In einem Schachturnier spielt jeder Teilnehmer gegen jeden anderen genau einmal. Bei einem
Sieg erhält der Gewinner einen Punkt, bei einem Patt bekommt jeder einen halben Punkt
gutgeschrieben. Der Verlierer bekommt keinen Punkt. Eine Partie heißt toll, falls ein Spieler
mit einem niedrigeren Abschlusspunktestand gegen einen Spieler mit einem höheren
Punktestand gewonnen hat.
(a) [6 P.] Zeigen Sie, dass der Anteil der tollen an allen Partien stets unter 3/4 liegt.
(b) [6 F,] Zeigen Sie, dass die Zahl 3/4 aus (a) nicht verkleinert werden kann.
An Hilfsmittel sind nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Lineal und Zirkel zugelassen.
Auf jedem Blatt sind der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen.
Gewertet werden höchstens drei Aufgaben.
Zeit: 4,5 Stunden.