Kleine schlumpfige Schlumpfklausur AUFGABEN

Kleine schlumpfige Schlumpfklausur
Ingo Manfraß (TEAM Dr. Kowalski)
6. Juni 2008
AUFGABEN
Aufgabe 1 (4/4/4 Punkte) Papa Schlumpf hat für Baby Schlumpf ein Kapital von K =
15000 Schlumpfbeertalern auf einem Sparbuch (bei Schlaubi) angelegt, dass jährlich
mit einem Zinsfuß von p = 1.25% wachse und (unterjährig) pro Monat verzinst wird.
a) Ermittle den zugehörigen Aufzinsungsfaktor q und den Effektivzinsfuß.
b) Welcher Aufzinsungsfaktor q ergibt sich, wenn man von einer effektiven Jahresverzinsung von p = 1.25% ausgeht?
c) Welcher jährliche Effektivzinsfuß ergibt sich, wenn statt monatlicher Verzinsung stetig
mit nominell p = 1.25% verzinst wird?
Aufgabe 2 (4 Punkte) Papa Schlumpf schließt einen Sparvertrag zu durchschnittlich
4.7% (pro Jahr) zur Geburt von Baby Schlumpf ab. Dabei zahlt er über 18 Jahre jeden
Monat schlumpfige 120 Schlumpfbeertaler ein (jährlich also 1440 Schlumpfbeertaler).
Unterstellt man jährliche Verzinsung am jeweiligen Jahresende, welche Aussteuer“
”
erhält Baby Schlumpf mit 18 schlumpfigen Jahren? Die Tatsache, dass Schlümpfe nicht
altern, sei mal vernachlässigt.
Aufgabe 3 (4/4/4 Punkte) Gargamel (böse) hat sich von seiner Mutter (noch böser)
20000 Goldtaler geliehen (blöde Idee!!!). Sie verzinst (dekursiv) das Kapital zu 45 %
p.a. (Korrektur: Sie ist extrem böse).Gargamel kann jedes Jahr 10000 Goldtaler an
seine Mutter zurückzahlen.
a) Wie hoch ist Gargamels dritte Tilgungszahlung?
b) Wie hoch ist die danach verbleibende Restschuld?
c) Wie lang ist die Laufzeit dieses Wucherkredites?
Aufgabe 4 (4/4/4/0 Punkte) Torti-Schlumpf stellt schlumpfige kleine Schlumpfbeertörtchen her. Dazu hat er eine Nachfragefunktion N mit
N(p) = 775 −
p4
63
,
die die Nachfrage in Abhängigkeit vom Preis angibt.
a) Ermittle die zugehörige Preis-Absatz-Funktion p(N).
b) Bestimme die Elastizität des Preises im Bezug auf die Nachfrage εp (N).
c) Um wieviel Prozent erhöht sich näherungsweise die Nachfrage N an Törtchen, wenn
der Preis p ausgehend von p = 13 um 1% erhöht wird?
d) Wie viele Törtchen isst Torti selbst auf?
Aufgabe 5 (4/4/4/4 Punkte) Handy hat eine Maschine konstruiert, die die Schlumpfbeeren automatisch zu äußerst schlumpfigen kleinen Törtchen verarbeitet. Diese Maschine kann dabei maximal 20 Eimer Schlumpfbeeren (Input x ≥ 0) verarbeiten. Der
Output an Törtchen ist nun durch die folgende Produktionsfunktion gegeben:
y(x) = −0.5x3 + 15.75x2 + 33x
a) Wo liegt im vorgegebenen Inputbereich das Ertragsmaximum? D.h. wie viele Eimer
Schlumpfbeeren muß man in die Maschine schütten, damit sie am meisten Törtchen
ausspuckt?
b) Für welchen Faktorinput x1 wird die Grenzproduktivität maximal? D.h. wann ist der
Törtchenoutputzuwachs am Größten?
c) Für welchen Faktorinput x2 ist der Durchschnittsertrag maximal? D.h. bei wie vielen
Eimern Schlumpfbeeren liefert die Maschine am meisten Törtchen pro Schlumpfbeeren
- wann sind sie also am saftigsten?
d) Für welchen Faktorinput x3 sind Grenzproduktivität und Durchschnittsertrag identisch?
Aufgabe 6 (4/4/4 Punkte) Farmi hat diesmal nicht die Grenzkostenfunktion gegeben,
möchte aber trotzdem die Kostenfunktion ( Düngerbedarf“) aufstellen. Hilf Farmi da”
bei und bestimme die Kostenfunktion (als Polynom 3. Grades), die den folgenden
Bedingungen genügt:
• Fixkosten Kf (x) = 215
• Grenzkosten sind für x = 2 minimal und betragen dort 7
• variable Kosten Kv (x) = 410 für x = 2
a) Stelle die Kostenfunktion zuerst allgemein (also ohne Zahlen und nur mit Buchsta”
ben“) dar.
b) Übertrage die obigen Forderungen in mathematische Bedingungen und erstelle das
zugehörige lineare Gleichungssystem.
c) Ermittle die gesuchte Kostenfunktion.
2
Aufgabe 7 (4/4/4/4/0 Punkte) Torti Schlumpf will seinen Vorrat an Schlumpfbeersaft
verschlumpfen1 . Da bieten sich Schlaubi und Farmi Schlumpf als Beerengeber2 an.
Wenn er dabei x Liter Schlumpfbeersaft an Schlaubi abtritt, dann erhält er nach einem
Schlumpfjahr ESchlaubi (x) Liter als Ertrag zurück. Bei Farmi wären es entsprechend
EF armi (x) Liter. Torti Schlumpf möchte dabei ein Kapital“ von K Litern Schlumpf”
beeren investieren; d.h. 0 ≤ x ≤ K.
Wie muß Torti den Saft (K Liter) auf die beiden Gönner“ verteilen, damit er möglichst
”
viel zurück bekommt? Die zugehörigen Ertragsfunktionen sehen dabei wie folgt aus:
1
60 2
ESchlaubi =
40x + x
K
K
1
30 2
EF armi =
70x + x
K
K
a) Stelle für Torti die zugehörige Gesamtertragsfunktion E(x) auf, wobei Torti x Liter Schlumpfbeerensaft an Schlaubi gibt und den Rest (von den K Litern) an Farmi
Schlumpf.
b) Bei welcher Literzahl x wird die Gesamtertragsfunktion E(x) maximal?
c) Gib Papa Schlumpf einen ausführlichen Bericht, warum der in b) errechnete Wert eine
Maximalstelle ist.
d) Wieviel Schlumpfbeersaft erhält Torti Schlumpf nach einem Jahr von den beiden
Schlümpfen zurück?
e) Wie lange hält das bei Torti vor?
Aufgabe 8 (4 Punkte) Farmi Schlumpf hat den Düngerbedarf ( Kosten“) seiner Schlumpf”
beerfarm von Schlaubi, was ansich schon ein Fehler war, bestimmen lassen. Die Grenzkostenfunktion seiner Schlumpfbeerproduktion ( Farm“) mit Fixkosten von 350 Ei”
mern Dung sei gegeben durch:
K ′ (x) = 1.08x2 − 7x + 168
Bestimme die zugehörige Gesamtkostenfunktion K(x). Sprich: Wieviel Dung braucht
Farmi in Abhängigkeit von der Menge an Schlumpfbeeren, die er ernten möchte.
1
2
zu deutsch: vergrößern
also Geldgeber
3
LÖSUNGEN
So hingeschrieben wären’s nach meinem Ermessen und mit etwas gutem Willen 30 von 100
Punkten. Dabei sind alle Angaben wie immer ohne Peng“.
”
Lösung zu Aufgabe 1 4 Nachkommastellen sind ansich mehr als genug.
a) qnom = 1.0125, qef f = 1.0125718638 und pef f = 1.2571868 %
b) qef f = 1.0125, qm = 1, 00103574601 und qnom = 1.012428952
c) pef f = 1.2578452 %
Lösung zu Aufgabe 2 Kend = 41246.62
Lösung zu Aufgabe 3
a) 2102.50
b) 15447.50
c) 6.197 Jahre, also 7 Jahre
Lösung zu Aufgabe 4
√
a) p(N) = 4 48825 − 63N
63N
b) εp (N) = − 4(48825−63N
)
c) εN (13) = −5.63778
d) Alle natürlich.
Lösung zu Aufgabe 5
a) x = 20 (Rand !!!) mit y(20) = 2960 (Zusatzinfo !)
b) x = 10.5
c) x = 15.75
d) x = 0 oder x = 15.75 - Da der positive Wert aber nur ökonomisch sinnvoll ist, bleibt
x = 15.75 als Lösung übrig.
Lösung zu Aufgabe 6
a) K(x) = ax3 + bx2 + cx + d
b) Mathematische Bedingungen:
• K(0) = 215
• K ′′ (2) = 0 und K ′ (2) = 7
• Kv (2) = 410
Die notwendigen Ableitungen:
4
• K(x) = ax3 + bx2 + cx + d
• K ′ (x) = 3ax2 + 2bx + c
• K ′′ (x) = 6ax + b
Das zugehörige Gleichungssystem:
d = 215
=
0
=
7
= 410
12a + 2b
12a + 4b + c
8a + 4b + 2c
bzw.

0
12

12
8
0
2
4
4
0
0
1
2
    
215
a
1
b  0 
0
· = 
0  c   7 
410
d
0
c) K(x) = 49.5x3 − 297x2 + 601x + 215
Lösung zu Aufgabe 7
a) E(x) = ESchlaubi (x) + EF armi (K − x) =
90 2
x
K2
−
90
x
K
+ 100
b) x = 0 oder x = K
c) Die errechnete Extremalstelle im Innern ist ein Minimum, da aber jede stetige Funktion
auf einem Intervall beide Extrema annehmen muss, können diese nur am Rand liegen.
Deshalb müssen bei x = 0 bzw. x = K die Maxima sein. Man überprüft dieses durch
einsetzen in E(x).
d) 100
e) sehr kurz
Lösung zu Aufgabe 8 K(x) = 0.36x3 − 3.5x2 + 168x + 350
5