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Grundwissen Mathematik 6 Dieser Grundwissenskatalog gehört: Name: ____________________________ Klasse: _____ RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 Inhaltsverzeichnis Zahlen 1. Brüche 1.1 Bruchteile 1.2 Brüche als Werte von Quotienten 1.3 Bruchzahlen 1.4 Anordnung der Bruchzahlen 1.5 Addieren und Subtrahieren von Brüchen 1.6 Multiplizieren und Dividieren von Brüchen 2. Dezimalzahlen 2.1 Ordnen von Dezimalzahlen nach der Größe 2.2 Runden von Dezimalzahlen 2.3 Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen 2.4 Multiplizieren und Dividieren mit Stufenzahlen 2.5 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen 2.6 Umformen von Brüchen in Dezimalzahlen und umgekehrt 3. Rationale Zahlen 4. Prozentrechnung 4.1 Dreisatz (Schlussrechnung) 4.2 Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert Geometrie 5.1 Flächeninhalt von Parallelogramm, Trapez und Dreieck 5.2 Körper und ihr Volumen Stochastik 6.1 Zufallsexperimente 6.2 Relative Häufigkeit -1- RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 Zahlen 1. Brüche 1.1 Bruchteile 4 15 6 Blau: 15 Rot: Zähler „zählt“, wie viele der gleichen Teile interessant sind Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wird 4 15 1.2 Brüche als Werte von Quotienten Es gilt: z z:n n Berechnung eines Bruchteils: 34 von 36 36 : 4 3 27 2 5 von 83 kg 52 83 kg 13 54 kg 1.3 Erweitern und Kürzen Erweitern: Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. 3 3 2 6 Bsp.: 4 42 8 3 20 kg Kürzen: Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren. 6 6:2 3 Bsp.: 8 8:2 4 Durch Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert des Bruches nicht. Alle Brüche, die aus einem Bruch durch Erweitern oder Kürzen entstehen, geben die selbe Bruchzahl an. -2- RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 1.4 Anordnung der Bruchzahlen Sind die Zähler gleich, vergleichen wir die Nenner: 4 9 4 7 Sind die Nenner gleich, vergleichen wir die Zähler: 3 7 5 7 Sind die Nenner verschieden, bringt man sie vor dem Vergleich auf den Hauptnenner (= kleinster gemeinsamer Nenner). 5 7 , 18 Bsp: 12 haben den Hauptnenner 36. Da 5 12 15 36 , 7 18 14 36 ist, gilt : 14 36 15 36 7 also 18 5 12 1.5 Addieren und Subtrahieren von Brüchen Zähler addieren (subtrahieren) und Nenner beibehalten 3 7 7 3 4 4 11 11 , 13 13 13 Bsp.: 11 Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zuerst auf den Hauptnenner. 3 5 2 12 12 Bsp.: 14 16 12 1.6 Multiplizieren und Dividieren von Brüchen Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner 3812 1233 12 Bsp.: 83 12 9 9 Bruch : Bruch = Bruch Kehrbruch 3 6 3 7 : 7 14 6 2112 14 Bsp.: 14 Beachte: Erst kürzen, dann multiplizieren! Gemischte Zahlen vor dem Multiplizieren oder Dividieren in Brüche verwandeln! -3- RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 2. Dezimalzahlen Kommazahlen wie z.B. 1,356 heißen Dezimalzahlen. Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. H Z E 1 4 Bsp.: 0,04 = 100 , , 1 25 z 3 ; h 5 t 6 z = Zehntel h = Hundertstel t = Tausendstel usw. 234 1 117 1,234= 1 1000 500 2.1 Ordnen von Dezimalzahlen nach der Größe Von zwei Dezimalzahlen ist diejenige die größere, die von links nach rechts gelesen an entsprechender Stelle zuerst eine höhere Ziffer hat. Bsp.: 1,2345 < 1,2346 2.2 Runden von Dezimalzahlen Ist die erste wegzulassende Ziffer 0, 1, 2, 3, 4, wird abgerundet, ist sie 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet. Bsp. Runden auf 1 Dez. 2 Dez. 3 Dez. 3,4564 3,5 3,46 3,456 -4- RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 2.3 Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Addiere stellenweise! Achte auf gleich viele Dezimalen! Bsp.: 3,763 + 4,32 = 3,763 + 4,320 = 8,083 2.4 Multiplikation und Division mit Stufenzahlen Verschiebe das Komma um so viele Stellen nach rechts (links), wie die Stufenzahl Nullen hat. Bsp.: 2,04 · 1000 = 2040; 14,73 : 100 = 0,1473 2.5 Multiplikation und Division von Dezimalzahlen Die Kommata werden beim Multiplizieren zunächst nicht berücksichtigt. Das Ergebnis erhält so viele Dezimalen wie die Faktoren zusammen. Bsp.: 1,8 0,54 = 0,972 Beim Dividieren durch eine natürliche Zahl wird vor dem Herabholen der 1. Ziffer hinter dem Komma im Ergebnis das Komma gesetzt. Bsp.: 9,2 : 8 = 1,15 Beim Dividieren ändert sich der Quotientenwert nicht, wenn man bei beiden Zahlen das Komma um gleich viele Stellen in gleicher Richtung verschiebt. Das Komma wird beim Divisor so weit verschoben, bis er eine natürliche Zahl ist. Bsp.: 2,56 : 1,6 = 25,6 : 16 = 1,6 -5- RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 2.6 Umformen von Brüchen in Dezimalbrüche und umgekehrt Bruch →Dezimalzahl Man bringt den Nenner auf eine Zehnerpotenz 16 4 z.B. : 25 100 0,16 oder man dividiert den Zähler durch den Nenner. z.B. : 73 7 : 3 2,333 ... z z : n ergibt eine n - endliche Dezimalzahl, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren 2 oder 5 enthält, - unendliche periodische Dezimalzahl, wenn der Nenner andere Primfaktoren enthält. Die sich wiederholende Ziffernfolge heißt Periode. Periodische Dezimalzahl → Bruch Falls die Periode direkt hinter dem Komma beginnt: Zähler = Periode, in den Nenner schreibt man so viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat. 23 Bsp.: 0, 23 99 -6- RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 3. Rationale Zahlen Verbindung der Grundrechenarten Es gilt: - Klammer zuerst, dann - Hoch vor Punkt vor Strich Rechengesetzte Kommutativgesetz: Assoziativgesetz: Distributivgesetz: a+b=b+a a+(b+c) = (a+b)+c (a+b)c = ac + bc a b = ba a(bc)=(ab)c Addition und Subtraktion Gleiche Vorzeichen: (+1,2) + (+3,5) = + 4,7 (1,2) + (3,5) = 4,7 Verschiedene Vorzeichen: (+1,2) + (3,5) = 1,2 3,5 = 2,3 (1,2) + (+3,5) = 1,2 + 3,5 = + 2,3 Subtrahieren einer Zahl bedeutet Addieren ihrer Gegenzahl (1,2) (3,5) = (1,2) + (+3,5) = + 2,3 Multiplizieren und Dividieren Gleiche Vorzeichen: Plus mal Plus = Plus (+ 1,2) (+ 0,1) = + 0,12 Minus mal Minus = Plus ( 1,2) ( 0,1) = + 0,12 Verschiedene Vorzeichen: Plus mal Minus = Minus (+ 1,2) ( 0,1) = 0,12 -7- RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 4. Prozentrechnung 4.1 Dreisatz (Schlussrechnung) Dem doppelten, dreifachen, ... Wert der einen Größe wird der doppelte, dreifache, ... Wert der anderen Größe zugeordnet. Bsp.: 3 kg Äpfel kosten 2,40 €. Wie viel kosten 5 kg? 3 kg kosten 2,40 € 1 kg kostet 2,40 € : 3 = 0,80 € 5 kg kosten 0,80 € 5 = 4,00 € 4.2 Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert 1% = 1 100 1 1‰ = 1000 = 1 Tausendstel = 1 Hundertstel 5 Bsp.: 5% = 100 1 20 8 8‰ = 1000 = 0,05 1 125 = 0,008 Es gilt: p% GW = PWi p% = Prozentsatz, GW = Grundwert, PW = Prozentwert Dem Grundwert werden immer 100% zugeordnet. Bsp.: 60% der 30 Schüler sind Jungen 20% aller Karten wurden verkauft. Das waren 12 Stück. 100% ≙ 30 Schüler 20% ≙ 12 Stück 10% ≙ 3 Schüler 100% ≙ 60 Stück 60% ≙ 18 Schüler Tina hat 50 €. Davon steckt sie 30 € ins Sparschwein. 50 € ≙ 100% 10 € ≙ 20 % 30 € ≙ 60 % -8- RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 Geometrie 5.1 Flächeninhalte von Parallelogramm, Dreieck und Trapez Parallelogramm: Flächeninhalt = beliebige Seite mal zugehörige Höhe h g Dreieck: Flächeninhalt = 1 mal beliebige Seite mal 2 zugehörige Höhe h g c Trapez: Flächeninhalt = 1 mal Summe der parallelen 2 Seiten mal Höhe h a Umrechnungen: mm2 cm2 dm2 m2 a ha km2 Umrechnungszahl 100 -9- RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 5.2 Körper und ihr Volumen a) Volumeneinheiten Hat ein Würfel die Kantenlänge, so ist sein Volumen 1mm 1mm3 1cm 1cm3 = 1ml 1dm 1dm3 = 1l 1m 1m3 Umrechnungen: mm3 cm3 dm3 m3 Umrechnungszahl 1000 1 l = 1dm3 1 ml = 1cm3 1 hl = 100 l b) Das Volumen von Quader und Würfel l VQ = lbh h b l = Länge, b = Breite, h = Höhe Vw = s3 s s = Seitenlänge - 10 - RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik 6 Stochastik 6.1 Zufallsexperimente Experimente wie z. B. das Werfen eines Spielwürfels oder einer Münze, das Drehen eines Glücksrades usw., deren Ergebnis vom Zufall abhängt, nennt man Zufallsexperimente. 6.2 Relative Häufigkeit Die relative Häufigkeit gibt an, welcher Bruchteil aller Ergebnisse Treffer sind. Relative Häufigkeit = Anzahl der Treffer Anzahl der Ergebnisse Bsp. : Würfelt man 10 -mal und tritt dabei zweimal die Eins auf, 2 so ist die relative Häufigkeit der Eins 10 15 20 % . Gesetz der großen Zahlen: Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die relative Häufigkeit der Treffer bei einem festen Wert ein. - 11 -
