doc - Digitale Schule Bayern

M6
Inhaltsverzeichnis Grundwissen
M 6.1
M 6.2
M 6.3
M 6.4
M 6.5
M 6.6
M 6.7
M 6.8
M 6.9
M 6.10
M 6.11
M 6.12
M 6.13
M 6.14
M 6.15
M 6.16
M 6.17
M 6.18
M 6.19
M 6.20
M 6.21
M 6.22
Brüche
Erweitern und Kürzen von Brüchen
Prozentschreibweise
Rationale Zahlen
Dezimalschreibweise
Relative Häufigkeit
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Multiplikation von Brüchen
Division von Brüchen
Rechnen mit Dezimalzahlen
Flächeninhalt: Dreieck
Flächeninhalt: Parallelogramm
Flächeninhalte: Trapez und weitere Vielecke
Oberflächeninhalt
Schrägbilder
Volumen
Volumen des Quaders
Betrag einer rationalen Zahl
Vergleichen rationaler Zahlen
Grundbegriffe der Prozentrechnung
Direkte und indirekte Proportionalität
Beschreibung von Anteilen
M 6.1
Brüche
z
eines Ganzen bedeutet: Teile das Ganze in n gleiche Teile
n
z
nimm z von diesen Teilen.
nennt man einen Bruch.
n
Der Bruchteil
und
Veranschaulichung
Der Nenner gibt an, dass
das Ganze in 4 Teile
zerlegt wird
3
4
Der Zähler gibt an, wie viele
dieser Teile zusammengefasst
werden
Bruchstrich
3
Beispiel: von 36 €  36 € : 4   3  27 €
4
© Ulla Miekisch 9/2004
3
eines
4
3
eines
4
Rechtecks
Kreises
M 6.2
Erweitern und Kürzen von Brüchen (Lösung)
Erweitern
ERWEITERN: Zähler und Nenner des Bruchs
werden mit derselben natürlichen Zahl
multipliziert.
Beispiel:
1 1 3 3


(„mit 3 erweitert“)
5 5  3 15
KÜRZEN: Zähler und Nenner des Bruchs
werden durch dieselbe natürlichen Zahl dividiert.
Beispiel:
3
3:3 1

 („mit 3 gekürzt“)
15 15 : 3 5
Kürzen
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr
haben.
210 70 10 2



Beispiel:
315 105 15 3
Brüche,
die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, beschreiben den gleichen
Bruchteil eines Ganzen!
M 6.3
Prozentschreibweise (Lösung)
Brüche mit dem Nenner 100 kann man in Prozentschreibweise angeben:
5  5%
100
Häufig vorkommende Prozentsätze:
25 1

100 4
1
10% 
10
1
20% 
5
1
5% 
20
25% 
© Ulla Miekisch 9/2004
1
2
3
30% 
10
2
40% 
5
1
1% 
100
50% 
3
4
7
70% 
10
3
60% 
5
100
100% 
1
100
75% 
9
10
4
80% 
5
90% 
M 6.4
Rationale Zahlen
Alle positiven und negativen Brüche und die Zahl Null bilden zusammen die Menge der
rationalen Zahlen ℚ. ℚ umfasst auch die Menge aller ganzen Zahlen ℤ und damit
auch die Menge der natürlichen Zahlen ℕ .
Die gleiche rationale Zahl kann viele verschiedene Bezeichnungen haben:
-2
M 6.5
-1

2
1

4
2

60
30
1
2
0
1
1
1
4
2
4
5
4
3
6
10
8
50
100
15
12
0,5
1,25
50 %
125%
Dezimalschreibweise
Brüche, die, vollständig gekürzt, im Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten, können
als endliche Dezimalzahlen geschrieben werden. (Man erweitert auf den Nenner
10,100,1000,..)
2 4
207
 0,4
3
 3,0207 (lies: drei Komma null zwei null sieben)
Beispiel: 
5 10
10000
Stellenwerttafel:
H
0,2 
Z
2
20

 20 %
10 100
E
0
0
h
t
,
z
2
,
1
7
5
0,175 
zt
175
 17,5 %
1000
Brüche kann man auch mit Hilfe schriftlicher Division in Dezimalbrüche umwandeln:
1
1
= 1:8 = 0,125
=1:6 = 0,166666....
= 0,16
8
6
endlicher Dezimalbruch
© Ulla Miekisch 9/2004
unendlicher Dezimalbruch
M 6.6
Relative Häufigkeit
Ein Würfel wird 200 Mal geworfen. Es wurde notiert, wie oft die Ergebnisse 1; 2; 3; 4; 5 und
6 auftraten.
Ergebnis
Anzahl
(„absolute
Häufigkeit“)
Anteil an der
Gesamtzahl
(„relative
Häufigkeit“)
1
2
3
4
5
6
38
31
29
33
34
35
38
 19 %
200
In 19 % aller Würfe wurde also die „1“ geworfen.
Führt man dieses Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels“ sehr oft durch, kann man damit
1
rechnen, dass die „1“ in etwa ( 16,7 %) aller Würfe fallen wird (nach dem empirischen
6
Gesetz der großen Zahlen).
M 6.7
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Zum Addieren und Subtrahieren müssen Brüche den gleichen Nenner haben. Der Nenner
wird beibehalten, die Zähler werden addiert bzw. subtrahiert.
1 2 3
4 1 3
 
 
9 9 9
7 7 7
Brüche, die nicht den gleichen Nenner haben werden durch Kürzen und/oder Erweitern auf
einen gemeinsamen Nenner gebracht (  Ermittlung gemeinsamer Nenner)
5 3 35 9
26 13





6 14 42 42 42 42
1 12 1 3 4

   1
4 16 4 4 4
Gemischte Zahlen lassen sich oft leichter addieren/ subtrahieren, wenn man die Ganzen und
die Brüche getrennt voneinander addiert/subtrahiert und dann zusammenfasst.
2
1
2
1
2 1
2 3
5
5
6 1  6  1  6 1   7    7   7
9
3
9
3
9 3
9 9
9
9
© Ulla Miekisch 9/2004
M 6.8
Multiplikation von Brüchen
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit
Nenner multipliziert.
2 3 23 2
 

3 5 3 5 5
Multiplikation mit einer ganzen Zahl:
2
2 3
3    2
3
3 1
3 1 18 7 18  7 6  7 42
2


8
Multiplikation mit gemischten Zahlen: 3  2   
5 3 5 3 53
5 1
5
5
2
3
von des Kuchens
5
4
M 6.9
3
des Kuchens
4
2 3
2
3
von


5
4
5 4
Es gilt:
Division von Brüchen
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert.
(Eventuell kann man vor dem Ausmultiplizieren kürzen)
Beispiel:
4 6 4 7 4  7 2  7 14
:   


5 7 5 6 5  6 5  3 15
Sonderfall: Der Divisor ist eine natürliche Zahl
4
4 5
4
4
:5  : 

5
5 1 5  5 25
Die Division durch Null ist nicht erlaubt.
Ein Doppelbruch ist eine andere Schreibweise für eine Division:
3
7  3 : 2  3  5  15  1 1
2
7 5 7 2 14
14
5
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M 6.10
Rechnen mit Dezimalzahlen
Addieren und Subtrahieren:
12,985
Zahlen so untereinander schreiben, dass Komma unter Komma
steht und wie bei natürlichen Zahlen stellenweise rechnen.
 4,0092
16,9942
Multiplizieren:
Zahlen ohne Rücksicht auf die Kommas multiplizieren.
Das Komma wird so gesetzt, dass das Ergebnis so viele
Nachkommastellen hat wie die Faktoren zusammen
0,03  2,5  0,075
Dividieren:
Im Divisor und Dividend das Komma so weit nach rechts
verschieben, bis der Divisor eine ganze Zahl ist.
Überschreitet man im Dividenden das Komma, muss im
Ergebnis ein Komma gesetzt werden.
M 6.11
0,015 : 0,75  1,5 : 75  0,02
Flächeninhalt Dreieck
b
b
hc
c
c
Jedes Dreieck besitzt drei Seiten (Grundlinien). Es ist üblich, diese Seiten mit
Kleinbuchstaben, passend zur gegenüberliegenden Ecke zu bezeichnen (z.B. liegt die Seite a
der Ecke A gegenüber).
Die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke zwischen einer Ecke und der
gegenüberliegenden Seite (bzw. ihrer Verlängerung) heißt Höhe des Dreiecks.
Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: A
D

1
 g  h (g: Grundlinie, h: Höhe)
2
also AD 
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1
1
1
 a  ha   b  hb   c  hc
2
2
2
M 6.12
Flächeninhalt: Parallelogramm
Parallelogramm
Beim Parallelogramm bezeichnet man den Abstand
zweier paralleler Seiten als Höhe. In jedem
Parallelogramm gibt es also zwei Höhen.
Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt:
g: Grundlinie,
AP  g  h
h: zugehörige Höhe
Parallelogramme, die in einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstimmen, haben den
gleichen Flächeninhalt.
Rechtecke sind auch Parallelogramme. (Jede Seite ist zugleich die zur anliegenden Seite
gehörige Höhe.)
M 6.13
Flächeninhalte: Trapez und weitere Vielecke
c
d
Ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten nennt
man Trapez. Die beiden nicht zueinander parallelen
Seiten heißen Schenkel. Der Abstand der zueinander
parallelen Seiten heißt Höhe.
a
h
b
d
Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt:
AT = ________________
a
c
A3
A1
A2
Berechnen des Flächeninhalts eines Vielecks:
Jedes Vieleck kann in Dreiecke (oder eventuell andere Figuren) zerlegt
werden, deren Fläche man einzeln berechnet und am Schluss addiert.
A = A1+ A2+ A3
Wichtig: Flächeninhalte, die aufgrund von Messwerten berechnet
werden, sind nur so genau wie die gewonnenen Messwerte! Bei Flächenberechnungen ist
immer sinnvoll zu runden!
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M 6.14
Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist identisch mit dem Flächeninhalt seines Netzes. Er
berechnet sich als Summe der Flächeninhalte seiner Begrenzungsflächen.
Beispiel:
Oberfläche:
A4
A1
A2
A3
4 cm
3 cm
5 cm
3,5 cm
O = A1 + A2 + A3 + 2  A4 =
= 5  3,5 cm2 + 3  3,5 cm2 + 4  3,5 cm2 +
+ 2  ½  4  3 cm2 =
= 16,5 cm2 + 10,5 cm2 + 14 cm2 + 12 cm2 =
= 53 cm2
Bemerkung:
Obiges Netz gehört zu einem geraden Prisma. Ein gerades Prisma ist ein Körper, bei dem
die Grundfläche und die Deckfläche aus parallelen, deckungsgleichen Vielecken bestehen
und die Seitenflächen Rechtecke sind. Der Flächeninhalt aller Seitenflächen berechnet sich
dann aus der Höhe des geraden Prismas multipliziert mit dem Umfang der Grundfläche!
M 6.15
Schrägbilder
Der räumliche Darstellung (Perspektive) eines Körpers in der Zeichenebene nennt man
Schrägbild des Körpers. Es ist sinnvoll eine Begrenzungsfläche in wahrer Größe zu zeichnen.
Alle zu dieser Fläche senkrecht stehenden Strecken werden auf kariertem Papier parallel zu
den Kästchendiagonalen gezeichnet.
Dabei gilt: Eine Strecke der Länge 1 cm wird auf die Hälfte der ursprünglichen Länge (bzw.
auf eine Kästchendiagonale) verkürzt! („Kavaliersperspektive“)
Kanten, die in Wirklichkeit parallel sind, sind auch im Schrägbild parallel. Senkrechte Kanten
dagegen stehen im Schrägbild nicht unbedingt senkrecht aufeinander.
Hinweis:
Oft ist es sinnvoll, zunächst das Schrägbild eines
Quaders zu zeichnen, aus dem sich das Schrägbild
des Körpers dann entwickeln lässt
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M 6.16
Volumen (Rauminhalt)
Einen Würfel mit den Kantenlängen 1 LE (Längeneinheit) nennt man Einheitswürfel. Die
Anzahl der Einheitswürfel, die notwendig ist, um den Rauminhalt (oder auch das Volumen)
eines Körpers vollständig auszufüllen ist ein Maß für die Größe des Raumes, den ein Körper
einschließt.
Gebräuchliche Einheiten:




1 mm3 (Kubikmillimeter)
1 cm3 (Kubikzentimeter)
1 dm3 (Kubikdezimeter)
1 m3 (Kubikmeter)
dabei entspricht:
1 cm3 = 1 ml (Milliliter)
1 dm3 = 1 l
(Liter)
1 hl (Hektoliter) = 100 l
4,5 Volumeneinheiten
6 Volumeneinheiten
Die Umrechnungszahl für direkt aufeinanderfolgende Volumeneinheiten ist 1000
(Ausnahme 1 hl).
1000
m
3


dm l 
3
:1000
M 6.17
1000


cm ml 
3
:1000
1000


mm3
:1000
Volumen des Quaders
Das Volumen eines Quaders VQ mit der Länge l, der Breite b und der Höhe h berechnet sich
mit der Formel:
VQ = l  b  h
Damit folgt speziell für einen Würfel mit der
Kantenlänge a:
VW = a  a  a = a
Höhe h
3
Breite b
Länge l
Wichtig:
Rauminhalte, die aufgrund von Messwerten berechnet werden, sind nur so genau wie die
gewonnenen Messwerte! Bei Volumenberechnungen ist deshalb immer sinnvoll zu runden!
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M 6.18
Betrag einer rationalen Zahl
Unter dem (absoluten) Betrag einer Zahl versteht man ihren Abstand von der Zahl Null.
8 ( „Betrag von Acht“)
Schreibweise:
Beispiele:  23  23;
234  234;
0 0
Es gilt: Zahl und Gegenzahl besitzen denselben Betrag. Von zwei negativen rationalen
Zahlen ist diejenige die größere, die den kleineren Betrag besitzt!

4 4

5 5
und

4 4

5 5
4
5
-1
M 6.19
4
5
4
5
0
4
5
1
Vergleichen rationaler Zahlen
Eine rationale Zahl ist umso größer, je weiter rechts sich ihre Markierung auf der
Zahlengeraden befindet.
Vergleichen von positiven Brüchen:
Von zwei Brüchen mit gleichen Nennern ist derjenige größer, der den größeren Zähler
12 9

besitzt.
17 17
Von zwei Brüchen mit gleichen Zählern ist derjenige größer, der den kleineren Nenner
5 5

besitzt.
16 8
1
Oft lassen sich natürliche Zahlen 1,2,3....oder „einfache“ Brüche wie zwischen die
2
zu vergleichenden Brüche einordnen.
Um beliebige Bruchzahlen miteinander zu vergleichen, kann durch Kürzen oder Erweitern
sowohl der Nenner als auch der Zähler gleichnamig gemacht werden! Dann wendet man die
obigen Regeln an.
Vergleichen von Dezimalzahlen:
Dezimalzahlen vergleicht man von „links nach rechts“. Die erste Stelle, in der sich zwei
Dezimalzahlen unterscheiden, gibt an, welche die größere ist.
Beispiel:
42,4530 < 42,4537 < 42,4601 < 42,50
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2
M 6.20
Grundbegriffe der Prozentrechnung
Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz sind die wesentlichen Begriffe der
Prozentrechnung. Der Grundwert steht für „das Ganze“, also 100 %, der Prozentsatz
beschreibt den „Bruchteil“ vom Ganzen als Bruch mit dem Nenner 100 und der Prozentwert
gibt an, wie viel dieser „Bruchteil“ als „Anteil“ ausmacht.
Beispiel:
45
%

von
Prozentsatz
Berechnung des Prozentsatzes:
120kg

Grundwert
M 6.21
54
kg

Prozentwert
54kg
 0,45  45%
120kg
Berechnung des Grundwerts:
Berechnung des Prozentwerts:

45% sind 54 kg
1%
sind 54 kg:45
100% sind 1,2 kg 100
=1,2 kg
=120 kg
oder 0,45  G  54 kg
G = 54 kg:0,45=120 kg
0,45 120 kg=54 kg
Direkte und indirekte Proportionalität
Direkte Proportionalität:
Bei einer Verdoppelung (Verdreifachung,
…) der einen Größe verdoppelt
(verdreifacht, …) sich auch die andere
Größe.
Indirekte Proportionalität:
Bei einer Verdoppelung (Verdreifachung,
…) der einen Größe halbiert (drittelt, …)
sich die andere Größe.
Beispiel:
0,5 Liter Cola kostet 0,79 € (ohne Pfand).
Wie viel muss für 6 Liter Cola bezahlt
werden?
8 Arbeiter benötigen für einen
Abwasserkanal 12 Tage. Wie viele Arbeiter
benötigt man, wenn die Arbeit in drei Tagen
erledigt werden soll?
Lösung (mit dem Dreisatz):
Lösung (mit dem Dreisatz):
0,5 Liter
kostet 0,79 €
1 Liter kostet 2  0,79 € = 1,58 €
6 Liter kosten 6 1,58 € = 9,48 €
Beispiel:
8 Arbeiter
1 Arbeiter
brauchen
braucht
32 Arbeiter
brauchen
12 Tage
12  8 Tage
(= 96 Tage)
96 : 32 Tage
(=3Tage)
Achtung! Grenzen beachten! 96 Arbeiter schaffen den
Kanal nicht an einem Tag, sondern treten sich auf die
Füße!
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M 6. 22
Beschreibung von Anteilen
Beispiel: Von 20 Herzchen sind 5 rot

1
der Herzchen sind rot
4

eines von vier Herzchen ist rot

jedes vierte Herzchen ist rot

25% aller Herzchen sind rot
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