Knotenfärbung
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Def.: Eine Knotenfärbung eines Graphen G=(V,E) mit k
Farben ist eine Abbildung c:V→{1,...,k}, so dass c(u)≠c(v)
für alle {u,v}∈E.
‣ Die chromatische Zahl χ(G) eines Graphen G ist die minimale Anzahl
‣
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von Farben, die für eine Knotenfärbung von G benötigt wird.
c-1(i)⊆V heißt die i-te Farbklasse von c.
Anwendungen (Konfliktgraphen)
‣ Mobilfunk (Zuordnung von Frequenzen zu Sendern)
‣ Compilerbau (Zuordnung von Registern zu Variablen)
‣ Scheduling (Zuordnung von Ressourcen zu Aufgaben)
Algorithmische Graphentheorie: Knotenfärbungen Teil 1
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Abschätzungen
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Einfache Überlegungen
‣ Sei α(G) die Kardinalität der größten unabhängigen Menge in G und
‣
‣
‣
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ω(G) die Kardinalität der größten Clique in G
χ(G)≥2 |E|≥1
χ(G)≥3 G ist nicht bipartit G enthält Kreis ungerader Länge
χ(G)≥ω(G)
Untere und obere Schranke
‣ Jede Farbklasse ist eine unabhängige Menge
‣
‣
!
n
Untere Schranke χ(G) ≥ max ω(G),
α(G)
!
1
1
Obere Schranke χ(G) ≤ + 2|E| +
2
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"
Ein Greedy-Algorithmus
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Wähle gültige Farbe mit niedrigstem Index
‣ ∀v∈V: c(v)=0
‣ While ∃v∈V: c(v)=0
c(v)=min{k∈{1,2,...} : k≠c(u) für alle u∈N(v)}
‣
‣ Endwhile
Lineare Laufzeit
χ(G) ≤ Alg(G) ≤ Δ(G)+1 wobei Δ(G)=maxv∈V(deg(v))
Satz: Zu jedem Graphen existiert eine Knotenfolge, so
dass der Algorithmus mit χ(G) Farben auskommt.
‣ Beweis: Durchlaufe jede Farbklasse vollständig
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Satz von Brooks
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In vollständigen Graphen und Kreisen ungerader Länge
wird jeweils eine Farbe mehr als der maximale
Knotengrad benötigt.
‣ Vollständige Graphen: χ(Kn)=n=Δ(G)+1
‣ Ungerade Kreise: χ(C2n+1)=3=Δ(G)+1
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Im folgenden Satz wird gezeigt, dass dies die einzigen
zusammenhängenden Graphen mit dieser Eigenschaft sind.
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Satz (Brooks, 1941): Sei G ein zusammenhängender
Graph, so dass G≠Kn und G≠C2n+1. Dann gilt
χ(G)≤Δ(G).
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Beweis des Satzes von Brooks
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Notation:
‣
‣
‣
‣
A+v=A∪{v}
A-v=A\{v}
G-v=G[V\{v}]
G+vw=(V,E∪{{v,w}})
Δ=Δ(G)
Δ≤2: ein Knoten, Pfad oder Kreis, also sei Δ≥3
Induktion über n=|V|
‣ Anfang: K4
‣ Annahme: Alle Graphen mit höchstens n Knoten sind Cliquen mit Δ+1
Knoten oder Δ-färbbar
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1. Fall: ∃v: G-v ist nicht zusammenhängend
‣ Sei A eine Zusammenhangskomponente in G-v und B=V-A-v
‣ Aus der Annahme folgt, dass A+v und B+v entweder Cliquen mit Δ+1
‣
‣
Knoten oder Δ-färbbar sind
Der erste Fall kann nicht eintreten, da v mit jeweils mindestens einem
Knoten aus A und B verbunden ist
Färbe A+v und B+v getrennt, benennen die Farben so um, dass v in
beiden Färbungen die gleiche Farbe hat und setze die Färbungen
zusammen.
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2. Fall: Nicht Fall 1 und ∃v,w: {v,w}∉E und G-v-w ist nicht
zusammenhängend
‣
‣
‣
‣
‣
‣
Sei A eine Zusammenhangskomponente in G-v-w und B=V-A-v-w
v und w sind jeweils mit mind. einem Knoten aus A und B verbunden
G1=G-B und G2=G-A
Δ(G1+vw)=Δ(G2+vw)=Δ
G1+vw und G2+vw sind Cliquen mit Δ+1 Knoten oder Δ-färbbar
(Annahme)
Fall 2.1: Beide Graphen sind Δ-färbbar
- Es gibt Δ-Färbungen in denen v und w jeweils unterschiedliche Farben haben
- Umbenennen der Farben und zusammensetzen
‣ Fall 2.2: Einer der Graphen (G1+vw) ist Clique mit Δ+1 Knoten
- v und w sind jeweils mit genau einem Knoten in B verbunden
- Es gibt eine Δ-Färbung von G2, in der v und w die gleiche Farbe haben
(Kontraktion & Annahme)
- Das gleiche gilt für G1 (vollständiger Graph mit einer fehlenden Kante)
- Umbenennen der Farben und zusammensetzen
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3. Fall: ∀v,w mit {v,w}∉E: G-v-w ist zusammenhängend
‣ Wähle u, so dass deg(u)=Δ
‣ Wenn alle Nachbarn von u verbunden sind, ist G vollständig
‣
‣
‣
‣
(Zusammenhang und maximaler Knotengrad Δ)
Also seien v,w nicht benachbarte Nachbarn von u
v1=v, v2=w, vn+1=u
Wähle vi, so dass vi einen Nachbarn in {vi+1, ..., vn+1} hat
(möglich, da G-v-w zusammenhängend)
Wende den Greedy-Algorithmus auf v1, ..., vn+1 an
- c(v1)=c(v2)=1
- Für jeden Knoten v3, ..., vn wurden höchstens Δ-1 der Nachbarn bereits gefärbt,
es werden also nicht mehr als Δ Farben verwendet
- Alle Δ Nachbarn von vn+1 wurden gefärbt, zwei davon (v und w) mit derselben
Farbe Eine der Δ Farben steht zur Verfügung
q.e.d.
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Vierfarbensatz
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Färben von Landkarten, so dass benachbarte Länder nicht
dieselbe Farbe haben
‣ Modellierung durch planare Graphen (Graphen, die man
überschneidungsfrei in der Ebene zeichnen kann)
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Vermutung von 1852: Es genügen vier Farben.
Satz (Appel und Haken, 1977): Für jeden planaren
Graphen G ist χ(G)≤4.
‣ Überprüfung von 1936 Graphen (später 1476) durch einen Computer
‣ 4-Färbungsalgorithmus für planare Graphen mit Laufzeit O(|V|2)
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