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Schuljahr 2015/2016
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
Inhaltsverzeichnis
Komplexe Zahlenebene ...................................................................................................................... 1
Rechnen mit komplexen Zahlen ......................................................................................................... 2
Polarform komplexer Zahlen ............................................................................................................. 4
Wurzeln komplexer Zahlen ................................................................................................................ 6
Formel von Cardano .......................................................................................................................... 8
Für Experten ..................................................................................................................................... 10
Komplexe Zahlenebene
Bekanntlich kann man jeden Punkt der Ebene mit
zwei Koordinaten beschreiben. Ist die erste
Koordinate a und die zweite Koordinate b, dann
schreibt man den Punkt in der Form P  a | b  .
Definition: Jeden Punkt P  a | b  der Ebene kann
Im
P  a | b   z  a  b i
b
1
man als eine komplexe Zahl
z  a  bi
schreiben.
a
1
Re
Fasst man die Punkte der Ebene als komplexe Zahlen auf, dann nennt man die Ebene die komplexe
Zahlenebene.
Definition: Die Menge
   z  a  b i | a, b  
heißt Menge der komplexen Zahlen.
Definition: Für eine komplexe Zahl z  a  b i heißt a der Realteil und b der Imaginärteil.
Schreibweise: a  Re  z  und b  Im  z  .
Zahlen der Form z  a (also Imaginärteil b  0 ) liegen auf der Rechtsachse, die man in der
komplexen Zahlenebene die reelle Achse nennt. Diese Zahlen sind die reellen Zahlen, und die reelle
Achse ist die gewöhnliche Zahlengerade. Jede reelle Zahl ist also eine spezielle komplexe Zahl.
Zahlen der Form z  bi (also Realteil a  0 ) heißen imaginäre Zahlen. Sie liegen auf der Hochachse, die man in der komplexen Zahlenebene die imaginäre Achse nennt.
Definition: Der Betrag einer komplexen Zahl z  a  b i ist
Im
z  a  bi
b
z  a 2  b2 .
z
Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand der Zahl in der
komplexen Zahlenebene vom Ursprung.
a
Re
Für eine reelle Zahl z  a ist z  a 2  02  a 2  a , also der übliche Betrag.


Beispiel: z   z  1 ist in der komplexen Zahlenebene der Kreis um 0 mit dem Radius 1.
zus_komplexezahlen
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Im
Definition: Für eine komplexe Zahl z  a  b i heißt
z  a  bi
die konjugiert komplexe Zahl.
z  a  bi
b
Die konjugiert komplexe Zahl entsteht durch eine Spiegelung an
der reellen Achse.
a
z  a  bi
–b
Re
Für eine reelle Zahl ist die konjugiert komplexe Zahl gleich der Zahl selbst.
Rechnen mit komplexen Zahlen
Definition (Addition):  a  b i    c  d i    a  c    b  d  i
Deutung in der komplexen Zahlenebene:
Den komplexen Zahlen z  a  b i und w  c  d i
entsprechen die Punkte P  a | b  und Q  c | d  mit den
  a 
  c 
Ortsvektoren OP    und OQ    .
b
d 
Der Summe z  w entspricht der Punkt mit dem Orts   a  c 
vektor OP  OQ  
.
b  d 
Im
zw
w
z
Re
Für reelle Zahlen z  a  0 i und w  c  0 i ist z  w   a  c   0 i  a  c , also die übliche
Addition.
Feststellung: Für die Addition komplexer Zahlen gilt:
1. das Kommutativgesetz: z1  z2  z2  z1 ;
2. das Assoziativgesetz:  z1  z2   z3  z1   z2  z3  ;
3. es gibt ein neutrales Element: z  0  z ;
4. jede Zahl z  a  b i hat eine Gegenzahl, nämlich  z   a  b i , so dass gilt: z    z   0 .
Für eine reelle Zahl z  a ist die Gegenzahl  z  a , also die übliche Gegenzahl.
Im
z  a  bi
b
Das Negative einer komplexen Zahl entsteht durch eine
Spiegelung am Ursprung.
–a
a
–b
 z  a  b i
Wie bei reellen Zahlen wird die Subtraktion definiert als die Addition der Gegenzahl:
Definition (Subtraktion): z  w  z    w 
Also ist  a  b i    c  d i    a  c    b  d  i .
zus_komplexezahlen
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Re
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Der Abstand zweier reeller Zahlen a und b auf der Zahlengeraden ist a  b . Das gilt entsprechend
für komplexe Zahlen:
Merke: Der Abstand zweier komplexer Zahlen z und w in der komplexen Zahlenebene ist
zw .


Beispiel: z   z  i  1 ist in der komplexen Zahlenebene der Kreis um i mit dem Radius 1.
Definition (Multiplikation):  a  b i    c  d i    ac  bd    ad  bc  i .
Beispiel: i  i   0  1i    0  1i    0  0  1  1   0  1  1  0  i  1
Für reelle Zahlen z  a  0 i und w  c  0 i ist
z  w   a  0 i    c  0 i    ac  0  0    a  0  0  c   a  c , also die übliche Multiplikation.
Feststellung: Für die Multiplikation komplexer Zahlen gilt:
1. das Kommutativgesetz: z1  z2  z2  z1 ;
2. das Assoziativgesetz:  z1  z2   z3  z1   z2  z3  ;
3. es gibt ein neutrales Element: z  1  z .
Feststellung: Für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen gilt das Distributivgesetz:
z1   z2  z3   z1  z2  z1  z3 .
Tatsächlich muss man sich die Definition der Multiplikation nicht merken, sondern man schreibt die
komplexen Zahlen in Klammern, multipliziert wie üblich aus und ersetzt i  i durch 1 .
Beispiel:
 2  3 i    4  5 i   2  4  2  5 i  3 i  4  3 i  5 i  8  10 i  12 i  15 ii  8  22 i  15  7  22 i
Definition (n-te Potenz): z n  
z 
z
 
 z ( n  1, 2, 3,  )
n Faktoren
2
Beispiel: i  i  i  1
Feststellung: Jede komplexe Zahl z  a  b i , z  0 hat eine Kehrzahl, nämlich
1
a
b
 2
 2
i,
2
z a b
a  b2
1
so dass gilt: z   1 .
z
Beweis: Es ist
a  bi
a
b
, also
i 2
 2
2
2
a b
a b
a  b2
2
2
a  b i  a  b i  a  b i  a   b i 
1
a 2  b2
z   a  bi  2



 1.
z
a  b2
a 2  b2
a 2  b2
a 2  b2
2
zus_komplexezahlen
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
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Bemerkung: Es ist
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1
z
1
z
zz
1
2
 2 , also z   z  2  2 . Wegen z  z  z ist z   1 .
z
z z
z
z
z
Für eine reelle Zahl z  a ist
Definition (Division):
1 a 1

 , also die übliche Kehrzahl.
z a2 a
z
1
 z
(w  0)
w
w
Diese Definition ergibt für reelle Zahlen die übliche Division.
Tatsächlich muss man sich die Definition der Division nicht merken, sondern man erweitert den
Bruch mit dem komplex konjugierten Nenner und wendet die dritte binomische Formel an.
Beispiel:
4  5 i  4  5 i    6  8 i  24  32 i  30 i  40 64  2 i 64
2
16 1





i
 i
6  8i 6  8i   6  8i
36  64
100
100 100
25 50
Für Experten: Die komplexen Zahlen bilden einen Körper.
Polarform komplexer Zahlen
Feststellung und Definition: Jeder komplexen Zahl z  0 kann man
den Winkel  zwischen der positiven reellen Achse und der Strecke 0z
zuordnen, wobei 180    180 gilt. Dieser Winkel heißt das
Argument von z.
Schreibweise: arg  z 
Beispiel: arg  i   90
Berechnung von   arg  z  :
Sonderfälle:
1. z reell, also z  a :
a) a  0 :   0
b) a  0 :   180
2. z imaginär, also z  b i :
c) b  0 :   90
d) b  0 :   90
Im
Allgemeiner Fall: Für z  a  bi ist
b
tan   .
a
z  a  bi
b
b

a
zus_komplexezahlen
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a
Re
Im
z

0
Re
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Achtung: Im Fall
1. a  0 und b  0 ist 90    180 , und man muss 180° zum GTR-Ergebnis addieren.
Beispiel: z  3  2 i
2
2

tan  
3
3
  33, 7  180  146,3
2. a  0 und b  0 ist 180    90 , und man muss 180° vom GTR-Ergebnis subtrahieren.
Beispiel: z  3  2 i
2 2
tan  

3 3
  33, 7  180  146,3
Eine komplexe Zahl z  a  b i , z  0 kann man mit ihrem Betrag r  z und ihrem Argument
  arg  z  darstellen:
Im
Im Sonderfall r  1 (Vergleiche „Sinus und Kosinus im
Einheitskreis“) gilt
a  cos 
1
b
z  a  bi

b  sin 
a
1
Re
Im
r
z  a  bi
b
Im allgemeinen Fall mit beliebigem r denkt man sich das
obige Bild zentrisch gestreckt, mit dem Ursprung als
Streckzentrum und dem Streckfaktor r. Dann erhält man
a  r  cos 
r

Re
a
b  r  sin 
r
Also gilt z  a  b i  r  cos   r  sin   i  r   cos   sin   i  . Das ist die Darstellung mit dem
Betrag und dem Argument:
Definition: Die Polarform einer komplexen Zahl z  0 ist
z  r   cos   sin   i  mit r  z und   arg  z  .
Bemerkung: Der GTR stellt die Polarform in der Form z  r  e i dar.
Im Gegensatz zur Polarform heißt die Darstellung z  a  b i die Normalform.
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Umrechnung von der Normalform z  a  b i in die Polarform z  r   cos   sin   i  :
1. r  z  a 2  b 2
2. Bestimme   arg  z  wie oben erläutert.
Umrechnung von der Polarform z  r   cos   sin   i  in die Normalform z  a  bi :
z  r  cos   r  sin   i , also a  r  cos  und b  r  sin  .
Feststellung (Beweis siehe „Für Experten“): Für komplexe Zahlen z1  r1   cos 1  sin 1  i  und
z2  r2   cos  2  sin 2  i  ist
z1  z2  r1 r2   cos 1   2   sin 1   2   i  .
Also gilt:
 z1  z2  z1  z2 und
 arg  z1  z2   arg  z1   arg  z2 
Für Experten: Man muss evtl. 360° addieren oder subtrahieren.
Merke: Bei der Multiplikation komplexer Zahlen
 multiplizieren sich die Beträge und
 addieren sich die Argumente.
Durch n-fache Anwendung dieser Formel bzw. durch vollständige Induktion folgt der
Satz (Formel von Moivre): Die n-te Potenz ( n  2, 3, 4,  ) einer komplexen Zahl
z  r   cos   sin   i  ist
z n  r n   cos  n     sin  n     i  .
Also gilt:
n
 z n  z
 arg  z n   n  arg  z 
Für Experten: Man muss eventuell 360° oder ein Vielfaches von 360° addieren oder
subtrahieren.
Wurzeln komplexer Zahlen
Definition: Gegeben ist eine komplexe Zahl z und eine natürliche Zahl n  2 . Eine komplexe
Zahl w mit
wn  z
heißt eine n-te Wurzel von z; im Fall n  2 heißt w eine Quadratwurzel von z.
Liest man die Formel von Moivre „rückwärts“, dann erhält man den
Satz: Jede komplexe Zahl z hat eine n-te Wurzel ( n  2, 3, 4,  ), nämlich die Zahl w, für die gilt:
w
zus_komplexezahlen
n
z
und arg  w  
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arg  z 
n
.
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Also ist Re  w  
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n
 arg  z  
z  cos 
 und Im  w  
n


n
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 arg  z  
z  sin 
.
n


Standardaufgabe: Berechne eine n-te Wurzel w einer komplexen Zahl z  a  bi .
Lösung:
1. Berechne z  a 2  b 2 .
2. Berechne tan  arg  z   
b
a
arg  z   
Achtung: Im Fall a  0 und b  0 muss man 180° zum GTR-Ergebnis addieren, und im Fall
a  0 und b  0 muss man 180° vom GTR-Ergebnis subtrahieren!
 arg  z  
 arg  z  
3. Berechne Re  w   n z  cos 
 und Im  w   n z  sin 
.
n
n




Feststellung: Ist die Zahl w1 eine n-te Wurzel der Zahl z ( n  2, 3, 4,  ), dann erhält man eine
360
weitere n-te Wurzel w2 von z, indem man das Argument von w1 um
vergrößert.
n
Beweis: Da w1 eine n-te Wurzel von z ist, gilt n  arg  w1   arg  z  . Daraus folgt
360 


n  arg  w2   n   arg  w1  
  n  arg  w1   360  n  arg  w1   arg  z  .
n 

Also ist auch w2 eine n-te Wurzel von z.

Folgerung: Eine komplexe Zahl z  0 hat für jede natürliche Zahl n  2 mindestens n verschiedene
n-te Wurzeln.
360
erhöhen, bis man das
n
ursprüngliche Argument plus 360° und damit die ursprüngliche n-te Wurzel erhält.
Beweis: Man kann das Argument einer n-ten Wurzel n-mal um

Feststellung: Eine komplexe Zahl z hat für jede natürliche Zahl n  2 höchstens n verschieden n-te
Wurzeln.
Beweis: Eine n-te Wurzel von z ist eine Nullstelle des Polynoms x n  z  0 , und wie im Reellen hat
ein Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen.

Daraus folgt der
Satz: Eine komplexe Zahl z  0 hat für jede natürliche Zahl n  2 genau n verschiedene n-te
Wurzeln.
Bei reellen Zahlen ist das bekanntlich anders:
1. Eine positive reelle Zahl x hat genau eine reelle n-te Wurzel, nämlich n x .
2. Ist x eine negative reelle Zahl und n ungerade, dann hat x genau eine reelle n-te Wurzel,
nämlich  n x .
zus_komplexezahlen
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3. Ist x eine negative reelle Zahl und n gerade, dann hat x keine n-te Wurzel.
Fall n  2 : Eine komplexe Zahl z  0 hat zwei verschiedene Quadratwurzeln:
arg  z 
1. Die Zahl w1 mit w1  z und arg  w1  
;
2
2. die Zahl w2   w1 .
Sonderfall: Eine negative reelle Zahl x hat die beiden Quadratwurzeln w1 
x i und w2   x i .
Beispiel: Die Zahl 1 hat die beiden Quadratwurzeln i und i .
Alle n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl z haben denselben Betrag
unterscheiden sich jeweils um
n
z , und ihre Argumente
360
. Daraus folgt die
n
Feststellung: Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl z liegen in der Zahlenebene auf dem Kreis
um den Ursprung mit dem Radius n z , und sie sind die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks.
Im
Beispiel: Die vierten Wurzeln von 1 sind i, 1 , i und 1.
Sie liegen auf dem Einheitskreis und sind die Ecken eines
Quadrats.
1 i
1 Re
–1
–i
Feststellung: Ist die Zahl w eine n-te Wurzel der Zahl z, dann ist w eine n-te Wurzel von z .
2
Beweis: Da w eine n-te Wurzel von z ist, gilt wn  z . Man kann nachrechnen, dass w  w2 gilt.
n
n
Daraus folgt durch vollständige Induktion: w  wn . Also ist w  z , d. h. w ist eine n-te Wurzel
von z .

Formel von Cardano
Eine Gleichung dritten Grades, also eine Gleichung der Form
ax 3  bx 2  cx  d  0 ( a, b, c, d  ; a  0 ),
hat stets eine reelle Zahl als Lösung, denn fasst man die linke Seite als den Term einer Funktion f
auf, dann ist f eine Funktion dritten Grades, für die gilt:
1. Fall a  0 : Für x   strebt f  x    , und für x   strebt f  x    ;
2. Fall a  0 : Für x   strebt f  x    , und für x   strebt f  x    .
Also hat f auf jeden Fall eine (reelle) Nullstelle, d. h. die Gleichung hat eine reelle Lösung.
Für eine spezielle Form einer solchen Gleichung gibt es eine Lösungsformel:
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Satz (Formel von Cardano; ohne Beweis): Gegeben ist eine Gleichung der Form
x3  px  q  0 ( p, q   ).
Bei geeigneter Wahl der Wurzeln ist
3
 p q
mit D      
 3  2
q
q
x   D 3  D
2
2
eine reelle Lösung der Gleichung.
3
2
Es gibt zwei Fälle:
1. Ist D  0 , dann ist D eine reelle Zahl, und bei der Berechnung der Lösung treten nur
reelle Zahlen auf, weil man als dritte Wurzel einer reellen Zahl immer eine reelle Zahl
nehmen kann.
2. Ist D  0 , dann ist
D  D i.
Setzt man
z : 
q
 D
2
dann lautet die Formel von Cardano:
x3z
3
z .
Ist w eine dritte Wurzel von z, dann ist w eine dritte Wurzel von z .
Also ergibt die Formel von Cardano die Lösung
x  w  w.
Die Zahl x ist eine reelle Zahl, denn für jede komplexe Zahl w  a  b i ist
w  w   a  b i    a  b i   2a  2  Re  w  .
Standardaufgabe: Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung x3  px  q  0 .
Lösung:
3
2
 p q
1. Berechne D       .
 3  2
2. Fall D  0 : Berechne x  3 
q
q
 D3  D.
2
2
Fall D  0 :
3. Berechne z  
q
 D mit
2
D
4. Berechne den Realteil Re  w  
5. Berechne x  2  Re  w  .
3
D i.
 arg  z  
z  cos 
 einer dritten Wurzel w von z.
 3 
Für Experten: Eine Gleichung der Form
x3  bx 2  cx  d  0 ( b, c, d   )
kann durch eine geeignete Substitution in eine Gleichung der Form
u 3  pu  q  0
überführt werden. Also kann man mit der Formel von Cardano beliebige Gleichungen dritten
Grades lösen.
zus_komplexezahlen
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Für Experten
Beweis der Feststellung: Für komplexe Zahlen z1  r1   cos 1  sin 1  i  und
z2  r2   cos  2  sin 2  i  gilt
z1  z2  r1 r2   cos 1   2   sin 1   2   i  .
Beweis:
Ohne Begründung: Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:
sin      sin   cos   cos   sin 
cos      cos   cos   sin   sin 
Daraus folgt
z1  z2  r1   cos 1  sin 1  i   r2   cos 2  sin  2  i 
 r1  r2   cos 1  cos  2  sin 1  sin 2    cos 1  sin  2  sin 1  cos  2   i 
 r1 r2   cos 1  2   sin 1  2   i 

Feststellung: Eine Gleichung der Form
x3  bx 2  cx  d  0 ( b, c, d   )
wird durch die Substitution
b
xu
3
in eine Gleichung der Form
u 3  pu  q  0
überführt.
Beweis: Die Substitution ergibt
3
2
b
b
b



u    b u    c u    d  0
3
3
3



 2 2
b2 
bc
 b
 b  b
u  3  u      3  u          b   u  ub    cu   d  0
3
9 
3
 3
 3  3

b2
b3
b3
bc
2
u 3  bu 2  u 
 bu 2  b 2 u   cu   d  0
3
27
3
9
3
2
 b

bc 
 2
u 3     c   u   b3    d  0
3
 27
 3

2
3
zus_komplexezahlen
3
2
10/10

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Zusammenfassung: Komplexe Zahlen - Lehrer-Uni