H. 4. 1
Weitere ebene Figuren: Ebene Figuren in Alltag, Kunst und Spiel
1. Unterrichtsstunde
Vorbereitung
Neudurchnahme
Aufgabenblatt MA 1 in Klassenstärke kopieren, Kopiervorlage MA 2 auf Folie kopieren. Eine Wasserwaage mitbringen.
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Anwendungsaufgaben zu Dreiecken
Der Lehrer leitet das Stundenthema ein.
Heute sehen wir uns an, wie man das, was wir in Geometrie gelernt haben, praktisch
verwenden kann: Man kann Dreiecke zur Entfernungsbestimmung nutzen.
MA 1 wird ausgeteilt und die Aufgabe zum Eiffelturm wird gemeinsam besprochen. Der Lehrer erläutert dazu anschaulich, wie man den Sichtwinkel misst.
Um den Sichtwinkel zu messen, fixiert man einen Punkt mit den Augen und hält
dann z. B. den Tafelzirkel so, dass der „Scheitel“ des Zirkels auf Augenhöhe ist, der
eine Schenkel (entlang einer Wasserwaage) horizontal liegt und der andere Schenkel
auf den anvisierten Punkt zeigt. Der Sichtwinkel ist dann der Winkel, den der Zirkel
bildet. Alternativ hält man den 0 cm-Punkt des Geodreiecks auf Augenhöhe in Richtung Zielobjekt mit langer Seite waagrecht entlang der Wasserwaage und kann dann
den Winkel ablesen.
Aufgabe
Material MA 1
Bearbeite Aufgabe 1 von MA 1.
Lösung:
Entsprechend der Angaben wird eine Skizze angefertigt und die gegebenen Seiten
und Winkel gefärbt.
Tafel
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Geg.: AB = 150 m,
α = 42,5°,
β = 58°
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Je nach Bedarf werden an dieser Stelle die Kongruenzsätze wiederholt. Die Konstruktion zur Lösung
der Aufgabe wird im Unterrichtsgespräch besprochen und von den Schülern in Einzelarbeit durchgeführt.
Fragen
1. Lassen sich aus diesen Angaben Dreiecke konstruieren, die uns helfen, die Höhe
des Eiffelturms herauszufinden?
2. 150 m können wir nicht ins Heft zeichnen, wie behelfen wir uns?
Antworten:
1. Das Dreieck ABS wird nach WSW konstruiert; die Strecke [AB] muss dabei
waagrecht liegen.
Anschließend kann man das Dreieck BCS zeichnen: Man erhält den Punkt C,
indem man die Senkrechte von Spitze S nach unten, also das Lot von S auf die
Halbgerade [AB zeichnet.
(Korrekte Konstruktion nach WSW: β = 58°, SSCB = 90° ⇒ SBSC = 32°)
2. Man muss einen geeigneten Maßstab finden. Beim Maßstab 1 : 50 z. B. entsprechen 150 m im Original 3 cm in der Zeichnung.
:100 ⋅ 2
AB = 150 m 
→ 3 cm
Wenn man mit der Konstruktion fertig ist, kann man schließlich die Strecke [SC]
abmessen und zurückrechnen. So erhält man die Höhe des Eiffelturms.
Konstruktion:
Tafel
Es wird gefragt, wer zwischen 310 und 330 Metern herausbekommen hat. Die Auflösung folgt (in Realität: 324 m). Es sollte dabei auf das Problem der Augenhöhe eingegangen werden.
Der Lehrer stellt den Nutzen der Methode heraus.
Mit dieser Methode kann man jede Höhe herausbekommen, ohne etwas über das
Gebäude, den Baum etc. zu wissen. Man steht etwa in einiger Entfernung zu einer
großen Fichte und misst den Winkel wie erläutert. Dann geht man eine bestimmte
Strecke direkt auf den Baum zu und misst den Winkel erneut. Aus den beiden Winkeln und der Strecke kann man über eine Konstruktion wie in der Aufgabe die Höhe
bestimmen.
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Als zweites Anwendungsbeispiel wird MA 2 aufgelegt.
Aufgabe
Material MA 2
Auf Wanderwegen, wie dem Scheidegger Höhenweg im Allgäu, stehen manchmal
Wegweiser, die die Richtung und Entfernung großer Städte angeben.
Kannst du mit diesem Wegweiser auch bestimmen, wie weit z. B. die Städte Moskau
und Berlin voneinander entfernt sind?
Lösung:
Wenn man zwischen den Richtungen der einzelnen Wegweiser die Winkel misst,
kann man Dreiecke nach SWS konstruieren und damit die Entfernungen zwischen
den verschiedenen Städten herausbekommen.
Gemeinsam wird die Entfernung Moskau – Berlin berechnet.
Tafel
Entfernung Moskau – Berlin
Skizze:
Geg.:
A: Wegweiser, B: Berlin, M: Moskau
α = 28,5°
AB = 563 km
:1 000 :100 : 2

→ ≈ 2,8 cm
AM = 2 073 km → ≈ 10, 4 cm
Konstruktion:
⋅ 2 ⋅ 100 ⋅ 1 000
⇒ BM = 8 cm 
→ ≈ 1 600 km
Antwort: Moskau ist ungefähr 1 600 km von Berlin entfernt.
Die Schüler werden in drei Gruppen unterteilt und erhalten jeweils die Aufgabe, die Entfernung zwischen zwei Städten herauszufinden. Schnelle Schüler dürfen im Sinne der Binnendifferenzierung eine
zweite Aufgabe bearbeiten. Anschließend werden die Ergebnisse verglichen.
Aufgabe
Berechne jeweils die Entfernung zwischen den beiden Städten:
a) Kapstadt – Moskau
b) Moskau – Vatikanstadt
c) Kapstadt – Rio
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MA 2
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Internationaler Wegweiser
Die Winkel zwischen den Wegweisern betragen:
• Kapstadt – Moskau: 115°
• Moskau – Berlin: 28,5°
• Moskau – Vatikanstadt: 111,5°
• Kapstadt – Rio de Janeiro: 25°
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