Die hyperbolische Geometrie der speziellen Relativitätstheorie

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Maturaarbeit 2014
Fach Physik
Thomas Renggli
Die hyperbolische Geometrie der
speziellen Relativitätstheorie
Was ist die spezielle
Relativitätstheorie?
Die spezielle Relativitätstheorie basiert auf
zwei Postulaten:
Addition mit
relativistischen
Faktoren
(aus S betrachtet)
Die Zeit wird
Relativitätsprinzip
Prinzip der Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit
Als Folge von diesen Postulaten kommt es bei
Bewegung mit grosser Geschwindigkeit zu
Auswirkungen auf Raum und Zeit. Namentlich
sind das die Zeitdilatation und die
Längenkontraktion. Auch die Addition von
Geschwindigkeiten wird beeinflusst.
beeinflusst
Euklidische
Geometrie
Minkowski
Geometrie
y
Die Geometrie der Raumzeit
ct
x
In der dreidimensionalen Raumzeit
addieren sich die Winkel als Längen auf
dem Einheitshyperboloid. Auf dieser
konstant gekrümmten Fläche herrscht eine
hyperbolische Geometrie. In dieser
Geometrie findet also die Addition der
Winkel bzw. der Geschwindigkeiten statt.
Die Geschwindigkeitsvektoren können nun
auf die pioncarésche Kreisscheibe projiziert
werden.
Dreieck in der hyperbolischen Geometrie
verkürzt. (für den
Raketenfahrer in )
Erdensystem S
x
Raum und Zeit sind keine absoluten Grössen. Deshalb führt
man eine absolute Raumzeit ein, indem man das
dreidimensionale räumliche System mit einer vierten
erweitert Aus Folge der sich von den
Zeitdimension erweitert.
räumlichen unterscheidenden Zeitdimension herrscht im
Minkowski-Geometrie
Raumzeit-System eine sogenannte Minkowski-Geometrie.
Hier gilt der hyperbolische Satz des Pythagoras.
Die Addition der Geschwindigkeiten
Im Raum-Zeit-Diagramm gibt die Steigung einer
Weltlinie die Geschwindigkeit eines Objekts an.
Diese Steigungen können mit hyperbolischen
Winkeln (
) beschrieben und addiert werden.
So können Geschwindigkeiten ohne relativistische
Faktoren (wie oben) addiert werden.
Addition der Geschwindigkeiten auf dem
Hyperboloid
Projektion auf die pioncarésche
Kreisscheibe
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