Klausur mit Lösung - www2.inf.h

Statistik und Graphentheorie
Sommersemester 2012
3. Juli 2012
Teil Graphentheorie
Name:
Matrikelnummer:
1 (12) 2 (12) 3 (12) 4 (12) 5 (12)
P
(60)
Name:
Matrikel:
Aufgabe 1 (12 Punkte)
Gegeben sei das folgende Netzwerk:
(a) Berechnen Sie schrittweise die Abstände von a zu allen anderen Knoten.
(b) Geben Sie einen kürzesten Weg von a nach k an.
Lösung:
Iter.
1
2
3
4
5
(a)
6
7
8
9
10
11
a
0
b
c
∞ ∞
9
1
9
9
7
d
e f
g
∞ ∞ ∞ ∞
7 ∞ ∞ ∞
7
4 ∞ ∞
6
∞ ∞
13 15
12 15
14
14
h
∞
∞
∞
∞
∞
∞
19
19
16
16
i
j
k
∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞
∞ 12 ∞
∞ 12 ∞
∞ 12 ∞
∞ 12 ∞
∞ 12 ∞
15
18
15
18
17
17
u
a
c
e
d
b
f
j
g
i
h
k
d(u) p(u)
0
—
1
a
4
c
6
e
7
d
12
b
12
c
14
f
15
j
16
g
17
i
(b) Nach Tabelle aus (a) der Weg (a, c, j, i, k) mit Länge 17. Ebenfalls die Länge 17 hat
der Weg (a, c, e, d, b, f, g, h, k).
2
Name:
Matrikel:
Aufgabe 2 (12 Punkte)
Auf einer entfernten Inselgruppe im Eismeer, die aus den sieben Inseln A bis G besteht,
möchte man Pinguine und Eisbären ansiedeln. Weil die Eisbären eine Gefahr für die
Pinguine darstellen, müssen die beiden Tierarten strikt getrennt werden. Deshalb hat man
sich entschlossen, auf jeder Insel entweder nur Eisbären oder nur Pinguine anzusiedeln,
aber nie beide Arten gemeinsam.
Da Eisbären außerdem gute Schwimmer sind, sollen die Tiere so auf die Inseln verteilt
werden, dass die geringste Entfernung zwischen einer Eisbären- und einer Pinguin-Insel
möglichst groß ist. Die nachfolgende Tabelle gibt die Entfernungen der Inseln untereinander an.
A
A
0
B 560
C
77
D 502
E 120
F 432
G 175
B
560
0
621
68
653
139
400
C
77
621
0
566
63
496
232
D
502
68
566
0
598
81
364
E
120
653
63
598
0
528
264
F
432
139
496
81
528
0
294
G
175
400
232
364
264
294
0
Auf welchen Inseln sollen Eisbären und auf welchen Pinguine angesiedelt werden?
(a) Erläutern Sie kurz, wie Sie mit Hilfe der Graphentheorie dieses Problem lösen
können.
(b) Berechnen Sie eine Lösung des Problems. Machen Sie Ihre Berechnung deutlich.
Lösung:
(a) Die Aufgabe entspricht der Clusteranalyse mit Minimalgerüsten. Gesucht ist eine
Aufteilung der Inseln in genau zwei Cluster: die Pinguin-Inseln und die EisbärenInseln. Zur Berechnung bilden wir ein Minimalgerüst auf dem vollständigen Graphen
mit den Knoten A bis G, wobei die Kantenlängen mit den Entfernungen aus der
Tabelle identisch sind. Aus dem Minimalgerüst löschen wir dann die längste Kante
und erhalten so zwei Gruppen, die maximal weit auseinander liegen.
(b) Berechnung des Minimalgerüstes mit dem Algorithmus von Kruskal:
3
Name:
Matrikel:
Iter.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cluster
{A}, {B}, {C}, {D}, {E}, {F }, {G}
{A}, {B}, {C, E}, {D}, {F }, {G}
{A}, {B, D}, {C, E}, {F }, {G}
{A, C, E}, {B, D}, {F }, {G}
{A, C, E}, {B, D, F }, {G}
{A, C, E}, {B, D, F }, {G}
{A, C, E}, {B, D, F }, {G}
{A, C, E, G}, {B, D, F }
{A, C, E, G}, {B, D, F }
{A, C, E, G}, {B, D, F }
{A, B, C, D, E, F, G}
Kante Länge Selektion
{C, E}
63
ja
{B, D}
68
ja
{A, C}
77
ja
{D, F }
81
ja
{A, E}
120
nein
{B, F }
139
nein
{A, G}
175
ja
{C, G}
232
nein
{E, G}
264
nein
{F, G}
294
ja
STOP
{F, G} ist die längste Kante des Minimalgerüstes. Wenn wir diese herausnehmen,
entstehen die beiden Mengen M1 = {A, C, E, G} und M2 = {B, D, F }, die 294
Längeneinheiten auseinander liegen. Wir können nun z.B. die Bären auf der Inselmenge M1 und die Pinguine auf der Inselmenge M2 ansiedeln (oder umgekehrt).
4
Name:
Matrikel:
Aufgabe 3 (12 Punkte)
Es sei G = (V, E) ein Baum mit |V | ≥ 3 und der größte Abstand zwischen zwei Knoten
von G sei 2.
(a) Wie sehen solche Bäume aus? Zeichnen Sie für |V | = 5 und für |V | = 6. jeweils ein
Diagramm solch eines Baums.
(b) Zeigen Sie: Es gibt einen Knoten z ∈ V , der adjazent zu allen anderen Knoten ist.
Lösung:
(a)
(b) Da der größte Abstand zwischen zwei Knoten 2 beträgt, existiert ein Weg (a, z, b)
der Länge 2. z sei der mittlere Knoten dieses Weges.
Annahme: Es existiert ein Knoten u 6= z, der nicht adjazent zu z ist.
Dann muss u von z einen Abstand von 2 haben (Abstand ≤ 1 ist nicht möglich,
weil sonst u = z oder u zu z adjazent wäre, Abstand > 2 ist nach Voraussetzung
ausgeschlossen).
Wenn u von z den Abstand 2 hat, dann hat u von a oder b aber den Abstand 3
(denn in einem Baum gibt es genau einen Weg zwischen zwei Knoten und der führt
von u nach a oder b nur über z). Widerspruch!
Also ist z zu allen Knoten u 6= z adjazent.
5
Name:
Matrikel:
Aufgabe 4 (12 Punkte, für WS 2010/11 oder später)
Wenn Sie die Klausur als Prüfung nach dem alten Curriculum ablegen, können
Sie alternativ auch die Aufgabe 4’ bearbeiten. Es wird aber nur eine der beiden
Aufgaben 4 bzw. 4’ gewertet!
Gegeben sei der folgende Graph G:
(a) Ist folgende Graph planar?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Ermitteln Sie für den folgenden Graphen das chromatische Polynom f (G, x) und
die chromatische Zahl χ(G).
Lösung:
(a) Der Graph ist nicht planar.
Begründung: Der Graph hat n = 6 Knoten und m = 13 Kanten. Für planare
Graphen gilt die Ungleichung
m ≤ 3n − 6
die dieser Graph nicht erfüllt (13 6≤ 3 · 6 − 6). Also kann er nicht planar sein.
6
Name:
Matrikel:
(b)
f(
, x) = f (
, x) + f (
, x)
= f(
, x) + f (
, x) + f (
, x)
= f (K5 , x) + 2 · f (K4 , x)
Andere Möglichkeit zur Berechnung des chromatischen Polynoms: nach Aufgabe 3 (c) von Aufgabenblatt 7. Damit ergibt sich:
, x) = (x − 2) · f (
= (x − 2) · f (K4 , x)
f(
, x)
Wegen
f (K5 , x) + 2 · f (K4 , x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3) [(x − 4) + 2]
= (x − 2) · f (K4 , x)
sind die beiden Polynome identisch.
Aus
f(
, 3) = 0
f(
, 4) = 0 + 2 · 4! = 48
folgt χ(G) = 4.
7
Name:
Matrikel:
Aufgabe 4’ (12 Punkte, für WS 2009/10 oder früher)
Es wird nur eine der beiden Aufgaben 4 bzw. 4’ gewertet!
Eine Automobilfirma stellt in zwei Werken PKWs und LKWs her. Im ersten Werk, in dem
die grundlegenden Montagearbeiten durchgeführt werden, werden fünf Mann-Tage pro
LKW und zwei Mann-Tage pro PKW benötigt. Im zweiten Werk, in dem die Endmontage
erfolgt, sind pro PKW und LKW je drei Mann-Tage notwendig. Die Kapazität des ersten
Werkes beträgt 180 und die des zweiten Werkes 135 Mann-Tage pro Woche. Die Firma
verdient an einem LKW 3000 EUR und an einem PKW 2000 EUR.
(a) Wie viele PKWs und LKWs sollte die Firma pro Woche herstellen, um ihren Gewinn
zu maximieren? Stellen Sie zur Berechnung ein entsprechendes LP auf.
(b) Lösen Sie das LP mit dem Simplex-Algorithmus.
Lösung:
(a) Es sei x1 die Anzahl der PKWs und x2 die der LKWs.
2000x1 + 3000x2 −→ max
unter den Nebenbedingungen:
2x1 + 5x2 ≤ 180
3x1 + 3x2 ≤ 135
x1 , x2 ≥ 0
(b) Starttableau:
x3
x4
x1
x2 x3 x4
2
5 1 0 180
3
3 0 1 135
−2000 −3000 0 0 0
Wir wählen x2 als Pivotspalte. Dann ist x3 die Pivotzeile und 5 das Pivotelement.
Das neue Tableau lautet:
x2
x4
x1 x2
x3 x4
2/5 1
1/5 0 36
9/5 0 −3/5 1 27
−800 0
600 0 108000
Hier ist jetzt x1 die Pivotspalte und x4 die Pivotzeile. Das Pivotelement ist 9/5. Das
neue Tableau lautet:
x2
x1
x1 x2
x3
x4
0 1
1/3
−2/5 30
1 0
−1/3
5/9 15
0 0 1000/3 4000/9 120000
Dies ist das Endtableau. Die optimale Lösung lautet damit x1 = 15 und x2 = 30.
8
Name:
Matrikel:
Aufgabe 5 (12 Punkte)
Berechnen Sie für das folgende Flussnetzwerk einen Maximalfluss f . Die angegebenen
Zahlen geben die Kapazität der jeweiligen Kante an.
Geben Sie für jeden Schritt einen zunehmenden Weg und den Flusswert Φ(f ) an. Begründen Sie den Maximalfluss.
Lösung:
(s, a, c, f, t) ist ein ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 4. Damit
haben wir Φ(f ) = 4.
9
Name:
Matrikel:
(s, a, c, g, t) ist ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 3. Damit
haben wir Φ(f ) = 7.
(s, d, g, t) ist ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 5. Damit haben
wir Φ(f ) = 12.
10
Name:
Matrikel:
(s, b, i, g, t) ist ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 1. Damit
haben wir Φ(f ) = 13.
(s, b, e, h, t) ist ein zunehmender Weg mit einer möglichen Flusserhöhung um 2. Damit
haben wir Φ(f ) = 15.
11
Name:
Matrikel:
Dieser Fluss ist ein Maximalfluss. Die folgende Grafik zeigt, welche Knoten noch über
einen zunehmenden Weg von s aus erreichbar sind (grün) und welche nicht (gelb). Die
von grün nach gelb verlaufenden Kanten A = {(c, f ), (g, t), (b, e)} bilden einen trennenden
Schnitt mit Kapazität c(A) = 15 = φ(f ). Nach dem Max-flow-min-cut-Theorem ist dann
f ein Maximalfluss und A ein minimaler Schnitt.
12