Komplexe Rechnung einer angeregten Schwingung
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Fachhochschule Köln University of Applied Sciences Cologne Institute of Automotive Engineering NVH Laboratory „angeregte Schwingung eines gedämpften Systems“ und Komplexe Zahlen Von Alexander Mick, Mai 2015 Diese Unterlagen sind ausschließlich zu Unterrichtszwecken zu verwenden. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, ist nicht gestattet! Komplexe Zahlen in der Gauß‘schen Zahlenebene Es gilt : ππ = −π Eine Komplexe Zahl z besteht aus einem Realteil Re(z) und einem Imaginärteil Im(z) : z= πΉπΉ π + π ∗ π°π° π = π + ππ Eine Möglichkeit, die komplexe Zahl als Vektor darzustellen ist die Verwendung der Gaußsche Zahlenebene, bei der der Realteil auf der Abzisse, der Imaginärteil auf der Ordinate dargestellt wird. Somit lässt sich die Zahl z auch in Polarkoordinaten unter Verwendung des Winkels π und des Betrages π§ = π darstellen: π = cos π ∗ π b= sin π ∗ π ⇒ π§ = cos π ∗ π + π ∗ sin π ∗ π = π ∗ cos π + π ∗ sin π Unter Verwendung der Euler‘schen Formel: π ππ = cos π + π ∗ sin π Ergibt sich: π = π ∗ πππ Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 2 Multiplikation von komplexen Zahlen Es sollen die beiden Komplexen Zahlen multipliziert werden π§1 = π1 + π1 ∗ π = π1 ∗ π ππ π§2 = π2 + π2 ∗ π = π2 ∗ π ππ π§1 ∗ π§2 = π1 + π1 ∗ π ∗ π2 + π2 ∗ π = π1 π1 + π1 π2 π + π1 π2 π + π1 π2 π 2 = π1 π1 − π1 π2 + π1 π2 + π1 π2 π Im π1 π Besonders interessant ist hierbei die Verwendung der Gauß‘schen Zahlenebene: π§2 π π§ π1 π§3 = π§1 ∗ π§2 = π1 ∗ π ππ ∗ π2 ∗ π ππ = π1 ∗ π2 π ππ π ππ = π1 ∗ π2 π π π+π = π3 ∗ π ππ Es werden also beim Multiplizieren die Winkel addiert und die Beträge multipliziert !! Re Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 3 Beschreibung einer harmonischen Schwingung durch komplexe Zahlen • Die Elogation einer harmonischen Schwingung kann mithilfe der komplexen Zahl π§ π‘ = π§ ∗ π π∗ππ beschrieben werden. Dabei wird die Elogation als physikalisch messbare Größe nur durch den Realteil Re(z) beschrieben. Ähnlich wie im Zeigermodell kann der Realteil als vertikale Projektion des drehenden Vektors z betrachtet werden. Selbstredend gibt der Winkel π = ππ den Phasenwinkel und der Betrag π§ der komplexen Zahl die maximale Elogation an. Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 4 Angeregtes gedämpftes System Es soll ein gedämpftes Schwingungssystem, das durch eine äußere Kraft periodisch angeregt wird durch Eine Rechnung mit komplexen Zahlen betrachtet werden. Die hier vorgestellten Rechnungen sind hauptsächlich Dem Buch „klassische Mechanik“ von Prof. Nolting entnommen Die Nummerierung der Formeln in dieser Präsentation richten sich nach den Nummerierungen im Buch von Prof. Nolting !! Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 5 Angeregtes gedämpftes System Kräftegleichgewicht: οΏ½π‘ ππ§Μ + πΌ ∗ π§Μ + π ∗ π§ = π ∗ π ππ Reibung: πΉπ π π π π π π = πΌ ∗ π§Μ πΌ π½= 2π Anregende Kraft: οΏ½π‘ πΉπ΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄π΄ = π ∗ π ππ ⇔ π§Μ + 2πΌ π π οΏ½π‘ ∗ π§Μ + ∗ π§ = ∗ π ππ 2π π π ⇔ π§Μ + 2π½ ∗ π§Μ + π0 2 ∗ π§ = Charakterisierung der Eigenfrequenz: π0 = π οΏ½π‘ ∗ π ππ π π π Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 6 Lösen der DGL Folgende Differentialgleichung muss gelöst werden: ⇔ π§Μ + 2π½ ∗ π§Μ + π0 2 ∗ π§ = π π οΏ½π‘ ∗ π ππ (2.189) Da das angeregte System nach einer Einschwingzeit dem anregenden Kraft folgen wird, liegt folgender Ansatz nahe: οΏ½π‘ π§ π‘ = π΄ ∗ π ππ A ist komplex !! οΏ½π‘ ππ οΏ½π π§Μ π‘ = π΄ ∗ ππ οΏ½π‘ οΏ½π‘ οΏ½π‘ 2 2 ππ π§Μ π‘ = π΄ ∗ π π οΏ½ π = π΄ ∗ −1 π οΏ½ 2 π ππ = −π΄ ∗ π οΏ½ 2 π ππ Werden die Funktionen in die Gleichung (2.189) eingesetzt, ergibt sich: π οΏ½π‘ οΏ½π‘ οΏ½π‘ οΏ½π‘ −π΄ ∗ π οΏ½ 2 π ππ + 2β π΄ ∗ ππ οΏ½π ππ + π0 2 ∗ π΄ ∗ π ππ = ∗ π ππ π οΏ½π‘ ⇔ π΄ −π οΏ½ 2 + 2π½ππ οΏ½ + π0 2 π ππ = οΏ½π‘ Da π ππ ≠ 0 muss gelten: π΄ −π οΏ½ 2 + 2π½ππ οΏ½ + π0 2 − π οΏ½π‘ ∗ π ππ π π ππ π οΏ½π‘ = 0 π π΄ −π οΏ½ 2 + 2π½ππ οΏ½ + π0 2 − π =0 π Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 7 Lösen der DGL (ii) οΏ½π‘ Da π ππ ≠ 0 muss gelten: π΄= π΄ −π οΏ½ 2 + 2π½ππ οΏ½ + π0 2 − π =0 π π 1 π 1 π 1 π 1 (π οΏ½ 2 −π0 2 ) + 2π½ππ οΏ½ ∗ = − ∗ = − ∗ = − ∗ ∗ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 οΏ½ + 2π½ππ οΏ½ + π0 οΏ½ − 2π½ππ οΏ½ − π0 οΏ½ −π0 ) − 2π½ππ οΏ½ οΏ½ −π0 ) − 2π½ππ οΏ½ (π οΏ½ −π0 ) + 2π½ππ οΏ½ π −π π π π (π π (π =− π (π οΏ½ 2 −π0 2 ) + 2π½ππ οΏ½ ∗ 2 2 2 π π οΏ½ − π0 − 2π½ππ οΏ½ = − 2 =− π (π οΏ½ 2 −π0 2 ) + 2π½ππ οΏ½ ∗ 2 2 2 2 π π οΏ½ − π0 − π 2π½π οΏ½ π (π οΏ½ 2 −π0 2 ) π π οΏ½ 2 − π0 2 2 + 2π½π οΏ½ 2 + − 2 =− π (π οΏ½ 2 −π0 2 ) + 2π½ππ οΏ½ ∗ 2 2 2 π π οΏ½ − π0 + 2π½π οΏ½ π 2π½π οΏ½ ∗ 2 2 2 π π οΏ½ − π0 + 2π½π οΏ½ Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 2 2 π 8 Lösen der DGL (ii) Da A eine komplexe Zahl ist, kann sie auch in der Form π΄ = π΄ π π ποΏ½ dargestellt werden Dabei gilt für - Der Maximalelogationsbetrag = π π π΄ = π π π΄ 2 + πΌπΌ π΄ π οΏ½ 2 − π0 2 π οΏ½ 2 − π0 2 2 2 + 2π½π οΏ½ π =π 2 2 = 2+ π −π οΏ½ 2 −π0 2 ) (π 2 οΏ½ −π0 2 2 + 2π½π οΏ½ 2 π 2π½π οΏ½ π οΏ½ 2 − π0 2 1 οΏ½ 2 −π0 2 2 + 2π½π οΏ½ 2 π 2 2 + 2π½π οΏ½ 2 (2.191) 2 2 π + −π ∗ = π π οΏ½ 2π½π οΏ½ 2 −π0 2 2 + π π οΏ½ 2 − π0 2 π οΏ½ 2 − π0 2 2 2 οΏ½ 2π½π 2 2 + 2π½π οΏ½ + 2π½π οΏ½ 2 2 2 - Der Phasenwinkel ποΏ½: tan ποΏ½ = πΌπΌ π΄ π π π΄ = οΏ½ 2π½π 2 οΏ½ 2 −π0 2 + 2π½π οΏ½ 2 π 2 2 οΏ½ (π −π0 ) π − 2 π π οΏ½ 2 −π0 2 + 2π½π οΏ½ 2 π π − ∗ οΏ½ 2π½π =π οΏ½ 2 −π 0 2 (2.193) Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 9 Lösen der DGL (iii) Somit ergibt sich für die komplexe Zahl A: π΄= π΄π οΏ½ ππ π = π π οΏ½ 2 − π0 2 1 2 + 2π½π οΏ½ 2 ∗π π οΏ½ 2π½π οΏ½ 2 −π0 2 π Daraus folgt dann die spezielle Lösung der Differentialgleichung (2.189) zu: π§0 π‘ = π΄ οΏ½π‘ ∗ π ππ π = π οΏ½ 2 − π0 2 π 1 2 οΏ½ + 2π½π 2 ∗π π οΏ½ 2π½π οΏ½ 2 −π0 2 π οΏ½π‘ ∗ π ππ Natürlich muss für die komplette Lösung der Differentialgleichung auch die Lösung der homogenen Differentialgleichung betrachtet werden: π§πππ π‘ = π§βππ π‘ + π§0 (π‘) Die homogene Differentialgleichung betrachtet das eigentliche unangeregte gedämpfte Schwingungssystem. Aufgrund der Dämpfung konvergiert jedoch die Amplitude und damit die Lösung der homogenen DGL gegen 0. Betrachtet man das komplette angeregte Schwingungssystem für Zeiten nach dem Einschwingvorgang, kann der Anteil der homogenen DGL π§βππ π‘ vernachlässigt werden, sodass die inhomogene DGL (2.189) nur durch die spezielle Lösung π§0 π‘ beschrieben werden kann. Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 10 Analyse der Lösung der DGL - οΏ½π‘ π§0 π‘ = π΄ ∗ π ππ = Die maximale Elogation : π¨ = π π οΏ½ π −ππ π π π π π π π οΏ½ 2 − π0 2 1 2 + 2π½π οΏ½ 2 ∗π π οΏ½ 2π½π οΏ½ 2 −π0 2 π οΏ½π‘ ∗ π ππ οΏ½ π + ππ·π Besonders interessant ist hier der Fall einer fehlenden Dämpfung β. In diesem Fall konvergiert der Bruch unter der Wurzel ins Unendliche, wenn die Anregungsfrequenz π οΏ½ und die Eigenfrequenz π0 gleich sind . Dies bedeutet, dass die maximale Elogation unendlich groß ist. Man spricht dabei dann von der Resonanz-Katastrophe, weil das System mit immer größer werdender Amplitude schwingt, bis es sich selbst zerstört. Um die Anregungsfrequenz für die maximale Amplitude bei einem gedämpften System zu ermitteln, muss die Funktion π΄ π οΏ½ auf Extrema untersucht werden: ππ΄ = 0 ⇒π οΏ½= ππ οΏ½ π0 2 − 2π½ 2 Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 11 Analyse der Lösung der DGL - οΏ½π‘ π§0 π‘ = π΄ ∗ π ππ = Der Phasenwinkel: π§0 π‘ = π΄ ∗ π οΏ½π‘ ππ = π΄ ∗π π οΏ½ 2π½π οΏ½ 2 −π0 2 π ∗π οΏ½π‘ ππ π π = π΄ ∗π π οΏ½ 2 − π0 2 1 2 + 2π½π οΏ½ 2 ∗π π οΏ½ 2π½π οΏ½ 2 −π0 2 π οΏ½π‘ ∗ π ππ οΏ½ 2π½π οΏ½π‘ +π οΏ½ 2 −π0 2 π π Es zeigt sich an der Summe im Exponenten der e-Fkt (Vgl. Folie 3), dass die Funktion π§0 π‘ ebenso wie die Anregungsfunktion mit οΏ½ 2π½π οΏ½ schwingt, allerdings um den Winkel ποΏ½ = π phasenverschoben ist. der Frequenz π οΏ½ 2 −π 2 0 Geht die Anregungsfrequenz π οΏ½ gegen 0, zeigt das Schwingungssystem keine Resonanz, sondern bewegt sich mit der Anregung Geht die Anregungsfrequenz ins Unendliche, führt das System Aufgrund der Impulserhaltung genau die Gegenbewegung aus Liegt Resonanzfrequenz vor, existiert eine Phasenverschiebung π von 2 Fahrzeugakustik - Einführung· FH Köln, Prof. Dr.-Ing. Rainer Haas · Faculty of Automotive Systems and Production 12
