1.12 Zusammenfassung: Komplexe Zahlen

1.12. Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
1.12 Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
Darstellung komplexer Zahlen:
z = a + ib,
algebraische/arithmetische Form,
= r (cos Ï + i sin Ï),
trigonometrische Form,
iÏ
= re ,
exponentielle Form.
Eulersche Formel
e
iÏ
= cos Ï + i sin Ï
algebraische in trigonometrische Form 1. Variante:
r =
Ï=
Ô
;
a2 + b 2 ,
arccos ar ,
2fi ≠ arccos ar ,
b Ø 0,
b < 0,
I. und II. Quadrant,
III. und IV. Quadrant.
Im Fall a = b = 0 ist der Winkel beliebig.
algebraische in trigonometrische Form 2. Variante:
r =
Ï=
Begriffe
Ô
a2 + b 2 ,
Y
_
_
_
]
_
_
_
[
arctan ba ,
fi
,
2
b
arctan a + fi ,
3fi
,
2
arctan ba + 2fi ,
a, b > 0,
a = 0, b > 0,
a < 0, b œ R,
a = 0, b < 0,
a > 0, b < 0
Re z = a = r cos Ï
Im z = b = r sin Ï
z = a ≠ ib = r (cos Ï ≠ i sin Ï)
|z | =
Ô
zz =
Ô
zz =
Ô
a2 + b 2 = r
I. Quadrant,
positive imaginäre Achse,
II. und III. Quadrant,
negative imaginäre Achse,
IV. Quadrant.
Realteil
Imaginärteil
konjugiert komplexe Zahl
Betrag
komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und
Imaginärteile gleich sind:
z1 = a + ib = z2 = c + id,
genau dann wenn
a=c
und
b=d
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Rechenregeln
(a + ib) ± (c + id) = (a ± c) + i(b ± d)
Addition, Subtraktion
(a + ib)(c + id) = ac ≠ bd + i(bc + ad)
r1 e
i Ï1
r2 e
i Ï2
= r1 r2 e
Mulitplikation algebraisch
i(Ï1 +Ï2 )
Multiplikation exponentiell
r1 (cos Ï1 + i sin Ï1 )r2 (cos Ï2 + i sin Ï2 )
= r1 r2 (cos(Ï1 + Ï2 ) + i sin(Ï1 + Ï2 ))
Mulitplikation trigonometrisch
1
1
a ≠ ib
a ≠ ib
=
=
= 2
z
a + ib
(a + ib)(a ≠ ib) a + b2
1
1
1 ≠i Ï
= iÏ = e
z
re
r
1
1
1
=
= (cos Ï ≠ i sin Ï)
z
r (cos Ï + i sin Ï)
r
Division algebraisch
Division exponentiell
Division triginometrisch
Potenzieren, Formel von Moivre
n
n
n
n inÏ
z = (a + ib) = r (cos(nÏ) + i sin(nÏ)) = r e
Wurzeln
Einheitswurzeln z n = 1
zk = cos
1
2k fi
n
2
+ i sin
1
2k fi
n
2
= e(
i 2knfi )
,
k = 0, 1, ... , n ≠ 1.
Allgemein z n = a + ib = R(cos Ï + i sin Ï)
zk =
1
Ô
n
R cos
1
Ï + 2k fi
n
2
+ i sin
1
Ï + 2k fi
n
22
=
Ô
n
Re
i
(Ï+2k fi )
n
,
k = 0, 1, ... , n ≠ 1.
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