Lösungen

Gunter Ochs
Sommersemester 2015
Mathematik 2 für Informatik
Hausaufgabenblatt 1
Lösungshinweise (ohne Garantie auf Felehrfreiheit)

1. Sei
x=

3
 1 ,
2

y=

1
 −1 
3

und
z=

0, 5
 −2, 5 .
1
Berechnen Sie


4
 0 ,
5


x−z =

2, 5
 3, 5 ,
1
1
y
2
=
(a)
x+y =
(b)
√
√
kxk = 9 + 1 + 4 = 14 ≈ 3, 74,
√
√
kyk = 11 ≈ 3, 32 und kzk = 7, 5 ≈ 2, 739,
(c)

0, 5
 −0, 5 
1, 5

2x − 32 y + 3z =
und

6
 −4 
2, 5
hx, yi = 3 − 1 + 6 = 8, hy, zi = 0, 5 + 2, 5 + 3 = 6,
hx + z, yi = hx, yi + hz, yi = 8 + 6 = 14,
und (mit Benutzung der Rechenregeln für das Skalarprodukt)
−y, 2x − 31 z = −2 hx, yi + 31 hy, zi = −16 + 2 = −14.

3.
(a) Zeigen Sie, dass die Vektoren
 

2
11
 −14 ,  −2 
5
−10

und

−10
 −5 
−10
Kanten eines Würfels sind.
Die Kanten eines Würfels müssen gleich lang sein und senkrecht aufeinander stehen, d. h.
die Skalarprodukte müssen 0 ergeben. Dies ist für die gegebenen Vektoren nachzurechnen:




11  2  √ 2
√
−14 = 2 + 142 + 52 =  −2  = 112 + 22 + 102
−10 5 

−10 √
√
=  −5  = 102 + 52 + 102 = 225 = 15
−10 sowie
*
 
+
2
11
 −14 ,  −2  =
5
−10
*
 
+
2
−10
=  −14 ,  −5 
5
−10
*
 
+
11
−10
=  −2 ,  −5 
−10
−10
2 · 11 − 14 · (−2) + 5 · (−10)
= 2 · (−10) − 14 · (−5) + 5 · (−10)
= 11 · (−10) − 2 · (−5) − 10 · (−10) = 0.
(b) Bestimmen Sie die Kantenlänge und das Volumen des Würfels aus (a).
Die Kantenlänge ist 15 (= Länge der drei Vektoren, siehe (a)), das Volumen
153 = 3375.
2. Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für das Skalarprodukt:
(a) Für Vektoren
(i)
(ii)
x, y ∈ Rn
2
gelten die binomischen Formeln
2
kx + yk = kxk + 2 hx, yi + kyk2 ,
kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx + y, xi + hx + y, yi = hx, xi + hy, xi + hx, yi + hy, yi
= kxk2 + 2 hx, yi + kyk2
2
Dabei wurde die Eigenschaft hx, xi = kxk sowie die Kommutativität (Vertauschbarkeit der Reihenfolge) und die Bilinearität (hu, v + wi = hu, vi + hu, wi) des Skalarprodukts benutzt.
2
2
kx − yk = kxk − 2 hx, yi + kyk2 ,
kx − yk2 = hx − y, x − yi = hx − y, xi + hx − y, −yi
= hx, xi + h−y, xi + hx, −yi + h−y, −yi
= hx, xi − hy, xi − hx, yi + hy, yi = kxk2 − 2 hx, yi + kyk2
(wie (i), zusätzlich mit der Regel, dass skalare Faktoren (hier −1) aus dem Skalarprodukt herausgezogen werden können)
sowie die Parallelogrammgleichung
(iii)
kx + yk2 + kx − yk2 = 2 · (kxk2 + kyk2 )
Folgt aus (i) und (ii):
2
2
kx + yk + kx − yk = kxk2 + 2 hx, yi + kyk2 + kxk2 − 2 hx, yi + kyk2 = 2kxk2 + 2kyk2
(b) Stehen
x
und
y
senkrecht aufeinander, so sind
x+y
und
x−y
gleich lang.
Hinweis: Folgt aus (i) und (ii) in Teil (a)
Sind
x+y
und
x−y
gleich lang, so ist
kx + yk2 = kx − yk2 .
Mit (i) und (ii) gilt dann
kxk2 + 2 hx, yi + kyk2 = kxk2 − 2 hx, yi + kyk2 ⇔ 2 hx, yi = −2 hx, yi ⇔ hx, yi = 0,
d. h. x und y stehen senkrecht aufeinander.
4. Seien
A = (1; −2; 2), B = (1; 2; 3)
und
C = (4; 2; 0) ∈ R3 .
(a) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Gerade
Mit dem Ortsvektor
x=A
g
A und B an.
v = B − A erhält
durch
und dem Richtungsvektor
man die (nicht
eindeutige) Parameterdarstellung
(
g=
(b) Liegt der Punkt
)



1
0
 −2  + t ·  4 
2
1
(1; −6; 1)
auf
:t∈R

=



1
0
 −2  + R ·  4 
2
1
g?

Dazu betrachtet man die Gleichung

 
1
0
 −2  + t ·  4 
2
1
Es muss gelten (Betrachtung der 2. Komponente)

Durch Einsetzen erhält man
t = −1

1
 −2 
2

−1·
erfüllt, d. h. der Punkt liegt auf
(c) Berechnen Sie den Schnittpunkt von
g

=

1
 −6 ,
1
x1 , x3 Ebene.
−2 + 4t = 0 ⇔ t = 21 .
mit der


 
1
0
 −2  + 1 ·  4 
2
2
1
C
(d) Berechnen Sie den Abstand des Punktes

=

1
 0 
2, 5
von der Geraden

Ein Verbindungsvektor von
v
und damit zu
g
C
zu
g
ist
also ist die Gleichung mit
g.
Dazu muss die 2. Komponente Null sein:
Der Schnittpunkt ist somit
=

1
 −6 .
1
−2 + 4t = −6 ⇔ 4t = −4 ⇔ t = −1.

0
 4 
1

y = B−C = 
y||
parallele Komponente
g.

−3
0 ,
3
der in zum Richtungsvektor
und eine senkrechte Komponente
y⊥
zerlegt
werden muss. Es ist


3 0
hy, vi
·v =  4 
y|| =
hv, vi
17 1
Der Abstand ist damit gleich
ky⊥ k =
1
17
·
und
√
512 + 122 + 482 =
(e) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen


1 −51
y⊥ = y − y|| =  −12 
17
48
g
und der Gerade
h
5049
17
≈ 4, 18.
durch
A
und
C.

h
hat den Richtungsvektor
z = C−A =

3
 4 .
−2
√
Der Winkel
α
zwischen den Geraden
ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren:
cos α =
hv, zi
14
√ ≈ 0, 63 ⇒ α ≈ 0, 889
=√
kvk · kzk
17 · 29
rad
≈ 50, 9o