7. Übung

Himmelsmechanik
Sommersemester 2016, Prof. Spahn
Übungsblatt 7 (20 Punkte)
Ausgabe: 4. Juli 2016
Abgabe: 18. Juli 2016
Aufgabe 7.1 – Tisserand-Kriterium
(6 Punkte)
Betrachten Sie einen Kometen mit anfänglichen Halbachse a, Exzentrizität e und Inklination i. Nach einem nahen Vorbeiflug an einem großen Planeten (z.B. Jupiter) ändern
sich seine Orbitelemente zu a0 , e0 , i0 . Beweisen Sie, dass die folgende Beziehung (Tisserand, 1896) näherungsweise erfüllt ist, wenn sich der Komet weit entfernt vom Planeten
befindet und gilt µ1 = γm1 µ2 = γm2 (mit Normierung: γ (m1 + m2 ) = 1):
p
1
2 a (1 − e2 ) cos i + = const
a
Aufgabe 7.2 – Jacobi-Integral an den Lagrange-Punkten
(8 Punkte)
Wir verwenden ein mitrotierendes Bezugssystem befestigt im Schwerpunkt von m1 und
m2 mit den Achsen x, y, z. Die Massen m1 und m2 haben die Koordinaten (−µ2 , 0, 0)
und (µ1 , 0, 0) (Schwerpunktssatz & Normierung). Der Abstand einer anderen Masse von
den beiden schweren Massen sei r1 bzw. r2 . Das Jacobi-Integral schreibt sich dann
µ2
µ1
2
2
− ẋ2 − ẏ 2
+
C =x +y +2
r1
r2
(a) Zeigen Sie, dass für eine Nullgeschwindigkeitskurve (v 2 = 0) gilt
2
2
C = (1 − µ2 ) r12 +
+ µ2 r22 +
r1
r2
(b) Berechnen Sie das Jacobi-Integral an den Positionen der triangularen LagrangePunkte L4/5 und näherungsweise für die kolinearen Lagrange-Punkte L1/2/3 bis
einschließlich Ordnung O (µ2 ).
13
1
µ2
α = 3µ
L4/5 : x = − µ2
1
2
1
1
23
L1 :
r2 = α − α2 − α3 − α4 + O α5
3
9
81
1
1
31
L2 :
r2 = α + α2 − α3 − α4 + O α5
3
9
81
2
3
4
7 µ2
7 µ2
13223 µ2
µ2
L3 :
r1 = 1 −
+
−
+O
12 µ1
12 µ1
20736 µ1
µ1
Aufgabe 7.3 – Flug zum Mond
√
y=±
3
2
y=0
y=0
y=0
(6 Punkte)
Ein Raumschiff befindet sich in 100 km Höhe auf einer äquatorialen Kreisbahn um die
Erde. Nun soll es eine zusätzliche tangentiale Geschwindigkeit bekommen, sodass die
daraus entstehende Trajektorie zum Mond führt. Schätzen Sie, basierend auf dem JacobiIntegral, die minimale Geschwindigkeit ab, für welche dies möglich ist.
Hinweise: Nutzen Sie das 3KP Erde-Mond-Raumschiff und die Energie bei L1 , um eine
Näherungslösung zu finden. Beachten Sie die gebräuchliche Skalierung der relevanten
Größen!
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