Aufgabe 13

Klausur
Mathematik Grundkurs
(Viertes Semester)
Rehder
Name: _______________________________________________
Aufgaben
erreichbare Punkte
1-2
24
3-4
24
5-6
24
7-8
24
9-10
24
11-12
24
13-14
40
15-16
40
17
50*
Summe
erreichte Punkte
Multiple choice
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind. Kreuzen Sie den
entsprechenden Wahrheitsgehalt (w oder f) an. Beachten Sie, dass es mehrere richtige Aussagen geben
kann. Die Bewertung jeder der Teilaufgaben geschieht folgendermaßen: Für jedes korrekt gesetzte
Kreuz gibt es 𝟐 Punkte. Weiterhin werden für jedes falsch gesetzte Kreuz 0 Punkte vergeben. Setzt
man ein Kreuz in der Spalte „Ich weiß es nicht“ (kp), dann erhält man einen Punkt, insofern bei jeder
Teilaufgabe mindestens ein korrektes Kreuz gesetzt wurde.
Aufgabe 1: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
Ein fairer Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 wird einmal geworfen.
w f
(a) Es ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
  
kp
(b) Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 𝐸 ≔ {3} (es wird eine 3 gewürfelt)
1
  
beträgt .
6
1
(c) Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 𝐸 ≔ {1} beträgt .
  
(d) Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 𝐸 ≔ {6} beträgt 0,5 .
  
6
(e) Es handelt sich bei diesem Zufallsexperiment um ein Laplaceexperiment.   
4
(f) Für das Ereignis 𝐸 ≔ {6} gilt die Formel ℙ(𝐸) = 1 − ℙ({1, 2}) = .
6
  
Aufgabe 2: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
Ein nichtfairer Würfel mit den Augenzahlen 2, 2, 3, 4, 5, 5 wird einmal geworfen. Betrachten
Sie das Elementarereignis 𝐸 ≔ {3}.
w f
kp
  
(a) Es ist Ω = {2, 2, 3, 4, 5, 5}.
1
  
(b) Für die Wahrscheinlichkeit von 𝐸 gilt: ℙ(𝐸) = .
6
5
(c) Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 𝐸 beträgt .
  
(d) Eine 3 zu würfeln ist wahrscheinlicher als eine 5 zu würfeln.
  
6
(e) Es handelt sich bei diesem Zufallsexperiment um ein Laplaceexperiment.   
3
1
6
2
(f) Für das Ereignis 𝐸 gilt die Formel ℙ(𝐸) = 1 − ℙ({2, 4}) = = .
  
Aufgabe 3: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
Welchen Wert hat die Fakultät 5! ?
w f kp
(a) Die Fakultät 5! hat den Wert 0.
  
(b) Die Fakultät 5! hat den Wert 5.
  
(c) Die Fakultät 5! hat den Wert 10.
  
(d) Die Fakultät 5! hat den Wert 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.
  
(e) Die Fakultät 5! hat den Wert 120.
  
(f) Keine der anderen Aussagen ist wahr.
  
Aufgabe 4: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
Wie viele verschiedene sechsstellige Zahlen kann man aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6 bilden,
wenn jede Ziffer höchstens einmal verwendet werden darf?
w f
(a) Es können insgesamt 25 solcher Zahlen gebildet werden.
kp
  
(b) Es können insgesamt 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 solcher Zahlen gebildet werden.
  
(c) Es können insgesamt 6! solcher Zahlen gebildet werden.
  
(d) Es können insgesamt (
5
) solcher Zahlen gebildet werden.
26
(e) Es können insgesamt 720 solcher Zahlen gebildet werden.
6
(f) Es können insgesamt 6 solcher Zahlen gebildet werden.
  
  
  
Aufgabe 5: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
In einer Urne befinden sich insgesamt 10 Kugeln. Hiervon sind 6 Kugel rot und vier Kugeln
blau. Es wird zweimal hintereinander ohne Zurücklegen jeweils eine Kugel gezogen.
Betrachten Sie die folgenden Ereignisse:
𝐸1 = {Es wird zweimal hintereinander eine blaue Kugel gezoge𝑛}
𝐸2 = {Es wird zweimal hintereinander 𝐤𝐞𝐢𝐧𝐞 blaue Kugel gezogen}
w f
1
1
2
2
1
1
2
2
  
(a) Es gilt ℙ(𝐸1 ) = + = 1.
  
(b) Es gilt ℙ(𝐸1 ) = − = 0.
1
(c) Es gilt ℙ(𝐸1 ) =
10
(d) Es gilt ℙ(𝐸1 ) =
10
1
1
19
9
90
+ =
1
19
9
90
kp
.
  
.
  
(e) Es gilt ℙ(𝐸2 ) = 1 − ℙ(𝐸1 ).
  
(f) Es gilt die strikte Ungleichung ℙ(𝐸2 ) < 𝑃(𝐸1 ).
  
∙ =
Aufgabe 6: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
Es sei vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Tag Geburtstag zu
haben, für alle 365 Tage des Jahres dieselbe ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in
einem Raum mit 30 Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben?
w f
kp
(a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,08.
  
(b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,18.
  
(c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0, 206.
  
(d) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,306.
  
(e) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,706.
  
(f) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,996.
  
Aufgabe 7: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
Wie viele verschiedene (beliebige) „Wörter“ kann man aus den Buchstaben des Wortes
HALLELUJA bilden, wenn jeweils alle Buchstaben verwendet werden sollen?
w f
kp
(a) Man kann aus den Buchstaben 125 Wörter bilden.
  
(b) Man kann aus den Buchstaben 30240 Wörter bilden.
  
(c) Man kann aus den Buchstaben 31240 Wörter bilden.
  
(d) Man kann aus den Buchstaben 32240 Wörter bilden.
  
(e) Man kann aus den Buchstaben 32250 Wörter bilden.
  
(f) Man kann aus den Buchstaben 34240 Wörter bilden.
  
Aufgabe 8: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
Von einem vollständigen Skatspiel wurde der Kreuz Bube entfernt. Die restlichen Karten
seien mit der Gleichverteilung versehen. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit
ℙ(Dame|Kreu𝑧)?
w f
1
(a) Es gilt ℙ(Dame|Kreu𝑧) = .
2
1
(b) Es gilt ℙ(Dame|Kreu𝑧) = .
4
1
(c) Es gilt ℙ(Dame|Kreu𝑧) = .
5
1
(d) Es gilt ℙ(Dame|Kreu𝑧) = .
6
1
(e) Es gilt ℙ(Dame|Kreu𝑧) = .
7
1
(f) Es gilt ℙ(Dame|Kreu𝑧) = .
8
kp
  
  
  
  
  
  
Aufgabe 9: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
In einer amerikanischen Spielshow sind auf der Bühne drei
Türen aufgebaut. Hinter einer befindet sich ein Hauptgewinn,
ein Auto, hinter den beiden anderen Türen steht jeweils eine
Ziege. Der Kandidat wählt eine Tür, die verschlossen bleibt.
Der Moderator, der die Verteilung kennt, öffnet daraufhin eine
andere Tür, hinter der sich eine Ziege befindet, und fragt den
Kandidaten, ob er bei seiner Entscheidung bleiben oder zur zweiten verschlossenen Tür wechseln will.
w f
kp
(a) Falls der Kandidat die Tür wechselt, dann ist die Wahrscheinlichkeit
  
geringer, dass der Kandidat das Auto gewinnt.
(b) Falls der Kandidat die Tür wechselt, dann ist die Wahrscheinlichkeit
  
größer, dass der Kandidat das Auto gewinnt.
(c) Falls der Kandidat die Tür wechselt, dann bleibt die Wahrscheinlichkeit,
  
dass der Kandidat das Auto gewinnt, unverändert.
(d) Nach dem Satz von Bayes beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der
Kandidat im Falle eines Türwechsels das Auto gewinnt, genau 0,5 .
  
(e) Nach dem Satz von Bayes beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der
1
Kandidat im Falle eines Türwechsels das Auto gewinnt, genau .
3
  
(f) Nach dem Satz von Bayes beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der
2
Kandidat im Falle eines Türwechsels das Auto gewinnt, genau .
3
  
Aufgabe 10: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
Ein fairer Würfel wird zehnmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die
folgenden Ereignisse (Die Binomialverteilungstabelle befindet sich im Anhang):
𝐸1 = {3 − mal Augenzahl größer 4}
𝐸2 = {genau 7 − mal keine Sechs}
𝐸3 = {Mindestens eine und höchstens drei Sechsen}
w f
(a) Es gilt ℙ(𝐸1 ) = 0,51 .
(b) Es gilt ℙ(𝐸1 ) = 1 − ℙ(𝐸2 ) .
(26,01)
(0,001)
  
  
  
(c) Es gilt ℙ(𝐸1 ) < 𝑃(𝐸2 ).
(d) Es gilt ℙ(𝐸3 ) = ℙ(𝐸1 ) + ℙ(𝐸2 ) .
kp
(0,7687)
  
(e) Es gilt ℙ(𝐸3 ) = 0,89 .
  
(f) Es gilt ℙ(𝐸1 ) + ℙ(𝐸2 ) + ℙ(𝐸3 ) > 1 .
  
Aufgabe 11: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
𝑛
Betrachten Sie die Formel von Bernoulli ℙ(𝑋 = 𝑘) = ( ) ∙ 𝑝𝑘 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 .
𝑘
w f
kp
(a) Für 𝑛 = 𝑘 gilt: ℙ(𝑋 = 𝑘) = 𝑝𝑘 .
  
(b) Für 𝑛 = 𝑘 = 0 gilt: ℙ(𝑋 = 0) = 0.
  
(c) Für 𝑘 = 0 gilt: ℙ(𝑋 = 0) = (1 − 𝑝)𝑛 .
  
(d) Die Binomialverteilung besitzt den Erwartungswert 𝑛 ∙ 𝑝.
  
(e) Für 𝑝 = 0 und 𝑘 ≠ 0 gilt: ℙ(𝑋 = 𝑘) = 0.
  
(f) Für 𝑝 = 1 und 𝑛 ≠ 𝑘 gilt: ℙ(𝑋 = 𝑘) = 0.
  
Aufgabe 12: Kreuzen Sie den entsprechenden Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an.
Wie wahrscheinlich sind vier Richtige im fairen Lotto (6 aus 49)?
w f
kp
(a) Die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige beträgt ca. 0,2.
  
(b) Die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige beträgt ca. 0,001.
  
(c) Die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige beträgt ca. 0,3.
  
(d) Die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige beträgt ca. 0,102.
  
(e) Die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige beträgt ca. 0,501.
  
(f) Die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige beträgt ca. 0,99.
  
Rechen – und Beweisaufgaben
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben ausführlich. Der Lösungsweg (Rechnungen und
Kommentare) muss dabei nachvollziehbar aufgeschrieben werden. Unleserlich oder in rot geschriebene
Abschnitte werden dabei nicht bewertet. Benutzen Sie zur Beantwortung der Aufgaben den
vorgegebenen Platz.
Aufgabe 13 (6 + 9 + 5):
a) Svenja hat 30 Mal mit einem Würfel gewürfelt und die Ergebnisse ihrer Zufallsexperimente
folgendermaßen dargestellt:
Tragen Sie die Resultate in die Tabelle ein.
Ereignis
1
2
3
4
5
6
Absolute
Häufigkeit
7
4
6
2
6
5
b) Es wird mit einem fairen sechsseitigen Spielwürfel gewürfelt. Tragen Sie in die folgende Tabelle
jeweils das zugehörige Gegenereignis ein.
Das Ereignis
hat als Gegenereignis
„Es fällt eine gerade Zahl“
„Es fällt eine ungerade Zahl“
𝐴 = {2, 4, 6}
𝐴̅ = {1, 3, 5}
„Es fällt eine 1“
„Es fällt keine 1“
𝐵 = {1}
𝐵̅ = {2, 3, 4, 5, 6}
„Es fällt eine Zahl kleiner als 5“
„Es fällt eine Zahl größer gleich 5“
𝐴 = {1, 2, 3, 4}
𝐴̅ = {5, 6}
c) In welcher Kiste die die Wahrscheinlichkeit größer, eine schwarze Kugel zu ziehen, kreuzen Sie an
und begründen Sie Ihre Entscheidung anschließend.
Begründung: Es handelt sich hierbei um ein Laplaceexperiment. Die Wahrscheinlichkeit, in der ersten
Kiste eine schwarze Kugel zu ziehen beträgt
schwarze Kugel zu ziehen beträgt
6
11
7
15
. Die Wahrscheinlichkeit, in der zweiten Kiste eine
. Die Behauptung folgt nun unmittelbar aus der Relation
6
11
>
7
15
.
Aufgabe 14 (4 + 16):
a) Betrachten Sie einen nicht fairen Würfel mit den
Augenzahlen 1, 1, 2, 3, 6, 6, (zwei Einsen, zwei Sechsen).
Dieser nicht faire Würfel wird einmal geworfen. Tragen
Sie in das folgende Baumdiagramm die fehlenden
Wahrscheinlichkeiten dafür ein, zufällig auf eine der
Augenzahlen zu treffen.
1
2
6
1
6
2
1
6
3
2
6
6
b) Wie oft muss Svenja mit einem fairen Würfel (Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}) mindestens würfeln, bis die
Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Sechs zu werfen, mindestens 0,9 ist?
Tipp: Formen Sie hierzu die Formel von Bernoulli unter Verwendung des natürlichen Logarithmus ln( ) nach 𝑛 um.
𝑛: Anzahl der Wiederholungen des Zufallsexperiments
𝑋: Zufallsvariable, die geworfene Augenzahl ist eine 6 bei 𝑛 Wiederholungen, 𝑋~𝐵𝑖𝑛
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einmaligem Werfen ein 6 kommt lässt sich mit der Laplace Formel
1
berechnen: 𝑝 = = 0,16̅ . Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einmaligem Werfen kein 6 kommt
6
1
5
beträgt:(Gegenwahrscheinlichkeit): 𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − = = 0,83̅.
6
6
Unser Ansatz lautet nun: ℙ(𝑋 ≥ 1) ≥ 0,90.
Unser Ansatz ist offenbar äquivalent zu: 1 − ℙ(𝑋 = 0) ≥ 0,9
Mit der Bernoulliformel können wir jetzt ℙ(𝑋 = 0) bestimmen:
1 0 5 𝑛
5 𝑛
𝑛
ℙ(𝑋 = 0) = ( ) ∙ ( ) ∙ ( ) = ( )
0
6
6
6
Mit unserem äquivalenten Ansatz resultiert hiermit:
5 𝑛
5 𝑛
1 − ℙ(𝑋 = 0) ≥ 0,90 ⇔ 1 − ( ) ≥ 0,90 | − 1 ⇔ − ( ) ≥ −0,10 | ∙ (−1)
6
6
5 𝑛
⇔ ( ) ≤ 0,10 (Alle Relationszeichen sind aufgrund der Multiplikation mit einer negativen Zahl
6
umgedreht wurden.) Auf die letzte Gleichung wenden wir nun die (monotone) Logarithmusfunktion an
5 𝑛
5
und erhalten: log ( ) ≤ log 0,10 Mit den Logarithmengesetzen erhalten wir somit: 𝑛 log ( ) ≤
6
5
log 0,10
6
log( )
log 0,10 | ∶ (log ( )) ⇔ 𝑛 ≥
6
5
6
⇔ 𝑛 ≥ 12,62925314 ≈ 12,63
(Alle Relationszeichen sind aufgrund der Division mit einer negativen Zahl erneut umgedreht wurden.)
Man muss also mindestens 13-mal würfeln, damit mit mindestens 90 Prozent Wahrscheinlichkeit
mindestens einmal eine Sechs fällt.
Aufgabe 15 (5 + 15):
a) Wie viele Schrauben sind ungefähr im folgenden Glas?
Geben Sie einen Schätzwert an:
26 000 Schrauben
(akzeptiert werden Werte zwischen 23 000 und 29 000)
Begründen Sie Ihre Entscheidung!
Es wurde eine stichprobenartige Anzählung durchgefürht
und damit die Gesamtanzahl der Schrauben
näherungsweise bestimmt.
b) In einem Fischreich befinden sich 𝑛 Karpfen. Um die Anzahl der Karpfen zu schätzen, fangen Sie 10
Karpfen, markieren diese und setzen sie anschließend wieder aus. Nach ein paar Tagen fangen Sie noch
einmal Fische, diesmal sind es 30 Karpfen, davon sind 3 markiert. Ermitteln Sie mit einem Maximum
Likelihood – Argument die Anzahl 𝑛 der Karpfen im Fischteich.
Die Wahrscheinlichkeit, dass von 𝑚 = 30 gefangenen Karpfen beim zweiten Fang genau 𝑟 = 10
Karpfen markiert sind genügt der hypergeometrischen Verteilung.
Hier ist 𝑛 die unbekannte Anzahl der Karpfen, 𝑟 = 10, 𝑘 = 3 und 𝑚 = 30. Der ML – Schätzer für 𝑛 ist
also
𝑟𝑚 300
𝑁=
=
= 100.
𝑘
3
Es sind also ca. 100 Karpfen im Fischteich.
Aufgabe 16 (5 + 5 + 10):
a) Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung?
Die „Wahrscheinlichkeitsdichte“ lautet:
𝑓𝑎,𝜎2 (𝑥) ≔
1
√2𝜋 ∙ 𝜎
exp (−
(𝑥 − 𝑎)²
2𝜎²
)
b) Unter welchen Voraussetzungen kann man mit der Normalverteilung die Binomialverteilung
approximieren?
Die Summe von 𝑛 identisch verteilten, unabhängigen Zufallsvariablen binomialverteilten 𝑋 gehorcht für
große 𝑛 nach dem ZGS näherungsweise einer „Normalverteilung“, nämlich der Gaußschen
Glockenkurve.
c) Flugzeuge werden üblicherweise überbucht, weil die Erfahrung gezeigt hat, dass praktisch nie alle
Fluggäste kommen. Eine Flugzeuggesellschaft überbucht generell ihre Flugzeuge um vier Sitzplätze, weil
üblicherweise 5 Prozent der Passagiere nicht erscheinen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt es bei
insgesamt 250 Sitzplätzen zu einem Engpass? (Die Normalverteilungstabelle befindet sich im Anhang):
Hinweis: Hier ist die Transformation 𝑧 =
𝑋−𝜇+0,5
𝜎
hilfreich.
Sei 𝑋 die binomialverteilte Zufallsvariable, welche die Häufigkeit der Fluggäste angibt, die ihren Flug
antreten. Es ist 𝑛 = 254 und 𝑝 = 0,95. Wir erhalten für den Erwartungswert: 𝜇 = 𝔼(𝑋) = 𝑛𝑝 = 241,3.
Damit erhalten wir die Streuung 𝜎 = √𝑛𝑝(1 − 𝑝) ≈ 3,47. Nach dem zentralen Grenzwertsatz können
wir die Binomialverteilung mit der Normalverteilung approximieren. (Wir sind damit schon deutlich
außerhalb des 2𝜎 − Bereichs und somit auf der sicheren Seite.) Aus der Tabelle zur Normalverteilung
erhalten wir den folgenden Wert vermöge der Transformation: 𝑧 =
𝑥−𝜇+0,5
𝜎
ℙ(𝑋 ≤ 250) ≈ 𝜑(2,65) = 0,9960.
Es kommt als mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 − 0,9960 = 0,004 zu einem Engpass.
Zusatzaufgabe 17: Das Paradoxon der beiden Kinder
Angenommen Sie wissen, dass Ihr Nachtbar namens Klaus 2 Kinder hat. Zufällig treffen Sie Klaus im
Gesundbrunnencenter und er hat eine Tochter dabei. Wie wahrscheinlich ist es, dass das andere Kind auch eine Tochter
ist? Beweisen Sie Ihre Vermutung!
Vollständige Argumentation über den Satz von Bayes (ausführen!) liefert eine Wahrscheinlichkeit von 0,5.